Sistema de coordenadas esféricas

En matemáticas , un sistema de coordenadas esféricas especifica un punto dado en el espacio tridimensional utilizando una distancia y dos ángulos como sus tres coordenadas . Estas son:

• la distancia radial , r , a lo largo de la línea que conecta el punto con un punto fijo llamado origen ;
• el ángulo polar , θ , entre esta línea radial y un eje polar dado ; ^{[ a ]} ​​y
• el ángulo azimutal , φ , que es el ángulo de rotación de la línea radial alrededor del eje polar. ^{[ b ]}

(Véase el gráfico relativo a la "convención física").

Una vez fijado el radio, las tres coordenadas ( r , θ , φ ), conocidas como una terna , proporcionan un sistema de coordenadas en una esfera , generalmente llamado coordenadas polares esféricas . El plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje polar (donde el ángulo polar es un ángulo recto ) se denomina plano de referencia (a veces plano fundamental ).

La distancia radial desde el punto fijo de origen también se denomina radio , línea radial o coordenada radial . El ángulo polar puede denominarse ángulo de inclinación , ángulo cenital , ángulo normal o colatitud . El usuario puede optar por sustituir el ángulo de inclinación por su complemento , el ángulo de elevación (o ángulo de altitud ), medido hacia arriba entre el plano de referencia y la línea radial , es decir, desde el plano de referencia hacia arriba (hacia el eje z positivo) hasta la línea radial. El ángulo de depresión es el negativo del ángulo de elevación. (Véase el gráfico sobre la «convención física» , no la «convención matemática»).

Tanto el uso de símbolos como el orden de denominación de las coordenadas de tupla difieren entre las distintas fuentes y disciplinas. Este artículo utilizará la convención ISO ^{[ 1 ]} frecuentemente encontrada en física , donde la tupla de denominación da el orden como: distancia radial, ángulo polar, ángulo azimutal o${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$. (Véase el gráfico sobre la "convención de física"). En contraste, las convenciones en muchos libros y textos de matemáticas dan el orden de nomenclatura diferente como: distancia radial, "ángulo azimutal", "ángulo polar" y${\displaystyle (\rho ,\theta ,\varphi )}$o${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$— lo cual cambia el uso y el significado de los símbolos θ y φ. También se pueden usar otras convenciones, como r para un radio desde el eje z que no sea desde el punto de origen. Se debe tener especial cuidado al verificar el significado de los símbolos.

Según las convenciones de los sistemas de coordenadas geográficas , las posiciones se miden mediante latitud, longitud y altura (altitud). Existen varios sistemas de coordenadas celestes basados ​​en diferentes planos fundamentales y con distintas terminologías para las diversas coordenadas. Los sistemas de coordenadas esféricas utilizados en matemáticas normalmente emplean radianes en lugar de grados (nótese que 90 grados equivalen a π / 2 radianes). Estos sistemas, según la convención matemática, pueden medir el ángulo azimutal en sentido antihorario (es decir, desde el eje x , o 180°, hacia el eje y , o +90°, en dirección sur) , en lugar de medirlo en sentido horario (es decir, desde el eje x, o 0°, hacia el eje y, o +90°, en dirección norte), como se hace en el sistema de coordenadas horizontales . ^{[ 2 ]} (Véase el gráfico sobre la "convención matemática").

El sistema de coordenadas esféricas de la convención física puede considerarse una generalización del sistema de coordenadas polares en el espacio tridimensional . Puede extenderse a espacios de dimensiones superiores, en cuyo caso se denomina sistema de coordenadas hiperesféricas .

Para definir un sistema de coordenadas esféricas, se debe designar un punto de origen en el espacio, O , y dos direcciones ortogonales: la dirección de referencia cenital y la dirección de referencia acimutal . Estas elecciones determinan un plano de referencia que generalmente se define como aquel que contiene el punto de origen y los ejes x e y , cualquiera de los cuales puede designarse como la dirección de referencia acimutal . El plano de referencia es perpendicular (ortogonal) a la dirección cenital y, por lo general , se designa como "horizontal" a la "vertical" de la dirección cenital. Las coordenadas esféricas de un punto P se definen entonces de la siguiente manera:

• El radio o distancia radial es la distancia euclidiana desde el origen O hasta P.
• La inclinación (o ángulo polar ) es el ángulo con signo desde la dirección de referencia cenital hasta el segmento de línea OP . ( En lugar de la inclinación , se puede usar la elevación como ángulo polar ; véase más abajo).
• El acimut (o ángulo acimutal ) es el ángulo con signo medido desde la dirección de referencia del acimut hasta la proyección ortogonal del segmento de línea radial OP sobre el plano de referencia.

El signo del acimut se determina designando la rotación que corresponde al sentido positivo de giro alrededor del cenit. Esta elección es arbitraria y forma parte de la definición del sistema de coordenadas. (Si la inclinación es cero o 180 grados (= π radianes), el acimut es arbitrario. Si el radio es cero, tanto el acimut como la inclinación son arbitrarios).

La elevación es el ángulo con signo desde el plano de referencia xy hasta el segmento de línea radial OP , donde los ángulos positivos se designan como hacia arriba, hacia el cenit. La elevación es de 90 grados (= π / 2 radianes ) menos la inclinación . Por lo tanto, si la inclinación es de 60 grados (= π / 3 radianes ) , la elevación es de 30 grados (= π / 6 radianes ) .

En álgebra lineal , el vector que va desde el origen O hasta el punto P se suele llamar vector de posición de P.

Así como el sistema de coordenadas cartesianas bidimensional es útil —y tiene una amplia gama de aplicaciones— en una superficie plana, un sistema de coordenadas esféricas bidimensional resulta útil en la superficie de una esfera. Por ejemplo, una esfera descrita en coordenadas cartesianas mediante la ecuación x² ⁺ y² + ^z² = ^c² puede describirse en coordenadas esféricas mediante la sencilla ecuación r = c ^. (En este sistema —que se muestra aquí según la convención matemática— la esfera se adapta como una esfera unitaria , cuyo radio se establece en la unidad y, por lo tanto , puede ignorarse en general; véase el gráfico).

Esta simplificación (mediante la esfera unitaria) también resulta útil al trabajar con objetos como matrices de rotación . Las coordenadas esféricas también son útiles para analizar sistemas que presentan cierto grado de simetría respecto a un punto, como por ejemplo: integrales de volumen dentro de una esfera; el campo de energía potencial que rodea una masa o carga concentrada; o la simulación del clima global en la atmósfera de un planeta.

El modelado tridimensional de los patrones de salida de los altavoces permite predecir su rendimiento. Se requieren varios diagramas polares, obtenidos en un amplio rango de frecuencias, ya que el patrón varía considerablemente con la frecuencia. Estos diagramas ayudan a demostrar que muchos altavoces tienden a ser omnidireccionales en frecuencias bajas.

Una aplicación importante de las coordenadas esféricas permite la separación de variables en dos ecuaciones diferenciales parciales —las ecuaciones de Laplace y Helmholtz— que surgen en muchos problemas físicos. Las partes angulares de las soluciones de dichas ecuaciones adoptan la forma de armónicos esféricos . Otra aplicación es el diseño ergonómico , donde r es la longitud del brazo de una persona en reposo y los ángulos describen la dirección del brazo al extenderse. El sistema de coordenadas esféricas también se utiliza comúnmente en el desarrollo de juegos 3D para rotar la cámara alrededor de la posición del jugador ^{[ 4 ].}

As the spherical coordinate system is only one of many three-dimensional coordinate systems, there exist equations for converting coordinates between the spherical coordinate system and others.

También es posible trabajar con elipsoides en coordenadas cartesianas utilizando una versión modificada de las coordenadas esféricas.

Sea P un elipsoide especificado por el conjunto de nivel.

$${\displaystyle hacha^{2}+por^{2}+cz^{2}=d.}$$

Las coordenadas esféricas modificadas de un punto en P en la convención ISO (es decir, para física: radio r , inclinación θ , acimut φ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas ( x , y , z ) mediante las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+por^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$$

Un elemento de volumen infinitesimal viene dado por

$${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$$

El factor de raíz cuadrada proviene de la propiedad del determinante que permite extraer una constante de una columna:

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$$

Las siguientes ecuaciones (Iyanaga 1977) suponen que la colatitud θ es la inclinación desde el eje z positivo, como en la convención física discutida.

El elemento de línea para un desplazamiento infinitesimal de ( r , θ , φ ) a ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) es $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi}}},}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$ son los vectores unitarios ortogonales locales en las direcciones de r , θ y φ crecientes , respectivamente, y x̂ , ŷ y ẑ son los vectores unitarios en coordenadas cartesianas. La transformación lineal a esta tripleta de coordenadas dextrógiras es una matriz de rotación , $${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.}$$

Esto proporciona la transformación de la matriz cartesiana a la esférica; la inversa viene dada por ella. Nota: la matriz es una matriz ortogonal , es decir, su inversa es simplemente su transpuesta .

Los vectores unitarios cartesianos se relacionan, por lo tanto, con los vectores unitarios esféricos mediante: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatriz}}}$$

La forma general de la fórmula para demostrar el elemento de línea diferencial es ^{[ 5 ].}$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$$ es decir, el cambio en${\displaystyle \mathbf {r} }$se descompone en cambios individuales que corresponden a cambios en las coordenadas individuales.

Para aplicar esto al caso presente, es necesario calcular cómo${\displaystyle \mathbf {r} }$cambia con cada una de las coordenadas. En las convenciones utilizadas, $${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}},x_{1}=r,x_{2}=\theta ,x_{3}=\varphi .}$$

De este modo, $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .}$$

Los coeficientes deseados son las magnitudes de estos vectores: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$$

El elemento de superficie que abarca desde θ hasta θ + d θ y desde φ hasta φ + d φ en una superficie esférica de radio (constante) r es entonces $${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

Por lo tanto, el ángulo sólido diferencial es $${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$$

El elemento de superficie en una superficie de ángulo polar θ constante (un cono con vértice en el origen) es $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$$

El elemento de superficie en una superficie de azimut φ constante (un semiplano vertical) es $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$$

El elemento de volumen que abarca desde r hasta r + d r , θ hasta θ + d θ , y φ hasta φ + d φ se especifica mediante el determinante de la matriz jacobiana de derivadas parciales , $${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},}$$ a saber $${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$$

Así, por ejemplo, una función f ( r , θ , φ ) puede integrarse sobre cada punto de R ³ mediante la integral triple .$${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$$

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para el gradiente y el laplaciano para campos escalares, $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}}$$Y esto conduce a las siguientes expresiones para la divergencia y el rotacional de campos vectoriales :

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}}$$

Además, el jacobiano inverso en coordenadas cartesianas es $${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$$ El tensor métrico en el sistema de coordenadas esféricas es${\displaystyle g=J^{T}J}$.

En coordenadas esféricas, dados dos puntos, donde φ es la coordenada azimutal. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$$ La distancia entre los dos puntos se puede expresar como ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}D&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$$

El ángulo${\displaystyle \gamma }$La distancia entre los dos puntos se puede encontrar a partir de su producto escalar en coordenadas cartesianas: $${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '(\cos \phi \cos \phi '+\sin \phi \sin \phi ')}$$ que por la identidad de diferencia angular para el coseno es ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\phi -\phi ')}$$

En coordenadas esféricas, la posición de un punto o partícula (aunque se escribe mejor como una tripleta)${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$) se puede escribir como ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$$ Su velocidad es entonces ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} }$$ y su aceleración es ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{alineado}}}$$

El momento angular es $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\sombrero {\boldsymbol {\varphi }}}\right)}$$ Dónde${\displaystyle m}$es la masa. En el caso de una φ constante o bien θ = ⁠ π / 2 ⁠ , esto se reduce al cálculo vectorial en coordenadas polares .

El operador de momento angular correspondiente se obtiene entonces de la reformulación en el espacio de fases de lo anterior, $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$$

El par se da como ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}$$

La energía cinética se da como ^{[ 8 ]}$${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]}$$

• Sistema de coordenadas celestes : sistema para especificar las posiciones de los objetos celestes. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Sistema de coordenadas : método para especificar la posición de los puntos. 
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas : operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas. 
• Método de la doble esfera de Fourier : técnica matemática 
• Elevación (balística) – Ángulo en balística 
• Ángulos de Euler : descripción de la orientación de un cuerpo rígido. 
• Bloqueo de cardán : pérdida de un grado de libertad en un mecanismo tridimensional de tres cardanes. 
• Hiperesfera – Esfera generalizada de dimensión n (matemáticas) Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento 
• Matriz jacobiana y determinante – Matriz de derivadas parciales de una función vectorial 
• Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
• Esfera – Conjunto de puntos equidistantes de un centro. 
• Armónico esférico : funciones matemáticas especiales definidas en la superficie de una esfera. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Teodolito – Instrumento óptico de topografía 
• Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas – Representación de campos vectoriales en sistemas de coordenadas curvilíneas 3D 
• Guiñada, cabeceo y alabeo : direcciones principales en aviación. Páginas que muestran breves descripciones de objetivos de redireccionamiento. 

• Iyanaga, Shōkichi; Kawada, Yukiyosi (1977). Diccionario enciclopédico de matemáticas . Prensa del MIT. ISBN 978-0262090162.
• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág.  658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
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• Descripción de coordenadas esféricas según MathWorld
• Convertidor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas.