Ardilla

Un squircle es una figura intermedia entre un cuadrado y un círculo . Existen al menos dos definiciones de "squircle", una basada en la superelipse y la otra derivada del campo de la óptica . La palabra "squircle" es una combinación de las palabras "cuadrado" y "círculo". Los squircles se han utilizado en diseño y óptica .

En un sistema de coordenadas cartesianas , la superelipse se define mediante la ecuación $${\displaystyle \left|{\frac {xa}{r_{a}}}\right|^{n}+\left|{\frac {yb}{r_{b}}}\right|^{n}=1,}$$ donde r _a y r _b son los semiejes mayor y menor , a y b son las coordenadas x e y del centro de la elipse, y n es un número positivo. El squircle prototípico se define entonces como la superelipse donde r _a = r _b y n = 4. Su ecuación es: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \left|xa\right|^{4}+\left|yb\right|^{4}=r^{4}}$$ donde r es el radio del cuadrado redondeado. Compárese esto con la ecuación de un círculo . Cuando el cuadrado redondeado está centrado en el origen, entonces a = b = 0 , y se le llama cuártica especial de Lamé .

El área dentro de este cuadrado redondeado se puede expresar en términos de la función beta B o la función gamma Γ como ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Área}}&=4\int _{0}^{r}{\sqrt[{4}]{r^{4}-x^{4}}}\,dx\\&=4r\int _{0}^{r}{\sqrt[{4}]{1-{\frac {x^{4}}{r^{4}}}}}\,dx\\&=4r^{2}\int _{0}^{1}{\sqrt[{4}]{1-u^{4}}}\,du\\&={\sqrt[{4}]{4}}r^{2}\int _{0}^{\frac {1}{4}}v^{-{\frac {3}{4}}}{\sqrt[{4}]{1-4v}}\,dv\\&=r^{2}\int _{0}^{1}(1-w)^{\frac {1}{4}}w^{-{\frac {3}{4}}}\,dw\\&=r^{2}\int _{0}^{1}(1-w)^{{\frac {5}{4}}-1}w^{{\frac {1}{4}}-1}\,dw\\&=r^{2}\cdot \operatorname {\mathrm {B} } \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {5}{4}}\right)\\&=4r^{2}{\frac {\left(\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\operatorname {\Gamma } \left(1+{\frac {2}{4}}\right)}}\\&={\frac {8r^{2}\left(\operatorname {\Gamma } \left({\frac {5}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt {\pi }}}\\&=\varpi {\sqrt {2}}r^{2}\approx 3.708149r^{2},\end{aligned}}}$$ donde r es el radio del cuadrado redondeado y ϖ es la constante de la lemniscata .

Otro squircle proviene del trabajo en óptica. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Puede llamarse squircle de Fernández-Guasti o squircle FG, en honor a uno de sus autores, para distinguirlo del squircle relacionado con la superelipse mencionado anteriormente. ^{[ 2 ]} Este tipo de squircle, centrado en el origen, se define mediante la ecuación $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {s^{2}}{r^{2}}}x^{2}y^{2}=r^{2}}$$ donde r es el radio del cuadrado redondeado, s es el parámetro de cuadratura, y x e y están en el intervalo [ − r , r ] . Si s = 0 , la ecuación es un círculo; si s = 1 , es un cuadrado. Esta ecuación permite una parametrización suave de la transición de un círculo a un cuadrado, sin recurrir al infinito .

Otro tipo de squircle surge de la trigonometría . ^{[ 6 ]} Este tipo de squircle es periódico en ℝ ² y tiene la ecuación

$${\displaystyle \cos \left({\frac {s\pi x}{2r}}\right)\cos \left({\frac {s\pi y}{2r}}\right)=\cos \left({\frac {s\pi }{2}}\right)}$$

donde r es el radio menor del cuadrado redondeado, s es el parámetro de cuadratura, y x e y están en el intervalo (− r , r ) . Cuando s tiende a 0 en el límite , la ecuación se convierte en un círculo. Cuando s = 1 , la ecuación es un cuadrado. ^{[ 7 ]}

Los squircles son útiles en óptica . Si la luz pasa a través de una apertura cuadrada bidimensional, el punto central del patrón de difracción se puede modelar con precisión mediante un squircle o un supercírculo. Si se utiliza una apertura rectangular, el punto se puede aproximar mediante una superelipse . ^{[ 4 ]}

Los platos con forma de cuadrado redondeado también se han utilizado para fabricar platos . Un plato con forma de cuadrado redondeado tiene una superficie mayor (y, por lo tanto, puede contener más comida) que uno circular del mismo radio, pero ocupa la misma cantidad de espacio en un armario rectangular o cuadrado. ^{[ 8 ]}

Muchos modelos de teléfonos Nokia han sido diseñados con un botón de panel táctil con forma de cuadrado redondeado, ^{[ 9 ] [ 10 ]} como lo fue la segunda generación del Microsoft Zune . ^{[ 11 ]} Apple utiliza una aproximación de un cuadrado redondeado (en realidad una superelipse quíntica) para los iconos en iOS , iPadOS , macOS y los botones de inicio de algunos dispositivos Apple. ^{[ 12 ]} Una de las formas para los iconos adaptativos introducidos en el sistema operativo Android "Oreo" es un cuadrado redondeado. ^{[ 13 ]} Samsung utiliza iconos con forma de cuadrado redondeado en su superposición de software Android One UI , y en Samsung Experience y TouchWiz . ^{[ 14 ]}

El fabricante de automóviles italiano Fiat utilizó numerosos cuadrados en el diseño interior y exterior de la tercera generación del Panda . ^{[ 15 ]}

• Esquigonometría
• asteroide
• Elipse
• elipsoide
• Espacios L ^p
• Oval
• Cuadrado
• Superhuevo

• ¿Cuál es el área de un Squircle? (video de Matt Parker en YouTube)
• Calculadora en línea para supercírculos y superelipses
• Generador de supercírculos basado en la web