Familia de conjuntos

En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas , el término " familia " o " colección " se utiliza para referirse a un conjunto , un conjunto indexado , un multiconjunto , una tupla o una clase . Generalmente se usa en frases como "familia de conjuntos" porque si se usa en su lugar "conjunto de conjuntos", el uso posterior de "conjunto" puede resultar confuso en cuanto a si se trata del conjunto contenedor o de uno de los conjuntos miembros. Un uso común es "familia de subconjuntos de algún conjunto S ". Una familia de conjuntos también se denomina familia de conjuntos o sistema de conjuntos . Una familia finita de subconjuntos de un conjunto finito${\displaystyle S}$También se le llama hipergrafo . El tema de la teoría de conjuntos extremales se ocupa de los ejemplos más grandes y más pequeños de familias de conjuntos que satisfacen ciertas restricciones.

La colección de todos los subconjuntos de un conjunto dado${\displaystyle S}$se llama conjunto potencia de${\displaystyle S}$y se denota por ⁠${\displaystyle \wp (S)}$⁠ . El conjunto de potencia${\displaystyle \wp (S)}$de un conjunto dado${\displaystyle S}$es una familia de conjuntos de más de ⁠${\displaystyle S}$.​

Un subconjunto de${\displaystyle S}$teniendo${\displaystyle k}$Los elementos se llaman${\displaystyle k}$-subconjunto de ⁠${\displaystyle S}$⁠ . El${\displaystyle k}$-subconjuntos${\displaystyle S^{(k)}}$de un conjunto${\displaystyle S}$Formar una familia de conjuntos.

Dejemos​${\displaystyle S=\{a,b,c,1,2\}}$⁠ . Un ejemplo de una familia de conjuntos sobre${\displaystyle S}$(en el sentido de multiconjunto ) viene dado por ⁠${\displaystyle F=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\right\}}$, donde​${\displaystyle A_{1}=\{a,b,c\},A_{2}=\{1,2\},A_{3}=\{1,2\}}$y​​${\displaystyle A_{4}=\{a,b,1\}}$.​

La clase${\displaystyle \operatorname {Ord} }$de todos los números ordinales es una gran familia de conjuntos. Es decir, no es en sí mismo un conjunto, sino más bien una clase propia .

Cualquier familia de subconjuntos de un conjunto${\displaystyle S}$es en sí mismo un subconjunto del conjunto potencia.${\displaystyle \wp (S)}$si no tiene miembros repetidos.

Cualquier familia de conjuntos sin repeticiones es una subclase de la clase propia de todos los conjuntos (el universo ).

El teorema del matrimonio de Hall , debido a Philip Hall , da condiciones necesarias y suficientes para que una familia finita de conjuntos no vacíos (se permiten repeticiones) tenga un sistema de representantes distintos .

Si${\displaystyle {\mathcal {F}}}$¿Es alguna familia de conjuntos entonces?${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}:={\textstyle \bigcup \limits _ {F\in {\mathcal {F}}}}F}$denota la unión de todos los conjuntos en ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ , donde en particular, ⁠${\displaystyle \cup \varnothing =\varnothing }$Cualquier familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de conjuntos es una familia mayor${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$y también una familia sobre cualquier superconjunto de ⁠${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$.​

Elrastro de una familia${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de subconjuntos de${\displaystyle S}$en un subconjunto${\displaystyle T\subseteq S}$es${\displaystyle \{A\cap T,A\in {\mathcal {F}}\}}$.

Ciertos tipos de objetos de otras áreas de las matemáticas son equivalentes a familias de conjuntos, en el sentido de que pueden describirse simplemente como una colección de conjuntos de objetos de algún tipo:

• Un hipergrafo , también llamado sistema de conjuntos, está formado por un conjunto de vértices y otro conjunto de hiperaristas , cada una de las cuales puede ser un conjunto arbitrario. Las hiperaristas de un hipergrafo forman una familia de conjuntos, y cualquier familia de conjuntos puede interpretarse como un hipergrafo cuyos vértices son la unión de dichos conjuntos.
• Un complejo simplicial abstracto es una abstracción combinatoria de la noción de complejo simplicial , una figura formada por uniones de segmentos de línea, triángulos, tetraedros y símplices de dimensiones superiores , unidos cara a cara. En un complejo simplicial abstracto, cada símplice se representa simplemente como el conjunto de sus vértices. Cualquier familia de conjuntos finitos sin repeticiones, en la que los subconjuntos de cualquier conjunto de la familia también pertenecen a la misma familia, forma un complejo simplicial abstracto.
• Una estructura de incidencia consta de un conjunto de puntos , un conjunto de líneas y una relación binaria (arbitraria) , denominada relación de incidencia , que especifica qué puntos pertenecen a qué líneas. Una estructura de incidencia puede especificarse mediante una familia de conjuntos (incluso si dos líneas distintas contienen el mismo conjunto de puntos), los conjuntos de puntos que pertenecen a cada línea, y cualquier familia de conjuntos puede interpretarse como una estructura de incidencia de esta manera.
• Un código de bloques binario consta de un conjunto de palabras clave, cada una de las cuales es una cadena de 0 y 1, todas de la misma longitud. Cuando cada par de palabras clave tiene una gran distancia de Hamming , puede utilizarse como código corrector de errores . Un código de bloques también puede describirse como una familia de conjuntos, describiendo cada palabra clave como el conjunto de posiciones en las que contiene un  1.
• Un espacio topológico consta de un par${\displaystyle (X,\tau )}$dónde${\displaystyle X}$es un conjunto (cuyos elementos se llaman puntos ) y${\displaystyle \tau }$es una topología en${\displaystyle X}$⁠ , que es una familia de conjuntos (cuyos elementos se llaman conjuntos abiertos ) sobre${\displaystyle X}$que contiene el conjunto vacío${\displaystyle \varnothing }$y${\displaystyle X}$es cerrado bajo uniones de conjuntos arbitrarias e intersecciones de conjuntos finitos.

Una familia de Sperner es una familia de conjuntos en la que ninguno de los conjuntos contiene a los demás. El teorema de Sperner establece un límite máximo para el tamaño de una familia de Sperner.

Una familia de Helly es una familia de conjuntos tal que cualquier subfamilia mínima con intersección vacía tiene un tamaño acotado. El teorema de Helly establece que los conjuntos convexos en espacios euclidianos de dimensión acotada forman familias de Helly.

Un complejo simplicial abstracto es una familia de conjuntos.${\displaystyle F}$(que consta de conjuntos finitos) que es cerrado hacia abajo ; es decir, cada subconjunto de un conjunto en${\displaystyle F}$también está en${\displaystyle F}$⁠ . Un matroide es un complejo simplicial abstracto con una propiedad adicional llamada propiedad de aumento .

Cada filtro es una familia de conjuntos.

Un espacio de convexidad es una familia de conjuntos cerrada bajo intersecciones y uniones arbitrarias de cadenas (con respecto a la relación de inclusión ).

Otros ejemplos de familias de conjuntos son los sistemas de independencia , los greedoides , los antimatroides y los espacios bornológicos .

• Álgebra de conjuntos : identidades y relaciones que involucran conjuntos. 
• Clase (teoría de conjuntos) – Colección de conjuntos en matemáticas que se puede definir en función de una propiedad de sus miembros. 
• Diseño combinatorio : disposición simétrica de conjuntos finitos. 
• Anillo δ – Anillo cerrado bajo intersecciones numerables 
• Cuerpo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos. 
• Cuantificador generalizado : expresión que denota un conjunto de conjuntos en semántica formal. 
• Familia indexada : colección de objetos asociados a un conjunto de índices. 
• Sistema λ (sistema de Dynkin) : familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas numerables. 
• Sistema π – Familia de conjuntos cerrados bajo la intersección 
• Anillo de conjuntos – Familia cerrada bajo uniones y complementos relativos 
• La paradoja de Russell – Paradoja en la teoría de conjuntos (o Conjunto de conjuntos que no se contienen a sí mismos ) 
• σ-álgebra – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos 
• Anillo σ : Familia de conjuntos cerrados bajo uniones numerables. 

• Biggs, Norman L. (1985), Matemáticas discretas , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853252-0
• Brualdi, Richard A. (2010), Combinatoria introductoria (5.ª  ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, ISBN 978-0-13-602040-0
• Roberts, Fred S.; Tesman, Barry (2009), Combinatoria aplicada (2ª  ed.), Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4200-9982-9

• Contenido multimedia relacionado con las familias Set en Wikimedia Commons