raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5 , denotada ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ , es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado el número natural 5 . Junto con su conjugado ⁠ ⁠${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$ , resuelve la ecuación cuadrática ⁠ ⁠${\displaystyle x^{2}-5=0}$ , lo que la convierte en un entero cuadrático , un tipo de número algebraico . ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ es un número irracional , lo que significa que no puede escribirse como una fracción de enteros . ^{[ 1 ]} Los primeros cuarenta dígitos significativos de su expansión decimal son:

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 5440... (secuencia A002163 en el OEIS ).

Una longitud de ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ puede construirse como la diagonal de un ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\times 1}$rectángulo unitario . ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ también aparece en toda la geometría métrica de figuras con simetría quíntuple; la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular es la proporción áurea ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ .

La raíz cuadrada de 5 es un número irracional , lo que significa que no se puede representar exactamente como una fracción donde y${\displaystyle x/y}$ son números enteros . Sin embargo, se puede aproximar con bastante precisión mediante dichos números racionales . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Particularmente buenas aproximaciones son las soluciones enteras de las ecuaciones de Pell ,

${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=1\quad {\text{y}}\quad x^{2}-5y^{2}=-1,}$

que se puede reorganizar algebraicamente en la forma

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\sqrt {5\pm {\frac {1}{y^{2}}}}}.}$

Por ejemplo, la aproximación ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle 2={\sqrt {5-1}}}$ , que es precisa en aproximadamente un 10%, satisface la ecuación negativa de Pell, ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle 2^{2}-5\cdot 1^{2}=4-5=-1}$ ; de igual modo, la aproximación ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle {\tfrac {9}{4}}={\sqrt {5+{\tfrac {1}{16}}}}=2.25}$ , que es precisa dentro del 1%, satisface la ecuación positiva, ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle 9^{2}-5\cdot 4^{2}=81-80=1}$ . Estas dos aproximaciones son las respectivas soluciones fundamentales de cada ecuación de Pell, a las cuales se relacionan algebraicamente soluciones adicionales .

Las soluciones a ambas ecuaciones de Pell también se pueden encontrar sistemáticamente siguiendo el algoritmo euclidiano , lo que da como resultado la fracción continua simple para ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ , ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,\ldots {}]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}$

Cada${\displaystyle n}$ paso del algoritmo produce una mejor aproximación , una${\displaystyle x_{n}/y_{n}}$ de las convergentes (evaluaciones parciales) de esta fracción continua. Estas son una secuencia de las mejores aproximaciones racionales a , cada${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ una más precisa que cualquier otra aproximación racional con el mismo denominador o uno menor. Dan todas las soluciones a las ecuaciones de Pell que satisfacen . [ 3 ${\displaystyle \textstyle x_{n}^{2}-5y_{n}^{2}=(-1)^{n}}$^{] Las primeras} convergentes a la fracción continua son: ^{[ 4 ]}

En el límite , estas aproximaciones convergen a ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ . Es decir, ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}/y_{n}={\sqrt {5}}}$ .

Uno de los métodos más antiguos para calcular la raíz cuadrada de un número ,${\displaystyle d}$ el método babilónico , ^{[ 5 ]} comienza con una estimación inicial y , en cada paso ${\displaystyle x_{0}}$, encuentra una nueva aproximación promediando la aproximación anterior y multiplicando${\displaystyle d}$ su recíproco . Este es el caso especial, para la función , del método de Newton para hallar la raíz de una función arbitraria . Para una estimación típica, la aproximación converge cuadráticamente (aproximadamente duplica el número de dígitos correctos en cada paso ⁾ . ^[ 6 ^]${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(x_{n}+d/x_{n})}$${\displaystyle \textstyle f(x)=x^{2}-d}$

La estimación inicial es algo arbitraria, pero al aproximar ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ mediante este método, generalmente se elige ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x_{0}=2}$^{[ 7 ]} Con esta elección, la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -ésima aproximación es igual a la ⁠ ⁠${\displaystyle 2^{n}}$ -ésima convergente de la fracción continua para ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ . ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {2}{1}}&\!\!x_{1}&={\frac {9}{4}}&\!\!x_{2}&={\frac {161}{72}}&\!\!x_{3}&={\frac {51841}{23184}}\\[3mu]&=2.{\color {BrickRed}0},&&=2.2{\color {BrickRed}5},&&\approx 2.236{\color {BrickRed}1},&&\approx 2.23606\,7977{\color {BrickRed}9},&\!\!\ldots ,\end{aligned}}}$

con dígitos que difieren de la expansión decimal de ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ resaltados en rojo.

La proporción áurea es la${\displaystyle \varphi }$ media aritmética de 1 y . ^{[ 9 ]} tiene una relación con la proporción áurea y su conjugado algebraico como se expresa en las siguientes fórmulas: ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -{\overline {\varphi }}=2\varphi -1=1-2{\overline {\varphi }},\\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\overline {\varphi }}+{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{~\!{\overline {\varphi }}\!~}}=1-{\overline {\varphi }},\\[5pt]{\overline {\varphi }}&={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi -{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ Luego, las cifras en la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci : ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n}}{\sqrt {5}}}.}$$

El cociente proporciona un${\displaystyle {\sqrt {5}}{\big /}\varphi }$ patrón interesante de fracciones continuas y está relacionado con las razones entre los números de Fibonacci y los números de Lucas : ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.381966\dots =[1;2,1,1,1,\ldots ]\end{aligned}}}$$

Las funciones convergentes tienen como numeradores los números de Lucas y como denominadores los números de Fibonacci:

$${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},\ldots ,{\frac {L_{n}}{F_{n+1}}},\ldots }$$

En el límite , $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}={\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi ,\qquad \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

Más precisamente, las convergentes a la fracción continua para ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ (véase § Aproximaciones racionales más arriba) son:

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},\ldots ,{\frac {{\tfrac {1}{2}}L_{3n}}{{\tfrac {1}{2}}F_{3n}}},\ldots .}$

Geométricamente , corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitud 1 y 2 , como es evidente por el teorema de Pitágoras . Dicho rectángulo se puede obtener dividiendo un cuadrado por la mitad, o colocando dos cuadrados iguales uno al lado del otro. Esto se puede usar para subdividir una cuadrícula cuadrada en una cuadrícula cuadrada inclinada con cinco veces más cuadrados, formando la base para una superficie de subdivisión . ^{[ 12 ]} Junto con la relación algebraica entre y ⁠ ⁠ , esto forma la base para la construcción geométrica de un rectángulo áureo a partir de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (ya que la razón lado-diagonal en un pentágono regular es ⁠ ⁠ ). ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Dado que dos caras adyacentes de un cubo se desplegarían formando un rectángulo , la relación entre la longitud de la ${\displaystyle 1\mathbin {:} 2}$arista del cubo y la distancia más corta desde uno de sus vértices al opuesto, al recorrer la superficie del cubo , es . Por el contrario, la distancia más corta al recorrer el interior del cubo corresponde a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de tres veces la arista. ^{[ 13 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Un rectángulo con proporciones de lado es parte de la serie de rectángulos dinámicos , que se basan en proporciones ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... y se construyen sucesivamente usando la diagonal del rectángulo raíz anterior, comenzando desde un cuadrado. ^{[ 14 ]} Un rectángulo raíz-5 es particularmente notable porque puede dividirse en un cuadrado y dos rectángulos áureos iguales o en dos rectángulos áureos de diferentes tamaños. ^{[ 15 ]} También puede descomponerse como la unión de dos rectángulos áureos iguales cuya intersección forma un cuadrado. Estas formas representan pictóricamente las relaciones algebraicas entre , ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ mencionadas anteriormente. ${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi ^{-1}}$

La raíz cuadrada de 5 aparece en constantes trigonométricas relacionadas con los ángulos de un pentágono y decágono regulares, que cuando se combinan, que pueden combinarse con otros ángulos que involucran y para describir senos y cosenos de cada ángulo cuya medida en grados es divisible por 3 pero no por 15. ^{[ 16 ]} Las más simples de estas son ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, calcular su valor fue históricamente importante para generar tablas trigonométricas . Dado que está geométricamente vinculado a los rectángulos de medio cuadrado y a los pentágonos, también aparece con frecuencia en fórmulas para las propiedades geométricas de figuras derivadas de ellos, como en la fórmula para el volumen de un dodecaedro . ^{[ 13 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

El teorema de Hurwitz sobre aproximaciones diofánticas establece que todo número irracional x puede aproximarse mediante infinitos números racionales .metro/norteen términos mínimos detal manera que

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

y eso es lo mejor posible, en el sentido de que para cualquier constante mayor que , existen algunos números irracionales x para los cuales solo existen un número finito de tales aproximaciones. ^{[ 17 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Estrechamente relacionado con esto está el teorema ^{[ 18 ]} que de cualesquiera tres convergentes consecutivos ⁠pi_​/q _i,​​p _{i +1}/q _{i +1},​​p _{i +2}/q _{i +2}⁠ , de un número α , se cumple al menos una de las tres desigualdades:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

Y el denominador es la mejor cota posible, ya que las convergentes de la razón áurea hacen que la diferencia del lado izquierdo sea arbitrariamente cercana al valor del lado derecho. En particular, no se puede obtener una cota más ajustada considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivos. ^{[ 18 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Aleksandr Korkin y Yegor Ivanovich Zolotaryov demostraron en 1873 que los dos primeros números de Lagrange son la raíz cuadrada de 5 y la raíz cuadrada de 8 , lo que más tarde inspiró el trabajo de Andrey Markov sobre lo que se conoció como el teorema de Markov . ^{[ 19 ]}

Los dos campos cuadráticos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {-5}}~\!{\bigr )}}$ , extensiones de campo de los números racionales , y sus anillos de enteros asociados, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}~\!]}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\sqrt {-5}}~\!]}$ , respectivamente, son ejemplos básicos y han sido estudiados extensamente.

El anillo contiene números de la forma , donde a y b son enteros y es el número imaginario . Este anillo es un ejemplo frecuentemente citado de un dominio de integridad que no es un dominio de factorización única . ^{[ 20 ]} Por ejemplo, el número 6 tiene dos factorizaciones no equivalentes dentro de este anillo:${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\displaystyle i{\sqrt {5}}}$${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

Por otro lado, Dedekind demostró que el anillo de enteros cuadráticos reales de enteros áureos , adyacente a la proporción áurea , es euclidiano y, por lo tanto ^, un dominio de factorización único. Este es el anillo de enteros en el campo áureo . ^[ 21 ^]${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$

El campo, como cualquier otro campo cuadrático , es una extensión abeliana de los números racionales. Por lo tanto, el teorema de Kronecker-Weber garantiza que la raíz cuadrada de cinco se puede escribir como una combinación lineal racional de raíces de la unidad : ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.\,}$

A enero de 2022, el valor numérico en decimal de la raíz cuadrada de 5 se había calculado con al menos 2,25 billones de dígitos. ^{[ 22 ]}

• proporción áurea
• Raíz cuadrada
• raíz cuadrada de 2
• raíz cuadrada de 3
• raíz cuadrada de 6
• raíz cuadrada de 7
• raíz cuadrada de 8
• raíz cuadrada de 10