observador estatal

En teoría de control , un observador de estado , estimador de estado u observador de Luenberger es un sistema que proporciona una estimación del estado interno de un sistema real dado, a partir de mediciones de la entrada y la salida de dicho sistema. Generalmente se implementa mediante ordenador y constituye la base de numerosas aplicaciones prácticas.

Conocer el estado del sistema es fundamental para resolver muchos problemas de teoría de control ; por ejemplo, estabilizar un sistema mediante retroalimentación de estado . En la mayoría de los casos prácticos, el estado físico del sistema no se puede determinar mediante observación directa. En cambio, los efectos indirectos del estado interno se observan a través de las salidas del sistema. Un ejemplo sencillo es el de los vehículos en un túnel: las velocidades a las que entran y salen del túnel se pueden observar directamente, pero el estado exacto dentro del túnel solo se puede estimar. Si un sistema es observable , es posible reconstruir completamente su estado a partir de las mediciones de sus salidas utilizando el observador de estado.

Modelo típico de observador

{\displaystyle y\mathbf {-} {\hat {y}}} — Diagrama de bloques del observador de Luenberger. La entrada de ganancia del observador L es $y\mathbf {-} {\hat {y}}$ .

Entre las diversas estructuras de observadores utilizadas para la estimación de estado de sistemas lineales y no lineales se encuentran los observadores lineales, retardados, de modo deslizante, de alta ganancia, Tau, basados en homogeneidad, extendidos y cúbicos. En las siguientes secciones se describe una estructura de observador lineal.

caso de tiempo discreto

Se supone que el estado de un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo satisface

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)+Du(k)

donde, en ese momento $k$ , $x(k)$ es el estado de la planta; $u(k)$ son sus entradas; y $y(k)$ son sus salidas. Estas ecuaciones simplemente dicen que las salidas actuales de la planta y su estado futuro están determinados únicamente por sus estados actuales y las entradas actuales. (Aunque estas ecuaciones se expresan en términos de pasos de tiempo discretos , ecuaciones muy similares son válidas para sistemas continuos ). Si este sistema es observable, entonces la salida de la planta, $y(k)$ , puede utilizarse para dirigir el estado del observador estatal.

El modelo observador del sistema físico se deriva típicamente de las ecuaciones anteriores. Se pueden incluir términos adicionales para asegurar que, al recibir valores medidos sucesivos de las entradas y salidas de la planta, el estado del modelo converja al de la planta. En particular, la salida del observador se puede restar de la salida de la planta y luego multiplicar por una matriz. $L$ ; esto se añade luego a las ecuaciones del estado del observador para producir un observador de Luenberger , definido por las ecuaciones que aparecen a continuación. Nótese que las variables de un observador de estado se suelen denotar con un "sombrero": ${\hat {x}}(k)$ y ${\hat {y}}(k)$ para distinguirlas de las variables de las ecuaciones que satisface el sistema físico.

{\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]+Bu(k)

{\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)+Du(k)

Se dice que el observador es asintóticamente estable si el error del observador $e(k)={\hat {x}}(k)-x(k)$ converge a cero cuando $k\to \infty$ Para un observador de Luenberger, el error del observador satisface $e(k+1)=(A-LC)e(k)$ Por lo tanto, el observador de Luenberger para este sistema de tiempo discreto es asintóticamente estable cuando la matriz $A-LC$ tiene todos los valores propios dentro del círculo unitario .

Para fines de control, la salida del sistema observador se realimenta a la entrada tanto del observador como de la planta a través de la matriz de ganancias. $K$ .

u(k)=-K{\hat {x}}(k)

Las ecuaciones del observador quedan entonces de la siguiente manera:

{\hat {x}}(k+1)=A{\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]-BK{\hat {x}}(k)

{\hat {y}}(k)=C{\hat {x}}(k)-DK{\hat {x}}(k)

o, más sencillamente,

{\hat {x}}(k+1)=\left(A-BK\right){\hat {x}}(k)+L\left[y(k)-{\hat {y}}(k)\right]

{\hat {y}}(k)=\left(C-DK\right){\hat {x}}(k)

Debido al principio de separación sabemos que podemos elegir $K$ y $L$ de forma independiente sin perjudicar la estabilidad general de los sistemas. Como regla general , los polos del observador $A-LC$ Por lo general, se eligen para que converjan 10 veces más rápido que los polos del sistema. $A-BK$ .

Caso de tiempo continuo

El ejemplo anterior era para un observador implementado en un sistema LTI de tiempo discreto. Sin embargo, el proceso es similar para el caso de tiempo continuo; el observador obtiene $L$ se eligen para que la dinámica del error en tiempo continuo converja a cero asintóticamente (es decir, cuando $A-LC$ es una matriz de Hurwitz ).

Para un sistema lineal de tiempo continuo

{\dot {x}}=Ax+Bu,

y=Cx+Du,

dónde $x\in \mathbb {R} ^{n},u\in \mathbb {R} ^{m},y\in \mathbb {R} ^{r}$ El observador se parece al caso de tiempo discreto descrito anteriormente:

{\dot {\hat {x}}}=A{\hat {x}}+Bu+L\left(y-{\hat {y}}\right)

.

{\sombrero {y}}=C{\sombrero {x}}+Du,

El error del observador $e=x-{\hat {x}}$ satisface la ecuación

{\dot {e}}=(A-LC)e

.

Los valores propios de la matriz $A-LC$ puede elegirse arbitrariamente mediante la selección adecuada de la ganancia del observador. $L$ cuando la pareja $[A,C]$ es observable, es decir, se cumple la condición de observabilidad . En particular, se puede hacer Hurwitz, por lo que el error del observador $e(t)\to 0$ cuando $t\to \infty$ .

Métodos de observación y otros métodos

Cuando el observador gana $L$ es alta, el observador lineal de Luenberger converge a los estados del sistema muy rápidamente. Sin embargo, una alta ganancia del observador conduce a un fenómeno de pico en el que el error inicial del estimador puede ser prohibitivamente grande (es decir, poco práctico o inseguro de usar). ^{[ 1 ]} Como consecuencia, existen métodos de observadores no lineales de alta ganancia que convergen rápidamente sin el fenómeno de pico. Por ejemplo, el control de modo deslizante se puede utilizar para diseñar un observador que lleva el error de un estado estimado a cero en un tiempo finito incluso en presencia de error de medición; los otros estados tienen un error que se comporta de manera similar al error en un observador de Luenberger después de que el pico haya disminuido. Los observadores de modo deslizante también tienen atractivas propiedades de resistencia al ruido que son similares a un filtro de Kalman . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Otro enfoque es aplicar un observador múltiple, que mejora significativamente los transitorios y reduce el sobreimpulso del observador. El observador múltiple se puede adaptar a cualquier sistema donde se aplique un observador de alta ganancia. ^{[ 4 ]}

Observadores de estado para sistemas no lineales

Los observadores de alta ganancia, de modo deslizante y extendidos son los más comunes para sistemas no lineales. Para ilustrar la aplicación de los observadores de modo deslizante a sistemas no lineales, consideremos primero el sistema no lineal sin entrada:

{\dot {x}}=f(x)

dónde $x\in \mathbb {R} ^{n}$ Supongamos también que existe una salida medible. $y\in \mathbb {R}$ dado por

y=h(x).

Existen varios enfoques no aproximados para diseñar un observador. Los dos observadores que se muestran a continuación también se aplican al caso en que el sistema tiene una entrada. Es decir,

{\dot {x}}=f(x)+B(x)u

y=h(x).

Dinámica de error linealizable

Una sugerencia de Krener e Isidori ^{[ 5 ]} y Krener y Respondek ^{[ 6 ]} se puede aplicar en una situación en la que existe una transformación linealizante (es decir, un difeomorfismo , como el que se usa en la linealización por retroalimentación ). $z=\Phi (x)$ de tal manera que en nuevas variables las ecuaciones del sistema se leen

{\dot {z}}=Az+\phi (y),

y=Cz.

El observador de Luenberger se diseña entonces como

{\dot {\hat {z}}}=A{\hat {z}}+\phi (y)-L\left(C{\hat {z}}-y\right)

.

El error del observador para la variable transformada $e={\hat {z}}-z$ Satisface la misma ecuación que en el caso lineal clásico.

{\dot {e}}=(A-LC)e

.

Como lo demostraron Gauthier, Hammouri y Othman ^{[ 7 ]} y Hammouri y Kinnaert, ^{[ 8 ]} si existe transformación $z=\Phi (x)$ de tal manera que el sistema pueda transformarse en la forma

{\dot {z}}=A(u(t))z+\phi (y,u(t)),

y=Cz,

entonces el observador está diseñado como

{\dot {\hat {z}}}=A(u(t)){\hat {z}}+\phi (y,u(t))-L(t)\left(C{\hat {z}}-y\right)

,

dónde $L(t)$ es una ganancia de observador que varía con el tiempo.

Ciccarella, Dalla Mora y Germani ^{[ 9 ]} obtuvieron resultados más avanzados y generales, eliminando la necesidad de una transformación no lineal y demostrando la convergencia asintótica global del estado estimado al estado verdadero utilizando solo supuestos simples sobre regularidad.

Observadores cambiados

Como se explicó anteriormente para el caso lineal, el fenómeno de pico presente en los observadores de Luenberger justifica el uso de observadores conmutados. Un observador conmutado comprende un relé o interruptor binario que actúa al detectar cambios mínimos en la salida medida. Algunos tipos comunes de observadores conmutados incluyen el observador de modo deslizante, el observador de estado extendido no lineal, ^{[ 10 ]} el observador de tiempo fijo, ^{[ 11 ]} el observador de alta ganancia conmutado ^{[ 12 ]} y el observador unificador. ^{[ 13 ]} El observador de modo deslizante utiliza retroalimentación no lineal de alta ganancia para llevar los estados estimados a una hipersuperficie donde no hay diferencia entre la salida estimada y la salida medida. La ganancia no lineal utilizada en el observador se implementa típicamente con una función de conmutación escalada, como el signo (es decir, sgn) del error de salida estimada - medida. Por lo tanto, debido a esta retroalimentación de alta ganancia, el campo vectorial del observador tiene un pliegue en él de modo que las trayectorias del observador se deslizan a lo largo de una curva donde la salida estimada coincide exactamente con la salida medida. Así pues, si el sistema es observable a partir de su salida, los estados del observador se dirigirán hacia los estados reales del sistema. Además, al utilizar el signo del error para controlar el observador de modo deslizante, las trayectorias del observador se vuelven insensibles a muchas formas de ruido. Por consiguiente, algunos observadores de modo deslizante poseen propiedades atractivas similares a las del filtro de Kalman , pero con una implementación más sencilla. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Como sugiere Drakunov, ^{[ 14 ]} también se puede diseñar un observador de modo deslizante para una clase de sistemas no lineales. Dicho observador se puede escribir en términos de la estimación de la variable original. ${\hat {x}}$ y tiene la forma

{\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))

dónde:

El $\operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})$ El vector extiende la función signo escalar a $n$ dimensiones. Es decir,
$\operatorname {sgn}(z)={\begin{bmatrix}\operatorname {sgn}(z_{1})\\\operatorname {sgn}(z_{2})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{i})\\\vdots \\\operatorname {sgn}(z_{n})\end{bmatrix}}$
para el vector $z\in \mathbb {R} ^{n}$ .
El vector $H(x)$ tiene componentes que son la función de salida $h(x)$ y sus derivadas de Lie repetidas. En particular,
$H(x)\triangleq {\begin{bmatrix}h_{1}(x)\\h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\L_{f}^{2}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}$
dónde $L_{f}^{i}h$ es la i ^-ésima derivada de Lie de la función de salida $h$ a lo largo del campo vectorial $f$ (es decir, a lo largo de $x$ trayectorias del sistema no lineal). En el caso especial en que el sistema no tiene entrada o tiene un grado relativo de n , $H(x(t))$ es una colección de la salida $y(t)=h(x(t))$ y su $n-1$ derivadas. Porque la inversa de la linealización jacobiana de $H(x)$ debe existir para que este observador esté bien definido, la transformación $H(x)$ Se garantiza que es un difeomorfismo local .
La matriz diagonal $M({\hat {x}})$ de ganancias es tal que
$M({\hat {x}})\triangleq \operatorname {diag} (m_{1}({\hat {x}}),m_{2}({\hat {x}}),\ldots ,m_{n}({\hat {x}}))={\begin{bmatrix}m_{1}({\hat {x}})&&&&&\\&m_{2}({\hat {x}})&&&&\\&&\ddots &&&\\&&&m_{i}({\hat {x}})&&\\&&&&\ddots &\\&&&&&m_{n}({\hat {x}})\end{bmatrix}}$
donde, para cada $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ , elemento $m_{i}({\hat {x}})>0$ y de un tamaño suficientemente grande para garantizar que el mecanismo deslizante sea accesible .
El vector del observador $V(t)$ es tal que
$V(t)\triangleq {\begin{bmatrix}v_{1}(t)\\v_{2}(t)\\v_{3}(t)\\\vdots \\v_{i}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}y(t)\\\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\{m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{i-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i-1}(t)-h_{i-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\\\vdots \\\{m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\}_{\text{eq}}\end{bmatrix}}$
dónde $\operatorname {sgn}({\mathord {\cdot }})$ Aquí está la función signo normal definida para escalares, y $\{\ldots \}_{\text{eq}}$ denota un "operador de valor equivalente" de una función discontinua en modo deslizante.

La idea se puede explicar brevemente de la siguiente manera. Según la teoría de los modos deslizantes, para describir el comportamiento del sistema, una vez que comienza el modo deslizante, la función $\operatorname {sgn}(v_{i}(t)\!-\!h_{i}({\hat {x}}(t)))$ Debe sustituirse por valores equivalentes (véase control equivalente en la teoría de modos deslizantes ). En la práctica, conmuta (oscila) con alta frecuencia, siendo el componente lento igual al valor equivalente. Aplicando un filtro paso bajo adecuado para eliminar el componente de alta frecuencia, se puede obtener el valor del control equivalente, que contiene más información sobre el estado del sistema estimado. El observador descrito anteriormente utiliza este método varias veces para obtener el estado del sistema no lineal, idealmente en tiempo finito.

El error de observación modificado se puede escribir en los estados transformados. $e=H(x)-H({\hat {x}})$ . En particular,

{\begin{aligned}{\dot {e}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)-M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t))),\end{aligned}}

y entonces

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{1}\\{\dot {e}}_{2}\\\vdots \\{\dot {e}}_{i}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n-1}\\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}}&={\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {h}}_{1}(x)\\{\dot {h}}_{2}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{i}(x)\\\vdots \\{\dot {h}}_{n-1}(x)\\{\dot {h}}_{n}(x)\end{bmatrix}} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H(x)}}}-{\mathord {\overbrace {M({\hat {x}})\,\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}(t)))} ^{{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}H({\hat {x}})}}}={\begin{bmatrix}h_{2}(x)\\h_{3}(x)\\\vdots \\h_{i+1}(x)\\\vdots \\h_{n}(x)\\L_{f}^{n}h(x)\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}m_{1}\operatorname {sgn}(v_{1}(t)-h_{1}({\hat {x}}(t)))\\m_{2}\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{i}\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\m_{n-1}\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\m_{n}\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}h_{2}(x)-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}({\mathord {\overbrace {{\mathord {\overbrace {v_{1}(t)} ^{v_{1}(t)=y(t)=h_{1}(x)}}}-h_{1}({\hat {x}}(t))} ^{e_{1}}}})\\h_{3}(x)-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{i+1}(x)-m_{i}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{i}(t)-h_{i}({\hat {x}}(t)))\\\vdots \\h_{n}(x)-m_{n-1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n-1}(t)-h_{n-1}({\hat {x}}(t)))\\L_{f}^{n}h(x)-m_{n}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(v_{n}(t)-h_{n}({\hat {x}}(t)))\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Entonces:

Mientras $m_{1}({\hat {x}})\geq |h_{2}(x(t))|$ , la primera fila de la dinámica de errores, ${\dot {e}}_{1}=h_{2}({\hat {x}})-m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})$ , cumplirá las condiciones suficientes para ingresar al $e_{1}=0$ modo deslizante en tiempo finito.
A lo largo del $e_{1}=0$ superficie, la correspondiente $v_{2}(t)=\{m_{1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{1})\}_{\text{eq}}$ El control equivalente será igual a $h_{2}(x)$ , y entonces $v_{2}(t)-h_{2}({\hat {x}})=h_{2}(x)-h_{2}({\hat {x}})=e_{2}$ . Por lo tanto, siempre que $m_{2}({\hat {x}})\geq |h_{3}(x(t))|$ , la segunda fila de la dinámica de errores, ${\dot {e}}_{2}=h_{3}({\hat {x}})-m_{2}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{2})$ , entrará en el $e_{2}=0$ modo deslizante en tiempo finito.
A lo largo del $e_{i}=0$ superficie, la correspondiente $v_{i+1}(t)=\{\ldots \}_{\text{eq}}$ El control equivalente será igual a $h_{i+1}(x)$ . Por lo tanto, siempre que $m_{i+1}({\hat {x}})\geq |h_{i+2}(x(t))|$ , el $(i+1)$ ^fila de la dinámica de errores, ${\dot {e}}_{i+1}=h_{i+2}({\hat {x}})-m_{i+1}({\hat {x}})\operatorname {sgn}(e_{i+1})$ , entrará en el $e_{i+1}=0$ modo deslizante en tiempo finito.

Entonces, para suficientemente grande $m_{i}$ ganancias, todos los estados estimados por el observador alcanzan los estados reales en un tiempo finito. De hecho, al aumentar $m_{i}$ permite la convergencia en cualquier tiempo finito deseado siempre que cada $|h_{i}(x(0))|$ La función puede ser acotada con certeza. Por lo tanto, el requisito de que el mapa $H:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ Un difeomorfismo (es decir, que su linealización jacobiana es invertible) afirma que la convergencia de la salida estimada implica la convergencia del estado estimado. Es decir, el requisito es una condición de observabilidad.

En el caso del observador de modo deslizante para el sistema con la entrada, se necesitan condiciones adicionales para que el error de observación sea independiente de la entrada. Por ejemplo, que

{\frac {\partial H(x)}{\partial x}}B(x)

no depende del tiempo. El observador es entonces

{\dot {\hat {x}}}=\left[{\frac {\partial H({\hat {x}})}{\partial x}}\right]^{-1}M({\hat {x}})\operatorname {sgn}(V(t)-H({\hat {x}}))+B({\hat {x}})u.

Observador múltiple

El observador múltiple extiende la estructura del observador de alta ganancia de un solo observador a múltiples observadores, con varios modelos funcionando simultáneamente. Consta de dos capas: la primera se compone de múltiples observadores de alta ganancia con diferentes estados de estimación, y la segunda determina los pesos de importancia de los observadores de la primera capa. El algoritmo es sencillo de implementar y no contiene operaciones de riesgo como la diferenciación. ^{[ 4 ]} La idea de múltiples modelos se aplicó previamente para obtener información en el control adaptativo . ^{[ 15 ]}

Esquema de múltiples observadores

Suponiendo que el número de observadores de alta ganancia es igual a $n+1$ ,

{\dot {\hat {x}}}_{k}(t)=A{\hat {x_{k}}}(t)+B\phi _{0}({\hat {x}}(t),u(t))-L({\hat {y_{k}}}(t)-y(t))

{\hat {y_{k}}}(t)=C{\hat {x_{k}}}(t)

dónde $k=1,\dots ,n+1$ es el índice del observador. Los observadores de la primera capa constan de la misma ganancia. $L$ pero difieren del estado inicial $x_{k}(0)$ . En la segunda capa todo $x_{k}(t)$ de $k=1...n+1$ Los observadores se combinan en uno para obtener una estimación de vector de estado único.

{\hat {y_{k}}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t){\hat {x_{k}}}(t)

dónde $\alpha _{k}\in \mathbb {R}$ son factores de ponderación. Estos factores se modifican para proporcionar la estimación en la segunda capa y para mejorar el proceso de observación.

Supongamos que

\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)\xi _{k}(t)=0

y

\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)=1

dónde $\xi _{k}\in \mathbb {R} ^{n\times 1}$ es algún vector que depende de $kth$ error del observador $e_{k}(t)$ .

Algunas transformaciones dan lugar a un problema de regresión lineal.

[-\xi _{n+1}(t)]=[\xi _{1}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{k}(t)-\xi _{n+1}(t)\dots \xi _{n}(t)-\xi _{n+1}(t)]^{T}{\begin{bmatrix}\alpha _{1}(t)\\\vdots \\\alpha _{k}(t)\\\vdots \\\alpha _{n}(t)\end{bmatrix}}

Esta fórmula permite estimar $\alpha _{k}(t)$ Para construir una variedad necesitamos mapeo $m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ entre $\xi _{k}(t)=m(e_{k}(t))$ y garantía de que $\xi _{k}(t)$ es calculable basándose en señales medibles. Lo primero es eliminar el fenómeno del estacionamiento para $\alpha _{k}(t)$ debido a un error del observador

e_{\sigma }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}\alpha _{k}(t)e_{k}(t)

.

Calcular $n$ veces derivada de $\eta _{k}(t)={\hat {y}}_{k}(t)-y(t)$ encontrar mapeo m conduce a $\xi _{k}(t)$ definido como

\xi _{k}(t)={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\CL&1&0&\cdots &0\\CAL&CL&1&\cdots &0\\CA^{2}L&CAL&CL&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\CA^{n-2}L&CA^{n-3}L&CA^{n-4}L&\cdots &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\int \limits _{t-t_{d}}^{t}{{n-1} \atop \cdots }\int \limits _{t-t_{d}}^{t}\eta _{k}(\tau )d\tau \\\vdots \\\eta (t)-\eta (t-(n-1)t_{d})\end{bmatrix}}

dónde $t_{d}>0$ es una constante de tiempo . Tenga en cuenta que $\xi _{k}(t)$ relés en ambos $\eta _{k}(t)$ y sus integrales, por lo tanto, está fácilmente disponible en el sistema de control. Además $\alpha _{k}(t)$ se especifica mediante la ley de estimación; y por lo tanto prueba que la variedad es medible. En la segunda capa ${\hat {\alpha }}_{k}(t)$ para $k=1\dots n+1$ se introduce como estimaciones de $\alpha _{k}(t)$ coeficientes. El error de mapeo se especifica como

e_{\xi }(t)=\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\hat {\alpha }}_{k}(t)\xi _{k}(t)

dónde $e_{\xi }(t)\in \mathbb {R} ^{n\times 1},{\hat {\alpha }}_{k}(t)\in \mathbb {R}$ . Si los coeficientes ${\hat {\alpha }}(t)$ son iguales a $\alpha _{k}(t)$ , entonces error de mapeo $e_{\xi }(t)=0$ Ahora es posible calcular ${\hat {x}}$ de la ecuación anterior y por lo tanto el fenómeno de pico se reduce gracias a las propiedades de la variedad. El mapeo creado brinda mucha flexibilidad en el proceso de estimación. Incluso es posible estimar el valor de $x(t)$ en la segunda capa y para calcular el estado $x$ . ^{[ 4 ]}

Observadores delimitadores

Los observadores de acotación ^{[ 16 ]} o de intervalo ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} constituyen una clase de observadores que proporcionan dos estimaciones del estado simultáneamente: una de ellas proporciona una cota superior para el valor real del estado, mientras que la segunda proporciona una cota inferior. Se sabe entonces que el valor real del estado siempre se encuentra dentro de estas dos estimaciones.

Estos límites son muy importantes en las aplicaciones prácticas, ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} ya que permiten conocer en cada momento la precisión de la estimación.

Matemáticamente, se pueden usar dos observadores de Luenberger, si $L$ se selecciona adecuadamente, utilizando, por ejemplo, propiedades de sistemas positivos : ^{[ 21 ]} una para el límite superior ${\hat {x}}_{U}(k)$ (que garantiza que $e(k)={\hat {x}}_{U}(k)-x(k)$ converge a cero desde arriba cuando $k\to \infty$ , en ausencia de ruido e incertidumbre ), y un límite inferior ${\hat {x}}_{L}(k)$ (que garantiza que $e(k)={\hat {x}}_{L}(k)-x(k)$ converge a cero desde abajo). Es decir, siempre ${\hat {x}}_{U}(k)\geq x(k)\geq {\hat {x}}_{L}(k)$

Véase también

Referencias

Referencias en línea

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Referencias generales

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Enlaces externos

Explicación sencilla del filtro de Kalman: tutorial paso a paso con ecuaciones.

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