raíz cuadrada de 10

En matemáticas , la raíz cuadrada de 10 es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado 10¹⁰ . Es aproximadamente igual a 3,16.

Históricamente, la raíz cuadrada de 10 se ha utilizado como una aproximación de la constante matemática π , y algunos matemáticos argumentaron erróneamente que la raíz cuadrada de 10 es en sí misma la razón entre el diámetro y la circunferencia de un círculo. Este número también desempeña un papel fundamental en el cálculo de órdenes de magnitud .

El médico del siglo XIII, Abd al-Latif al-Baghdadi, comparó, según sus biógrafos, la incertidumbre en la medicina con la imposibilidad matemática de determinar números irracionales como pi o la raíz cuadrada de diez. ^{[ 1 ]} Específicamente, en su Libro de los Dos Consejos ( Kitāb al-Naṣīḥatayn ), Abd al-Latif ofreció como ejemplo la superficie del círculo o una raíz cuadrada como la de diez, afirmando que si alguien dice que la raíz cuadrada de diez es tres, no se le puede considerar un aritmético y sus palabras no son válidas. ^{[ 2 ]}

Los primeros sesenta dígitos significativos de su expansión decimal son:

3.16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195 55139 32521 68268 57504... (secuencia A010467 en el OEIS )

Los dígitos decimales de su recíproco son los mismos, aunque desplazados :${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {10}}}}$⁠ = 0,31622....

Se han publicado más de un millón de dígitos decimales de la raíz cuadrada de 10, ^{[ 3 ]} y la NASA anunció la publicación del primer millón de dígitos el 1 de abril de 1994. ^{[ 4 ]} En diciembre de 2013, se informó que su valor numérico en decimal se había calculado en al menos diez mil millones de dígitos. ^{[ 5 ]}

Como lo discute Jan Gullberg en Matemáticas desde el nacimiento de los números , ^{[ 6 ]} debido a su cercanía a la constante matemática π , la raíz cuadrada de 10 se ha utilizado como una aproximación para ella en varios textos antiguos. ^{[ 7 ]} Según William Alexander Myers, algunos matemáticos árabes calcularon que la circunferencia de un círculo unitario era ⁠${\displaystyle {\sqrt {10}}}$⁠ . ^{[ 8 ]} El matemático chino Zhang Heng (78–139) aproximó pi como 3,162 tomando la raíz cuadrada de 10. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

Gullberg señaló que los primeros griegos, si bien usaban 3 como una aproximación de "uso cotidiano" para pi, también usaban la raíz cuadrada de 10 "para asuntos más serios", señalando que este uso era empírico en el sentido de que se basaba "exclusivamente en la experiencia práctica, no en consideraciones teóricas"; no fue hasta el siglo II a. C. que Hiparco calculó un valor de Pi mucho más cercano de 3,14166. ^{[ 6 ]} Hermann Schubert , al informar sobre literatura matemática de la antigua India, afirma de manera similar que se creía que pi era igual a la raíz cuadrada de 10:

Resulta extraño decirlo, pero el buen valor aproximado de Aryabhata no aparece en Bramagupta , el gran matemático hindú que floreció a principios del siglo VII; sin embargo, encontramos en este autor la curiosa información de que el área de un círculo es exactamente igual a la raíz cuadrada de 10 cuando el radio es unitario. El valor de π, derivado de esta fórmula —un valor entre dos y tres centésimas mayor—, sin duda surgió en suelo hindú. Pues no aparece en ningún matemático griego; y los autores árabes, que estaban en mejor posición que nosotros para conocer la literatura matemática griega e hindú, afirman que la aproximación que hace que π sea igual a la raíz cuadrada de 10 es de origen hindú. ^{[ 14 ]}

Schubert planteó la hipótesis de que esto se debía a que "el pueblo hindú" era "más adicto que ningún otro al misticismo numérico " y, por lo tanto, "buscaba encontrar en esta aproximación alguna conexión con el hecho de que el hombre tiene diez dedos; y, en consecuencia, diez es la base de su sistema numérico". ^{[ 14 ]}

En 1594, Joseph Justus Scaliger , nombrado profesor de la Universidad de Leiden el año anterior, publicó Cyclometrica Elementa duo , sobre la cuadratura del círculo , en la que afirmaba que la relación entre la circunferencia y el diámetro era √10. Ludolph van Ceulen leyó su borrador , reconoció el error y le aconsejó a Scaliger que no lo publicara. Scaliger lo hizo de todos modos, y poco después Adriaan van Roomen escribió una respuesta demoledora a las afirmaciones de Scaliger. Van Ceulen también criticó las afirmaciones de Scaliger en su Vanden Circkel ( Sobre el círculo ), publicado en 1596, aunque no lo identificó como su fuente. ^{[ 15 ]}

La raíz cuadrada de 10 se puede expresar como una fracción continua.$${\displaystyle [3;6,6,6,6,6,\ldots ]=3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+\dots }}}}}}}}.}$$(secuencia A040006 en el OEIS ) . En particular, es 3 menos que la sexta relación metálica , que tiene la expansión fraccionaria continua de [6; 6, 6, ...] .

Las evaluaciones parciales sucesivas de la fracción continua, que se denominan sus convergentes , son muy precisas: ^{[ a ]}

$${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {19}{6}},{\frac {117}{37}},{\frac {721}{228}},{\frac {4443}{1405}},{\frac {27379}{8658}},{\frac {168717}{53353}},{\frac {1039681}{328776}},{\frac {6406803}{2026009}}\dots }$$

Sus numeradores son 3, 19, 117, 721, … (secuencia A005667 en el OEIS ) y sus denominadores son 1, 6, 37, 228, … (secuencia A005668 en el OEIS ) .

Cada segunda convergente corresponde a una solución de la ecuación de Pell .${\displaystyle n^{2}-10d^{2}=1}$: ^{[ 16 ]}​$${\displaystyle {\frac {n}{d}}={\frac {19}{6}},{\frac {721}{228}},{\frac {27379}{8658}},{\frac {1039681}{328776}},{\frac {39480499}{12484830}},\dots }$$

Las iteraciones del método de Newton convergen más rápidamente. Por ejemplo, se puede usar x ₀ = 3 y $${\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{\frac {10}{x_{k}}}\right)}$$ generar una secuencia de valores en la que cada aproximación posterior tenga una precisión de aproximadamente el doble de dígitos que su predecesora: $${\displaystyle x_{k}={\frac {3}{1}},{\frac {19}{6}},{\frac {721}{228}},{\frac {1039681}{328776}},{\frac {2161873163521}{683644320912}},\dots }$$

El método de Halley , utilizando $${\displaystyle x_{k+1}=x_{k}{\frac {{x_{k}}^{2}+30}{3{x_{k}}^{2}+10}}\,,}$$ triplica aproximadamente el número de dígitos de precisión con cada iteración: $${\displaystyle x_{k}={\frac {3}{1}},{\frac {117}{37}},{\frac {6406803}{2026009}},\dots }$$

${\displaystyle {\sqrt {10}}}$se ha utilizado como punto de plegado para las escalas plegadas en las reglas de cálculo , principalmente porque los ajustes de escala plegados con el número se pueden cambiar sin cambiar el resultado. ^{[ 17 ]}

La raíz cuadrada de 10 es importante en los cálculos y estimaciones de orden de magnitud . El orden de magnitud de una cantidad es la potencia de 10 más cercana a la que corresponde. ^{[ 18 ]} Por ejemplo,899  m está más cerca de 10³ ^m que de 10² ^m , por lo que tiene un orden de magnitud de 10³ ^o 1000, cuando se expresa en metros. Matemáticamente, tomando el logaritmo común y redondeando al entero más cercano , y elevando 10 a esa potencia se obtiene el orden de magnitud. ^{[ b ]}

Debido a que los órdenes de magnitud son logarítmicos , el punto medio entre 10⁰ ^y 10¹ ^es 10⁰ , ^⁵ = √10 ≈ 3,16. Por lo tanto, cuando se expresa en notación científica , para un número menor que 3,16 × 10⁶ ^x , x debe redondearse hacia abajo (orden de magnitud 10⁶ ^x ), y para un número mayor que 3,16 × 10⁶ ^x , x debe redondearse hacia arriba (orden de magnitud 10⁶ ^{x + 1} ). ^{[ 19 ]}

La raíz cuadrada de 10 corresponde a la mitad de un orden de magnitud. ^{[ 20 ]}

Una diferencia de nivel de 10 dB (1 bel ) corresponde a una relación de potencia de 10, un orden de magnitud, o a una relación de amplitud (cantidad de campo) de la raíz cuadrada de 10, medio orden de magnitud.