Retroalimentación de estado completa

La retroalimentación de estado completo (FSF), o colocación de polos , es un método empleado en la teoría de sistemas de control de retroalimentación para colocar los polos de bucle cerrado de una planta en ubicaciones predeterminadas en el plano s . ^[1] La colocación de polos es deseable porque la ubicación de los polos corresponde directamente a los valores propios del sistema, que controlan las características de la respuesta del sistema. El sistema debe considerarse controlable para implementar este método.

Si la dinámica de bucle cerrado se puede representar mediante la ecuación del espacio de estados (ver Espacio de estados (controles) )

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}$

con ecuación de salida

${\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}$

entonces los polos de la función de transferencia del sistema son las raíces de la ecuación característica dada por

${\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}$

La retroalimentación de estado completo se utiliza al controlar el vector de entrada . Considere una entrada proporcional (en el sentido matricial) al vector de estado, ${\displaystyle {\underline {u}}}$

${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$.

Sustituyendo en las ecuaciones del espacio de estados anteriores, tenemos

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}}}$

${\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}$

Los polos del sistema FSF están dados por la ecuación característica de la matriz , . Comparando los términos de esta ecuación con los de la ecuación característica deseada se obtienen los valores de la matriz de retroalimentación que fuerzan los valores propios de bucle cerrado a las posiciones de los polos especificadas por la ecuación característica deseada. ^[2]${\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} }$${\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}$${\displaystyle {\textbf {K}}}$

Consideremos un sistema dado por las siguientes ecuaciones de espacio de estados:

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.}$

El sistema no controlado tiene polos de lazo abierto en y . Estos polos son los valores propios de la matriz y son las raíces de . Supongamos, por consideraciones de la respuesta, que deseamos que los valores propios del sistema controlado se ubiquen en y , que no son los polos que tenemos actualmente. La ecuación característica deseada es entonces , de . ${\estilo de visualización s=-1}$${\estilo de visualización s=-2}$${\displaystyle \mathbf {A}}$${\displaystyle \izquierda|s\mathbf {yo} -\mathbf {a} \derecha|}$${\estilo de visualización s=-1}$${\estilo de visualización s=-5}$$Estilo de visualización s^{2}+6s+5=0$${\displaystyle (s+1)(s+5)}$

Siguiendo el procedimiento dado anteriormente, la ecuación característica del sistema controlado por FSF es

${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.}$

Al igualar esta ecuación característica a la ecuación característica deseada, encontramos

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}$.

Por lo tanto, la configuración fuerza los polos de bucle cerrado a las ubicaciones deseadas, lo que afecta la respuesta según lo deseado. ${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$

Esto sólo funciona para sistemas de una sola entrada. Los sistemas de múltiples entradas tendrán una matriz que no es única. Por lo tanto, elegir los mejores valores no es trivial. Se podría utilizar un regulador lineal-cuadrático para tales aplicaciones ^{[ cita requerida ]} . ${\displaystyle {\textbf {K}}}$${\displaystyle {\textbf {K}}}$

• División de polos
• Respuesta escalonada
• Fórmula de Ackermann
• Regulador lineal-cuadrático

• Función de Mathematica para calcular las ganancias de retroalimentación de estado