Pendiente

En matemáticas , la pendiente o gradiente de una línea es un número que describe la dirección de la línea en un plano . ^{[ 1 ]}

Se suele representar con la letra m y se define como la razón entre el cambio vertical (elevación) y el cambio horizontal (recorrido) entre dos puntos cualesquiera de la línea. No es una distancia ni un ángulo directos, sino una medida de su razón.

La línea puede ser física, como la trazada por un topógrafo ; pictórica, como en el diagrama de una carretera o un tejado; o abstracta, en matemáticas puras. Una aplicación de este concepto matemático se encuentra en la pendiente o el gradiente en geografía e ingeniería civil .

La pendiente , inclinación o grado de una línea es el valor absoluto de su inclinación: un mayor valor absoluto indica una línea más empinada. La tendencia de la línea se define de la siguiente manera:

• Una línea "creciente" o "ascendente" va de izquierda a derecha y tiene pendiente positiva:${\displaystyle m>0}$.
• Una línea "decreciente" o "descendente" va de izquierda a derecha y tiene pendiente negativa:${\displaystyle m<0}$.

Las instrucciones especiales son:

• Una línea diagonal (cuadrada) tiene pendiente unitaria:${\displaystyle m=1}$
• Una línea "horizontal" (la gráfica de una función constante ) tiene pendiente cero:${\displaystyle m=0}$.
• Una línea "vertical" tiene una pendiente indefinida o infinita (véase más abajo).

Si dos puntos de una carretera tienen altitudes y ₁ e y ₂ , la elevación es la diferencia ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Despreciando la curvatura de la Tierra , si los dos puntos tienen una distancia horizontal x ₁ y x ₂ desde un punto fijo, el desplazamiento horizontal es ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . La pendiente entre los dos puntos es la razón de diferencia :

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Mediante trigonometría , la pendiente m de una recta está relacionada con su ángulo de inclinación θ mediante la función tangente.

${\displaystyle m=\tan(\theta ).}$

Así, una línea ascendente de 45° tiene una pendiente m = +1, y una línea descendente de 45° tiene una pendiente m = −1.

Generalizando este concepto, el cálculo diferencial define la pendiente de una curva plana en un punto como la pendiente de su recta tangente en ese punto. Cuando la curva se aproxima mediante una serie de puntos, su pendiente puede aproximarse mediante la pendiente de la recta secante entre dos puntos cercanos. Cuando la curva se representa gráficamente mediante una expresión algebraica , el cálculo proporciona fórmulas para la pendiente en cada punto. Por lo tanto, la pendiente es uno de los conceptos centrales del cálculo y de sus aplicaciones al diseño.

Parece no haber una respuesta clara sobre por qué se usa la letra m para la pendiente, pero aparece por primera vez en inglés en O'Brien (1844) ^{[ 2 ]} quien introdujo la ecuación de una línea como " y = mx + b " , y también se puede encontrar en Todhunter (1888) ^{[ 3 ]} quien escribió " y = mx + c ". ^{[ 4 ]}

La pendiente de una recta en el plano que contiene los ejes x e y se representa generalmente con la letra m [ ^{5 ] y se define como el} cambio en la coordenada y dividido por el cambio correspondiente en la coordenada x , entre dos puntos distintos de la recta. Esto se describe mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{cambio vertical}}}{{\text{cambio horizontal}}}}={\frac {\text{aumento}}{\text{recorrido}}}.}$

(La letra griega delta , Δ, se usa comúnmente en matemáticas para significar "diferencia" o "cambio").

Dados dos puntos${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$y${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, el cambio en${\displaystyle x}$de uno al otro es${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$( correr ), mientras que el cambio en${\displaystyle y}$es${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$( aumento ). Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación anterior se obtiene la fórmula:

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

La fórmula falla para una línea vertical, paralela a la${\displaystyle y}$eje (ver División por cero ), donde la pendiente puede tomarse como infinita , por lo que la pendiente de una línea vertical se considera indefinida.

En estadística , la pendiente de la línea de regresión de mínimos cuadrados que mejor se ajusta a una muestra de datos dada se puede escribir como:

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Esta cantidad m se denomina pendiente de regresión para la línea${\displaystyle y=mx+c}$. La cantidad${\displaystyle r}$es el coeficiente de correlación de Pearson ,${\displaystyle s_{y}}$es la desviación estándar de los valores y y${\displaystyle s_{x}}$es la desviación estándar de los valores x. Esto también puede escribirse como una razón de covarianzas : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}}$

El concepto de pendiente es fundamental en el cálculo diferencial . Para funciones no lineales, la tasa de cambio varía a lo largo de la curva. La derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto y, por lo tanto, es igual a la tasa de cambio de la función en dicho punto.

Si denotamos por Δx y Δy las distancias (a lo largo de los ejes x e y , respectivamente) entre dos puntos de una curva, entonces la pendiente dada por la definición anterior,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

es la pendiente de una recta secante respecto a la curva. Para una recta, la secante entre dos puntos cualesquiera es la recta misma, pero esto no ocurre con ningún otro tipo de curva.

Por ejemplo, la pendiente de la secante que interseca ^a y = x² en (0,0) y ( 3,9 ) es 3. (La pendiente de la tangente en x = 3/2 también es 3 , consecuencia del teorema del valor medio ).  

Al acercar los dos puntos de modo que Δy y Δx disminuyan , la recta secante se aproxima más a una recta tangente a la curva, y por lo tanto la pendiente de la secante se aproxima a la de la tangente. Usando cálculo diferencial , podemos determinar el límite , o el valor al que se aproxima Δy / Δx cuando Δy y Δx se acercan a cero ; de ello se deduce que este límite es la pendiente exacta de la tangente. Si y depende de x , entonces es suficiente tomar el límite donde solo Δx se aproxima a cero. Por lo tanto, la pendiente de la tangente es el límite de Δy / Δx cuando Δx se aproxima a cero, o d y /d x . Llamamos a este límite la derivada .

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

El valor de la derivada en un punto específico de la función nos proporciona la pendiente de la tangente en esa ubicación precisa. Por ejemplo, sea y = x² ^. Un punto de esta función es (−2,4). La derivada de esta función es dy / dx = 2x . Por lo tanto , la pendiente de la recta tangente a y en (−2,4) es 2 ⋅ (−2) = −4 . La ecuación de esta recta tangente es: y − 4 = ( −4)( x − (−2)) o y = −4x − 4 .

Una extensión de la idea de ángulo se deriva de la diferencia de pendientes. Consideremos el mapeo de corte.

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Entonces${\displaystyle (1,0)}$está asignado a${\displaystyle (1,v)}$. La pendiente de${\displaystyle (1,0)}$es cero y la pendiente de${\displaystyle (1,v)}$es${\displaystyle v}$. El mapeo de corte agregó una pendiente de${\displaystyle v}$. Por dos puntos en${\displaystyle \{(1,y):y\in \mathbb {R} \}}$con pendientes${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$, la imagen

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

la pendiente ha aumentado en${\displaystyle v}$pero la diferencia${\displaystyle nm}$de pendientes es la misma antes y después del corte. Esta invariancia de las diferencias de pendiente hace que la pendiente sea una medida angularmente invariante , a la par con el ángulo circular (invariante bajo rotación) y el ángulo hiperbólico, con grupo de invariancia de mapeos de compresión . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

La pendiente de un tejado, tradicionalmente denominada inclinación del tejado , en carpintería y arquitectura en Estados Unidos se describe comúnmente en fracciones enteras de un pie (tangente geométrica, elevación sobre horizontal), una herencia del sistema imperial británico. En otros lugares se utilizan otras unidades con convenciones similares. Para más detalles, consulte inclinación del tejado .

Existen dos formas comunes de describir la pendiente de una carretera o vía férrea . Una es mediante el ángulo entre 0° y 90° (en grados), y la otra mediante la pendiente en porcentaje. Véase también ferrocarril de pendiente pronunciada y ferrocarril de cremallera .

Las fórmulas para convertir una pendiente dada como porcentaje en un ángulo en grados y viceversa son:

${\displaystyle {\text{ángulo}}=\arctan \left({\frac {\text{pendiente}}{100\%}}\right)}$(Esta es la función inversa de la tangente; véase trigonometría )

y

${\displaystyle {\mbox{pendiente}}=100\%\times \tan({\mbox{ángulo}}),}$

donde el ángulo se expresa en grados y las funciones trigonométricas operan en grados. Por ejemplo, una pendiente del 100 % o 1000 ‰ corresponde a un ángulo de 45°.

Una tercera forma es dar una unidad de elevación en, digamos, 10, 20, 50 o 100 unidades horizontales, por ejemplo 1:10, 1:20, 1:50 o 1:100 (o "1 en 10", "1 en 20", etc.). 1:10 es más empinado que 1:20. Por ejemplo, una pendiente del 20% significa 1:5 o una inclinación con un ángulo de 11,3°.

Las carreteras y las vías férreas tienen pendientes longitudinales y transversales.

• 
  Señal de advertencia de pendiente en los Países Bajos
• 
  Señal de advertencia de pendiente en Polonia
• 
  Un tramo de vía férrea de 1371 metros con una pendiente del 20 ‰ . República Checa
• 
  Poste indicador de pendiente de ferrocarril de la época del vapor que señala una inclinación en ambas direcciones en la estación de tren de Meols , Reino Unido.

El concepto de pendiente o gradiente también se utiliza como base para desarrollar otras aplicaciones en matemáticas:

• Descenso de gradiente , un algoritmo de optimización iterativo de primer orden para encontrar el mínimo de una función.
• Teorema del gradiente , teorema que establece que una integral de línea a través de un campo gradiente puede evaluarse evaluando el campo escalar original en los extremos de la curva.
• Método del gradiente , un algoritmo para resolver problemas con direcciones de búsqueda definidas por el gradiente de la función en el punto actual.
• Método del gradiente conjugado , un algoritmo para la solución numérica de sistemas particulares de ecuaciones lineales.
• Método de gradiente conjugado no lineal , generaliza el método de gradiente conjugado a la optimización no lineal.
• Descenso de gradiente estocástico , método iterativo para optimizar una función objetivo diferenciable.

• "Pendiente de una recta (geometría analítica)" . Math Open Reference. 2009. Consultado el 30 de octubre de 2016 .interactivo