Esquema suave

En geometría algebraica , un esquema suave sobre un cuerpo es aquel que se aproxima bien mediante un espacio afín cerca de cualquier punto. La suavidad es una forma de precisar la noción de un esquema sin puntos singulares . Un caso especial es la noción de variedad suave sobre un cuerpo. Los esquemas suaves desempeñan un papel fundamental en la geometría algebraica de las variedades en topología .

Primero, sea X un esquema afín de tipo finito sobre un cuerpo k . Equivalentemente, X tiene una inmersión cerrada en el espacio afín A ⁿ sobre k para algún número natural n . Entonces X es el subesquema cerrado definido por algunas ecuaciones g ₁ = 0, ..., g _r = 0, donde cada g _i está en el anillo de polinomios k [ x ₁ ,..., x _n ]. El esquema afín X es suave de dimensión m sobre k si X tiene dimensión al menos m en un entorno de cada punto, y la matriz de derivadas (∂ g _i / ∂ x _j ) tiene rango al menos n − m en todo X. ^{[ 1 ]} (De ello se deduce que X tiene dimensión igual a m en un entorno de cada punto). La suavidad es independiente de la elección de la inmersión de X en el espacio afín.

La condición sobre la matriz de derivadas se entiende que el subconjunto cerrado de X donde todos los ( n − m ) × ( n − m ) menores de la matriz de derivadas son cero es el conjunto vacío. De forma equivalente, el ideal en el anillo de polinomios generado por todos los g _i y todos esos menores es todo el anillo de polinomios.

En términos geométricos, la matriz de derivadas (∂ g _i /∂ x _j ) en un punto p de X da lugar a una aplicación lineal F ⁿ → F ^r , donde F es el cuerpo residual de p . El núcleo de esta aplicación se denomina espacio tangente de Zariski de X en p . La suavidad de X implica que la dimensión del espacio tangente de Zariski es igual a la dimensión de X cerca de cada punto; en un punto singular , el espacio tangente de Zariski sería mayor.

De manera más general, un esquema X sobre un cuerpo k es suave sobre k si cada punto de X tiene un entorno abierto que es un esquema afín suave de alguna dimensión sobre k . En particular, un esquema suave sobre k es localmente de tipo finito .

Existe una noción más general de morfismo liso de esquemas, que es, a grandes rasgos, un morfismo con fibras lisas. En particular, un esquema X es liso sobre un cuerpo k si y solo si el morfismo X → Spec k es liso.

Un esquema suave sobre un cuerpo es regular y por lo tanto normal . En particular, un esquema suave sobre un cuerpo es reducido .

Definimos una variedad sobre un cuerpo k como un esquema separado integral de tipo finito sobre k . Entonces, cualquier esquema separado suave de tipo finito sobre k es una unión disjunta finita de variedades suaves sobre k .

Para una variedad diferenciable X sobre los números complejos , el espacio X ( C ) de puntos complejos de X es una variedad compleja , utilizando la topología clásica (euclidiana). De igual modo, para una variedad diferenciable X sobre los números reales, el espacio X ( R ) de puntos reales es una variedad real , posiblemente vacía.

Para cualquier esquema X que sea localmente de tipo finito sobre un cuerpo k , existe un haz coherente Ω ¹ de diferenciales en X. El esquema X es suave sobre k si y solo si Ω ¹ es un fibrado vectorial de rango igual a la dimensión de X cerca de cada punto. ^{[ 2 ]} En ese caso, Ω ¹ se llama fibrado cotangente de X. El fibrado tangente de un esquema suave sobre k se puede definir como el fibrado dual, TX = (Ω ¹ ) ^* .

La suavidad es una propiedad geométrica , lo que significa que para cualquier extensión de cuerpo E de k , un esquema X es suave sobre k si y solo si el esquema X _E  := X × _{Spec k} Spec E es suave sobre E. Para un cuerpo perfecto k , un esquema X es suave sobre k si y solo si X es localmente de tipo finito sobre k y X es regular .

Se dice que un esquema X es genéricamente liso de dimensión n sobre k si X contiene un subconjunto denso abierto que es liso de dimensión n sobre k . Toda variedad sobre un cuerpo perfecto (en particular, un cuerpo algebraicamente cerrado ) es genéricamente lisa. ^{[ 3 ]}

• El espacio afín y el espacio proyectivo son esquemas suaves sobre un cuerpo k .
• Un ejemplo de una hipersuperficie suave en el espacio proyectivo P ⁿ sobre k es la hipersuperficie de Fermat x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0, para cualquier entero positivo d que sea invertible en k .
• Un ejemplo de un esquema singular (no suave) sobre un cuerpo k es el subesquema cerrado x ² = 0 en la línea afín A ¹ sobre k .
• Un ejemplo de una variedad singular (no suave) sobre k es la curva cúbica cuspidal x ² = y ³ en el plano afín A ² , que es suave fuera del origen ( x , y ) = (0,0).
• Una variedad 0-dimensional X sobre un cuerpo k es de la forma X = Spec E , donde E es un cuerpo de extensión finito de k . La variedad X es lisa sobre k si y solo si E es una extensión separable de k . Por lo tanto, si E no es separable sobre k , entonces X es un esquema regular pero no es lisa sobre k . Por ejemplo, sea k el cuerpo de funciones racionales F _p ( t ) para un número primo p , y sea E = F _p ( t ^{1/ p} ); entonces Spec E es una variedad de dimensión 0 sobre k que es un esquema regular, pero no lisa sobre k .
• Las variedades de Schubert generalmente no son suaves.

• Notas de D. Gaitsgory sobre planitud y suavidad en http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2.ª  ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR 1011461 

• Morfismo étale
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