División de polos

La división de polos es un fenómeno que se aprovecha en algunas formas de compensación de frecuencia utilizadas en un amplificador electrónico . Cuando se introduce un condensador entre la entrada y la salida del amplificador con la intención de desplazar el polo de menor frecuencia (generalmente un polo de entrada) hacia frecuencias más bajas, la división de polos provoca que el polo siguiente en frecuencia (generalmente un polo de salida) se desplace hacia una frecuencia más alta. Este desplazamiento de polos aumenta la estabilidad del amplificador y mejora su respuesta escalón a costa de una menor velocidad. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

Este ejemplo muestra que la introducción del condensador C _C en el amplificador de la Figura 1 tiene dos resultados: primero, hace que el polo de frecuencia más baja del amplificador se mueva aún más abajo en frecuencia y, segundo, hace que el polo de frecuencia más alta se mueva más arriba en frecuencia. ^{[ 5 ]} Este amplificador tiene un polo de baja frecuencia debido a la resistencia de entrada R _i y la capacitancia C _i añadidas , con la constante de tiempo C _i ( R _A || R _i ). Este polo se reduce en frecuencia por el efecto Miller . El amplificador obtiene un polo de salida de alta frecuencia por la adición de la resistencia de carga R _L y la capacitancia C _L , con la constante de tiempo C _L ( R _o || R _L ). El movimiento ascendente del polo de alta frecuencia ocurre porque el condensador de compensación amplificado por Miller C _C altera la dependencia de frecuencia del divisor de voltaje de salida.

El primer objetivo, demostrar que el polo más bajo disminuye en frecuencia, se establece utilizando el mismo enfoque que en el artículo sobre el teorema de Miller . Siguiendo ese procedimiento, la Figura 1 se transforma en el circuito eléctricamente equivalente de la Figura 2. La aplicación de la ley de corrientes de Kirchhoff al lado de entrada de la Figura 2 determina la tensión de entrada.${\displaystyle \ v_{i}}$al amplificador operacional ideal en función de la tensión de señal aplicada${\displaystyle \ v_{a}}$, es decir,

${\displaystyle {\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,}$

que presenta una disminución con la frecuencia comenzando en f ₁ donde

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}}$

que introduce la notación${\displaystyle \tau _{1}}$para la constante de tiempo del polo más bajo. Esta frecuencia es menor que la frecuencia baja inicial del amplificador, que para C _C = 0 F es ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}}$.

Pasando al segundo objetivo, que muestra que el polo superior aumenta con la frecuencia, consideremos el lado de salida del circuito, que contribuye con un segundo factor a la ganancia total y una dependencia adicional de la frecuencia. El voltaje${\displaystyle \ v_{o}}$está determinado por la ganancia del amplificador operacional ideal dentro del amplificador como

${\displaystyle \ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .}$

Utilizando esta relación y aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff al lado de salida del circuito, se determina la tensión de carga.${\displaystyle v_{\ell }}$en función del voltaje${\displaystyle \ v_{i}}$en la entrada del amplificador operacional ideal como:

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!}$${\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .}$

Esta expresión se combina con el factor de ganancia hallado anteriormente para el lado de entrada del circuito para obtener la ganancia total como

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}}$

${\displaystyle =A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!}$${\displaystyle \cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!}$${\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .}$

Esta fórmula de ganancia parece mostrar una respuesta simple de dos polos con dos constantes de tiempo. También presenta un cero en el numerador, pero, suponiendo que la ganancia del amplificador A _v es grande, este cero solo es importante a frecuencias demasiado altas para ser relevantes en esta discusión, por lo que el numerador puede aproximarse a la unidad. Sin embargo, aunque el amplificador tiene un comportamiento de dos polos, las dos constantes de tiempo son más complicadas de lo que sugiere la expresión anterior, ya que la capacitancia de Miller contiene una dependencia de frecuencia oculta que no tiene importancia a bajas frecuencias, pero sí un efecto considerable a altas frecuencias. Es decir, suponiendo que el producto RC de salida, C _L ( R _o || R _L ), corresponde a una frecuencia muy superior al polo de baja frecuencia, debe utilizarse la forma precisa de la capacitancia de Miller, en lugar de la aproximación de Miller . Según el artículo sobre el efecto Miller , la capacitancia de Miller viene dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}}$

Para una capacitancia de Miller positiva, A _v es negativa. Al sustituir este resultado en la expresión de ganancia y agrupar los términos, la ganancia se reescribe como:

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,}$

donde D _ω viene dada por una ecuación cuadrática en ω, a saber:

${\displaystyle D_{\omega }\,\!}$${\displaystyle =[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!}$${\displaystyle \cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!}$${\displaystyle \ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!}$${\displaystyle \cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!}$${\displaystyle \ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .}$

Cada ecuación cuadrática tiene dos factores, y esta expresión se simplifica a

${\displaystyle \ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})}$

${\displaystyle =1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\ }$

dónde${\displaystyle \tau _{1}}$y${\displaystyle \tau _{2}}$son combinaciones de las capacitancias y resistencias en la fórmula para D _ω . ^{[ 6 ]} Corresponden a las constantes de tiempo de los dos polos del amplificador. Una u otra constante de tiempo es la más larga; supongamos${\displaystyle \tau _{1}}$es la constante de tiempo más larga, que corresponde al polo más bajo, y supongamos que${\displaystyle \tau _{1}}$>>${\displaystyle \tau _{2}}$. (Una buena respuesta escalón requiere${\displaystyle \tau _{1}}$>>${\displaystyle \tau _{2}}$(Véase la selección de C _C a continuación.)

A bajas frecuencias cerca del polo más bajo de este amplificador, normalmente el término lineal en ω es más importante que el término cuadrático, por lo que el comportamiento de D _ω a bajas frecuencias es:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}}$

donde ahora C _M se redefine utilizando la aproximación de Miller como

${\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,}$

que es simplemente la capacitancia de Miller anterior evaluada a bajas frecuencias. Sobre esta base${\displaystyle \tau _{1}}$se determina, siempre que${\displaystyle \tau _{1}}$>>${\displaystyle \tau _{2}}$. Debido a que C _M es grande, la constante de tiempo${\displaystyle {\tau }_{1}}$es mucho mayor que su valor original de C _i ( R _A || R _i ). ^{[ 7 ]}

A altas frecuencias el término cuadrático se vuelve importante. Suponiendo el resultado anterior para${\displaystyle \tau _{1}}$es válido, la segunda constante de tiempo, la posición del polo de alta frecuencia, se encuentra a partir del término cuadrático en D _ω como

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .}$

Sustituyendo en esta expresión el coeficiente cuadrático correspondiente al producto${\displaystyle \tau _{1}\tau _{2}}$junto con la estimación de${\displaystyle \tau _{1}}$Se obtiene una estimación para la posición del segundo polo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}}$

y debido a que C _M es grande, parece${\displaystyle \tau _{2}}$se reduce en tamaño desde su valor original C _L ( R _o || R _L ); es decir, el polo superior se ha movido aún más alto en frecuencia debido a C _C . ^{[ 8 ]}

En resumen, la introducción del condensador CC redujo el polo bajo y elevó el polo alto, por lo que el término división de polos _parece una buena descripción.

Selección de C _C

¿Qué valor es una buena opción para C _C ? Para uso general, el diseño tradicional (a menudo llamado compensación de polo dominante o de polo único ) requiere que la ganancia del amplificador disminuya a 20  dB/década desde la frecuencia de corte hasta una  ganancia de 0 dB, o incluso menor. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Con este diseño, el amplificador es estable y tiene una respuesta de paso casi óptima incluso como un búfer de voltaje de ganancia unitaria. Una técnica más agresiva es la compensación de dos polos. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

La forma de posicionar f ₂ para obtener el diseño se muestra en la Figura 3. En el polo más bajo f ₁ , el diagrama de ganancia de Bode rompe la pendiente para caer a 20  dB/década. El objetivo es mantener la  pendiente de 20 dB/década hasta llegar a cero dB, y tomando la relación de la caída de ganancia deseada (en dB) de 20 log ₁₀ A _v al cambio de frecuencia requerido (en una escala de frecuencia logarítmica ^{[ 13 ]} ) de ( log ₁₀ f ₂ − log ₁₀ f ₁ ) = log ₁₀ ( f ₂ / f ₁ ), la pendiente del segmento entre f ₁ y f ₂ es:  

Pendiente por década de frecuencia ${\displaystyle =20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,}$

que es de 20  dB/década siempre que f ₂ = A _v f ₁ . Si f ₂ no es tan grande, la segunda ruptura en el diagrama de Bode que ocurre en el segundo polo interrumpe el diagrama antes de que la ganancia caiga a 0  dB con la consiguiente menor estabilidad y una respuesta escalón degradada.

La figura 3 muestra que, para obtener la dependencia de ganancia correcta con la frecuencia, el segundo polo tiene una frecuencia al menos un factor A _v mayor que el primer polo. La ganancia se reduce ligeramente por los divisores de voltaje en la entrada y la salida del amplificador, por lo que, con correcciones a A _v para los divisores de voltaje en la entrada y la salida, la condición de relación de polos para una buena respuesta escalón se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$

Utilizando las aproximaciones para las constantes de tiempo desarrolladas anteriormente,

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$

o

${\displaystyle {\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!}$${\displaystyle {\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$

que proporciona una ecuación cuadrática para determinar un valor apropiado para C _C . La Figura 4 muestra un ejemplo usando esta ecuación. A bajos valores de ganancia, este amplificador de ejemplo satisface la condición de relación de polos sin compensación (es decir, en la Figura 4 el condensador de compensación C _C es pequeño a baja ganancia), pero a medida que aumenta la ganancia, una capacitancia de compensación se vuelve rápidamente necesaria (es decir, en la Figura 4 el condensador de compensación C _C aumenta rápidamente con la ganancia) porque la relación de polos necesaria aumenta con la ganancia. Para una ganancia aún mayor, el C _C necesario disminuye con el aumento de la ganancia porque la amplificación de Miller de C _C , que aumenta con la ganancia (ver la ecuación de Miller ), permite un valor menor para C _C .

Para proporcionar un mayor margen de seguridad para las incertidumbres de diseño, a menudo A _v se incrementa a dos o tres veces A _v en el lado derecho de esta ecuación. ^{[ 14 ]} Véase Sansen ^{[ 4 ]} o Huijsing ^{[ 10 ]} y el artículo sobre respuesta escalón .

• Compensación de frecuencia
• Efecto Miller
• Fuente común
• Diagrama de Bode
• Respuesta escalonada
• amplificador CMOS

• Diagramas de Bode en el Wikilibro de Teoría de Circuitos
• Diagramas de Bode en el Wikilibro de Sistemas de Control