raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5 , denotada ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ , es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado el número natural 5 . Junto con su conjugado ⁠${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$⁠ , resuelve la ecuación cuadrática ⁠${\displaystyle x^{2}-5=0}$, lo que lo convierte en un entero cuadrático , un tipo de número algebraico .${\displaystyle {\sqrt {5}}}$es un número irracional , lo que significa que no se puede escribir como una fracción de enteros . ^{[ 1 ]} Los primeros cuarenta dígitos significativos de su expansión decimal son:

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 5440... (secuencia A002163 en el OEIS ) .

Una longitud de ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ se puede construir como la diagonal de un ⁠${\displaystyle 2\times 1}$rectángulo unitario .​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$También aparece en la geometría métrica de figuras con simetría quíntuple; la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular es la proporción áurea .${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$.​

La raíz cuadrada de 5 es un número irracional , lo que significa que no se puede representar exactamente como una fracción .${\displaystyle x/y}$¿ Dónde ?${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$son números enteros . Sin embargo, se puede aproximar arbitrariamente bien mediante dichos números racionales .

Particularmente buenas aproximaciones son las soluciones enteras de las ecuaciones de Pell ,

${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=1\quad {\text{y}}\quad x^{2}-5y^{2}=-1,}$

que se puede reorganizar algebraicamente en la forma

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\sqrt {5\pm {\frac {1}{y^{2}}}}}.}$

Por ejemplo, la aproximación${\displaystyle \textstyle 2={\sqrt {5-1}}}$⁠ , que tiene una precisión de aproximadamente el 10%, satisface la ecuación negativa de Pell, ⁠${\displaystyle \textstyle 2^{2}-5\cdot 1^{2}=4-5=-1}$; asimismo , la aproximación${\displaystyle \textstyle {\tfrac {9}{4}}={\sqrt {5+{\tfrac {1}{16}}}}=2,25}$⁠ , que es preciso dentro del 1%, satisface la ecuación positiva, ⁠${\displaystyle \textstyle 9^{2}-5\cdot 4^{2}=81-80=1}$Estas dos aproximaciones son las respectivas soluciones fundamentales de cada ecuación de Pell, a las que se relacionan algebraicamente soluciones adicionales .

Las soluciones a ambas ecuaciones de Pell también se pueden encontrar sistemáticamente siguiendo el algoritmo euclidiano , lo que da como resultado la fracción continua simple para ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ , ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,\ldots {}]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{\vphantom {x}} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}.}$

Cada paso${\displaystyle n}$El algoritmo produce una mejor aproximación .${\displaystyle x_{n}/y_{n}}$⁠ , una de las convergentes (evaluaciones parciales) de esta fracción continua. Estas son una secuencia de las mejores aproximaciones racionales a ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ , cada una más precisa que cualquier otra aproximación racional con el mismo denominador o uno menor. Proporcionan todas las soluciones a las ecuaciones de Pell, satisfaciendo ⁠${\displaystyle \textstyle x_{n}^{2}-5y_{n}^{2}=(-1)^{n}}$⁠ . ^{[ 3 ]} Las primeras convergentes a la fracción continua son: ^{[ 4 ]}

En el límite , estas aproximaciones convergen a ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ . Es decir, ⁠${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}/y_{n}={\sqrt {5}}}$.​

Uno de los métodos más antiguos para calcular la raíz cuadrada de un número .${\displaystyle d}$⁠ , el método babilónico , ^{[ 5 ]} comienza con una suposición inicial ⁠${\displaystyle x_{0}}$⁠ , y en cada paso encuentra una nueva aproximación promediando la aproximación anterior y ⁠${\displaystyle d}$⁠ veces su recíproco , ⁠${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(x_{n}+d/x_{n})}$⁠ . Este es el caso especial, para la función ⁠${\displaystyle \textstyle f(x)=x^{2}-d}$⁠ , del método de Newton para hallar la raíz de una función arbitraria. Para una estimación típica, la aproximación converge cuadráticamente (aproximadamente duplica el número de dígitos correctos en cada paso). ^{[ 6 ]}

La estimación inicial es algo arbitraria, pero al aproximar${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ por este método, usualmente ⁠${\displaystyle x_{0}=2}$Se elige. ^{[ 7 ]} Con esta elección, el${\displaystyle n}$La aproximación número 1 es igual a la 1.${\displaystyle 2^{n}}$⁠ convergente de la fracción continua para ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ . ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\frac {2}{1}}&\!\!x_{1}&={\frac {9}{4}}&\!\!x_{2}&={\frac {161}{72}}&\!\!x_{3}&={\frac {51841}{23184}}\\[3mu]&=2.{\color {BrickRed}0},&&=2.2{\color {BrickRed}5},&&\approx 2.236{\color {BrickRed}1},&&\approx 2.23606\,7977{\color {BrickRed}9},&\!\!\ldots ,\end{aligned}}}$

con dígitos que difieren de la expansión decimal de ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$resaltado en rojo.

La proporción áurea${\displaystyle \varphi }$es la media aritmética de 1 y${\displaystyle {\sqrt {5}}}$. ^{[ 9 ]}${\displaystyle {\sqrt {5}}}$tiene relación con la proporción áurea y su conjugado algebraico .${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$como se expresa en las siguientes fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -{\overline {\varphi }}=2\varphi -1=1-2{\overline {\varphi }},\\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\overline {\varphi }}+{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{~\!{\overline {\varphi }}\!~}}=1-{\overline {\varphi }},\\[5pt]{\overline {\varphi }}&={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi -{\sqrt {5}}=-{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi .\end{alineado}}}$$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ Luego, las cifras en la expresión de forma cerrada para los números de Fibonacci : ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n}}{\sqrt {5}}}.}$$

El cociente${\displaystyle {\sqrt {5}}{\big /}\varphi }$⁠ proporciona un patrón interesante de fracciones continuas y están relacionadas con las razones entre los números de Fibonacci y los números de Lucas : ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.381966\dots =[1;2,1,1,1,\ldots ]\end{aligned}}}$$

Las funciones convergentes tienen como numeradores los números de Lucas y como denominadores los números de Fibonacci:

$${\displaystyle {\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},\ldots ,{\frac {L_{n}}{F_{n+1}}},\ldots }$$

En el límite , $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}={\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi ,\qquad \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

Más precisamente, las convergentes a la fracción continua para ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$( véase el apartado §  Aproximaciones racionales más arriba) son:

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},\ldots ,{\frac {{\tfrac {1}{2}}L_{3n}}{{\tfrac {1}{2}}F_{3n}}},\ldots .}$

Geométricamente ,${\displaystyle {\sqrt {5}}}$corresponde a la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitud 1 y 2 , como se evidencia en el teorema de Pitágoras . Dicho rectángulo se puede obtener dividiendo un cuadrado por la mitad o colocando dos cuadrados iguales uno al lado del otro. Esto se puede usar para subdividir una cuadrícula cuadrada en una cuadrícula cuadrada inclinada con cinco veces más cuadrados, formando la base para una superficie de subdivisión . ^{[ 12 ]} Junto con la relación algebraica entre${\displaystyle {\sqrt {5}}}$y​${\displaystyle \varphi }$⁠ , esto constituye la base para la construcción geométrica de un rectángulo áureo a partir de un cuadrado, y para la construcción de un pentágono regular dado su lado (ya que la relación lado-diagonal en un pentágono regular es ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠ ).

Dado que dos caras adyacentes de un cubo se desplegarían en un ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} 2}$⁠ rectángulo, la relación entre la longitud de la arista del cubo y la distancia más corta desde uno de sus vértices al opuesto, al recorrer la superficie del cubo , es${\displaystyle {\sqrt {5}}}$Por el contrario, la distancia más corta al recorrer el interior del cubo corresponde a la longitud de la diagonal del cubo, que es la raíz cuadrada de tres veces la arista. ^{[ 13 ]}

Un rectángulo con proporciones de lado${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {5}}}$forma parte de la serie de rectángulos dinámicos , que se basan en proporciones .${\displaystyle {\sqrt {1}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {2}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {3}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {4}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$⁠ , ... y sucesivamente construidos usando la diagonal del rectángulo raíz anterior, comenzando desde un cuadrado. ^{[ 14 ]} Un rectángulo raíz-5 es particularmente notable porque puede dividirse en un cuadrado y dos rectángulos áureos iguales o en dos rectángulos áureos de diferentes tamaños. ^{[ 15 ]} También puede descomponerse como la unión de dos rectángulos áureos iguales cuya intersección forma un cuadrado. Estas formas representan pictóricamente las relaciones algebraicas entre${\displaystyle {\sqrt {5}}}$,​${\displaystyle \varphi }$y​​${\displaystyle \varphi ^{-1}}$mencionado anteriormente.

La raíz cuadrada de 5 aparece en constantes trigonométricas relacionadas con los ángulos de un pentágono y decágono regulares, que cuando se combinan pueden combinarse con otros ángulos que involucran${\displaystyle {\sqrt {2}}}$y${\displaystyle {\sqrt {3}}}$para describir los senos y cosenos de cada ángulo cuya medida en grados sea divisible por 3 pero no por 15. ^{[ 16 ]} Los más simples de estos son

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

Calcular su valor fue, por lo tanto, históricamente importante para generar tablas trigonométricas . Dado que${\displaystyle {\sqrt {5}}}$Está geométricamente vinculado a los rectángulos de medio cuadrado y a los pentágonos, y también aparece con frecuencia en fórmulas para las propiedades geométricas de figuras derivadas de ellos, como en la fórmula para el volumen de un dodecaedro . ^{[ 13 ]}

El teorema de Hurwitz sobre aproximaciones diofánticas establece que todo número irracional x puede aproximarse mediante infinitos números racionales m / n en su mínima expresión de tal manera que

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

y eso${\displaystyle {\sqrt {5}}}$es lo mejor posible, en el sentido de que para cualquier constante mayor que${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, existen algunos números irracionales x para los cuales solo existen un número finito de tales aproximaciones. ^{[ 17 ]}

Estrechamente relacionado con esto está el teorema ^{[ 18 ]} que establece que de cualesquiera tres convergentes consecutivos ⁠ p _i / q _i ⁠ , ⁠ p _{i +1} / q _{i +1} ⁠ , ⁠ p _{i +2} / q _{i +2} ⁠ , de un número α , se cumple al menos una de las tres desigualdades:

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

Y el${\displaystyle {\sqrt {5}}}$En el denominador se encuentra la mejor cota posible, ya que las convergentes de la razón áurea hacen que la diferencia en el lado izquierdo sea arbitrariamente cercana al valor en el lado derecho. En particular, no se puede obtener una cota más ajustada considerando secuencias de cuatro o más convergentes consecutivos. ^{[ 18 ]}

Aleksandr Korkin y Yegor Ivanovich Zolotaryov demostraron en 1873 que los dos primeros números de Lagrange son la raíz cuadrada de 5 y la raíz cuadrada de 8 , lo que más tarde inspiró el trabajo de Andrey Markov sobre lo que se conoció como el teorema de Markov . ^{[ 19 ]}

Los dos campos cuadráticos${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$y​​${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {-5}}~\!{\bigr )}}$, extensiones de cuerpos delos números racionales y sus anillos de enteros asociados ,${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5}}~\!]}$y​​${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\sqrt {-5}}~\!]}$⁠ , respectivamente, son ejemplos básicos y han sido estudiados extensamente.

El anillo${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$contiene números de la forma${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$, donde a y b son números enteros y${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$es el número imaginario${\displaystyle i{\sqrt {5}}}$Este anillo es un ejemplo frecuentemente citado de un dominio de integridad que no es un dominio de factorización única . ^{[ 20 ]} Por ejemplo, el número 6 tiene dos factorizaciones no equivalentes dentro de este anillo:${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

Por otro lado, el anillo entero cuadrático real de los enteros dorados${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$, adyacente a la proporción áurea${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$Dedekind demostró que era euclidiano y, por lo tanto, un dominio de factorización único. Este es el anillo de enteros en el campo dorado .${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠ . ^{[ 21 ]}

El campo${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],}$como cualquier otro cuerpo cuadrático , es una extensión abeliana de los números racionales. Por lo tanto, el teorema de Kronecker-Weber garantiza que la raíz cuadrada de cinco se puede escribir como una combinación lineal racional de raíces de la unidad :

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.\,}$

A enero de 2022, el valor numérico en decimal de la raíz cuadrada de 5 se había calculado con al menos 2,25 billones de dígitos. ^{[ 22 ]}

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