Pruebas que realmente importan

«Pruebas que realmente importan: el arte de la prueba combinatoria» es un libro de matemáticas de nivel universitario sobre pruebas combinatorias de identidades matemáticas . Es decir, trata sobre ecuaciones entre dos fórmulas con valores enteros , cuya igualdad se demuestra mostrando que ambos lados de la ecuación cuentan el mismo tipo de objetos matemáticos, o bien encontrando una correspondencia biunívoca entre los diferentes tipos de objetos que cuentan. Fue escrito por Arthur T. Benjamin y Jennifer Quinn , y publicado en 2003 por la Asociación Matemática de América como el volumen 27 de su serie Dolciani Mathematical Expositions. Ganó el Premio Beckenbach de la Asociación Matemática de América.

El libro proporciona demostraciones combinatorias de trece teoremas de combinatoria y 246 identidades numeradas (recopiladas en un apéndice). ^{[ 1 ]} También se incluyen varias "identidades no contadas" adicionales. ^{[ 2 ]} Muchas demostraciones se basan en un método de razonamiento visual que los autores denominan "teselado", ^{[ 1 ] [ 3 ]} y en un prólogo, los autores describen su trabajo como una continuación de los problemas de conteo de los libros de Demostración sin palabras de Roger B. Nelson. ^{[ 3 ]}

Los tres primeros capítulos del libro comienzan con secuencias de enteros definidas por relaciones de recurrencia lineales , cuyo ejemplo prototípico es la secuencia de números de Fibonacci . A estos números se les puede dar una interpretación combinatoria como el número de maneras de teselar una secuencia de enteros.${\displaystyle 1\times n}$tira de cuadrados con fichas de dos tipos, cuadrados individuales y dominós; esta interpretación puede usarse para demostrar muchas de las identidades fundamentales que involucran los números de Fibonacci, y generalizarse a relaciones similares sobre otras secuencias definidas de manera similar, ^{[ 4 ]} como los números de Lucas , ^{[ 5 ]} usando "teselados circulares y teselados de colores". ^{[ 6 ]} Por ejemplo, para los números de Fibonacci, considerando si un teselado conecta o no posiciones${\displaystyle a-1}$y${\displaystyle a}$de una tira de longitud${\displaystyle a+b-1}$conduce inmediatamente a la identidad

${\displaystyle F_{a+b}=F_{a-1}F_{b}+F_{a}F_{b+1}.}$

Los capítulos cuatro al siete del libro tratan sobre identidades que involucran fracciones continuas , coeficientes binomiales , números armónicos , números de Stirling y factoriales . El octavo capítulo se ramifica desde la combinatoria hacia la teoría de números y el álgebra abstracta , y el capítulo final retoma los números de Fibonacci con material más avanzado sobre sus identidades. ^{[ 4 ]}

El libro está dirigido a estudiantes universitarios de matemáticas, pero el material es en gran medida autosuficiente y también podría ser leído por estudiantes avanzados de bachillerato. ^{[ 4 ] [ 6 ]} Además, muchos de los capítulos del libro son autosuficientes, lo que permite órdenes de lectura arbitrarias o el uso de extractos de este material en clases. ^{[ 2 ]} Aunque está estructurado como un libro de texto con ejercicios en cada capítulo, ^{[ 4 ]} el crítico Robert Beezer escribe que "no está pensado como un libro de texto", sino más bien como un "recurso" para profesores e investigadores. ^{[ 2 ]} Haciéndose eco de esto, el crítico Joe Roberts escribe que, a pesar de su naturaleza elemental, este libro debería ser "valioso como referencia... para cualquiera que trabaje con tales identidades". ^{[ 1 ]}

En una reseña inicial, Darren Glass se quejó de que muchos de los resultados se presentan como fórmulas áridas, sin ningún contexto ni explicación de por qué deberían ser interesantes o útiles, y que esta falta de contexto sería un obstáculo para usarlo como texto principal para una clase. ^{[ 4 ]} Sin embargo, en una segunda reseña después de un año de tener el libro, escribió que lo estaba "prestando a una persona tras otra". ^{[ 7 ]} El crítico Peter G. Anderson elogia las "hermosas maneras en que el libro ve las matemáticas antiguas y familiares, y también algunas matemáticas nuevas", llamándolo "un tesoro". ^{[ 5 ]} El crítico Gerald L. Alexanderson describe las demostraciones del libro como "ingeniosas, concretas y memorables". ^{[ 3 ]} La mención del premio Beckenbach Book Prize de 2006 para el libro afirma que "ilustra de manera mágica la omnipresencia y el poder de las técnicas de conteo en todas las matemáticas. Es uno de esos libros raros que atraerá al profesional de las matemáticas y seducirá al neófito". ^{[ 8 ]}

Uno de los problemas abiertos del libro, que busca una demostración biyectiva de una identidad que combine coeficientes binomiales con números de Fibonacci, fue posteriormente respondido positivamente por Doron Zeilberger . En el sitio web donde enlaza una versión preliminar de su artículo, Zeilberger escribe:

«Cuando era joven y guapo, no podía concebir una identidad sin intentar demostrarla de forma biyectiva. De alguna manera, logré superar esta adicción. Pero el impulso resurgió cuando leí la obra maestra de Arthur Benjamin y Jennifer Quinn, * Pruebas que realmente importan* ». ^{[ 9 ]}

Proofs That Really Count ganó el Premio Beckenbach de Libros de la Asociación Matemática de América en 2006 ^{[ 8 ]} y el Premio CHOICE de la Asociación Americana de Bibliotecas en 2010 al Título Académico Sobresaliente ^{[ 10 ]} . El Comité de Listas Básicas de Bibliotecas de la Asociación Matemática de América lo ha incluido como esencial en cualquier biblioteca de matemáticas de pregrado ^{[ 4 ] .}

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