Matriz de rotación

En álgebra lineal , una matriz de rotación es una matriz de transformación que se utiliza para realizar una rotación en el espacio euclidiano . Por ejemplo, utilizando la convención que se muestra a continuación, la matriz

$R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\cdot$

Rota puntos en el plano $xy$ en sentido antihorario un ángulo $θ alrededor del origen de un$ sistema de coordenadas cartesianas bidimensional . Para realizar la rotación en un punto plano con coordenadas estándar $v = (x, y)$ , debe escribirse como un vector columna y multiplicarse por la matriz $R$ :

$R\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\x\sin \theta +y\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Si $x$ e $y$ son las coordenadas del extremo de un vector de longitud r y ángulo $\phi$ con respecto al eje $x$ , de modo que ${\textstyle x=r\cos \phi }$ y $y=r\sin \phi$ Entonces, las ecuaciones anteriores se convierten en las fórmulas de suma trigonométrica de ángulos : $R\mathbf {v} =r{\begin{bmatrix}\cos \phi \cos \theta -\sin \phi \sin \theta \\\cos \phi \sin \theta +\sin \phi \cos \theta \end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos(\phi +\theta )\\\sin(\phi +\theta )\end{bmatrix}}.$ En efecto, estas son las fórmulas trigonométricas de suma de ángulos en forma matricial. Una manera de entenderlo es imaginar que tenemos un vector con un ángulo de 30° respecto al eje $x$ y deseamos rotarlo 45° más. Simplemente necesitamos calcular las coordenadas del extremo del vector a 75°.

Los ejemplos de este artículo se aplican a rotaciones activas de vectores en sentido antihorario en un sistema de coordenadas diestro ( $y$ en sentido antihorario desde $x$ ) mediante premultiplicación (la matriz de rotación $R$ aplicada a la izquierda del vector columna $v$ que se va a rotar). Si se modifica alguno de estos elementos (por ejemplo, rotando ejes en lugar de vectores, una transformación pasiva ), entonces se debe usar la inversa de la matriz de ejemplo, que coincide con su transpuesta .

Dado que la multiplicación de matrices no afecta al vector cero (las coordenadas del origen), las matrices de rotación describen rotaciones alrededor del origen. Estas matrices proporcionan una descripción algebraica de dichas rotaciones y se utilizan ampliamente en cálculos de geometría , física y gráficos por computadora . En algunos textos, el término rotación se generaliza para incluir rotaciones impropias , caracterizadas por matrices ortogonales con un determinante de −1 (en lugar de +1). Una rotación impropia combina una rotación propia con reflexiones (que invierten la orientación ). En otros casos, donde no se consideran las reflexiones, se puede omitir la etiqueta de "propia" . En este artículo se sigue esta última convención.

Las matrices de rotación son matrices cuadradas con entradas reales . Más específicamente, se pueden caracterizar como matrices ortogonales con determinante 1; es decir, una matriz cuadrada $R$ es una matriz de rotación si y solo si $R T = R -1$ y $det R = 1.$ El conjunto de todas las matrices ortogonales de tamaño $n$ con determinante +1 es una representación de un grupo conocido como el grupo ortogonal especial $SO(n)$ , un ejemplo del cual es el grupo de rotación SO(3) . El conjunto de todas las matrices ortogonales de tamaño $n$ con determinante +1 o −1 es una representación del grupo ortogonal (general) $O(n)$ .

En dos dimensiones

En dos dimensiones, la matriz de rotación estándar tiene la siguiente forma: $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Esto rota los vectores columna mediante la siguiente multiplicación de matrices , ${\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$

Por lo tanto, las nuevas coordenadas $(x', y')$ de un punto $(x, y)$ después de la rotación son ${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta \,\end{aligned}}.$

Ejemplos

Por ejemplo, cuando el vector (inicialmente alineado con el eje x del sistema de coordenadas cartesianas ) $\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}$ se rota un ángulo $θ$ , sus nuevas coordenadas son ${\begin{bmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\\end{bmatrix}},$

y cuando el vector (inicialmente alineado con el eje y del sistema de coordenadas) $\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}$ se rota un ángulo $θ$ , sus nuevas coordenadas son ${\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Sentido

El sentido o "dirección" de la rotación vectorial (que no debe confundirse con la dirección vectorial ) es en sentido antihorario si $θ$ es positivo (por ejemplo, 90°) y en sentido horario si $θ$ es negativo (por ejemplo, −90°) para $R(\theta )$ . Por lo tanto, la matriz de rotación en sentido horario se encuentra como (reemplazando $θ$ con $-θ$ y utilizando la simetría trigonométrica de ${\textstyle \sin(-\theta )=-\sin(\theta )}$ y ${\textstyle \cos(-\theta )=\cos(\theta )}$ ) $R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}.$

Una convención alternativa utiliza ejes giratorios (en lugar de girar un vector), ^{[ 1 ]} y las matrices anteriores también representan una rotación de los ejes en el sentido de las agujas del reloj a través de un ángulo $θ$ .

El caso bidimensional es el único caso no trivial en el que el grupo de matrices de rotación es conmutativo; no importa el orden en que se realicen las rotaciones. En el caso tridimensional, por ejemplo, un orden diferente de rotaciones múltiples produce un resultado distinto (por ejemplo, rotar teléfonos móviles sobre el eje z y luego sobre el eje y no es lo mismo que rotarlos sobre el eje y y luego sobre el eje z ).

Orientación no estándar del sistema de coordenadas

Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas estándar diestro , con el eje $x$ hacia la derecha y el $eje$ y hacia arriba, la rotación $R$ $($ $θ$ $)$ es en sentido antihorario. Si se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas zurdo, con $el eje x$ hacia la derecha y el eje $y$ hacia abajo, $R$ $($ $θ$ $)$ es en sentido horario. Estas orientaciones no estándar rara vez se utilizan en matemáticas, pero son comunes en gráficos por computadora 2D , que a menudo tienen el origen en la esquina superior izquierda y el $eje$ y hacia abajo en la pantalla o página. ^[²^]

Consulte a continuación otras convenciones alternativas que pueden cambiar el sentido de la rotación producida por una matriz de rotación.

Rotaciones 2D comunes

Matrices ${\begin{bmatrix}1&0\\[3pt]0&1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}$ son matrices de rotación 2D que corresponden a rotaciones en sentido antihorario de ángulos respectivos de 0°, 90°, 180° y 270°.

Relación con el plano complejo

Las matrices de la forma ${\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}$ forman un anillo , puesto que su conjunto es cerrado bajo la suma y la multiplicación. Dado que ${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\ =-I$ (dónde ${\textstyle I}$ es la matriz identidad ), el mapa ${\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\mapsto x+iy$ (dónde ${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ corresponde a $i$ ) es un isomorfismo de anillo de este anillo al cuerpo de los números complejos . $\mathbb {C}$ ( Por cierto, esto demuestra que este anillo es un cuerpo). Bajo este isomorfismo, las matrices de rotación ${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\\\end{bmatrix}}=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ corresponden al círculo de los números complejos unitarios , los números complejos de módulo $1$ , ya que $\cos t^{2}+\sin t^{2}=1$ . Como resultado, se cumple la siguiente igualdad: $e^{it}=\cos t+i\sin t=\cos t{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+\sin t{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}$ donde la primera igualdad es la fórmula de Euler , la matriz $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ corresponde a 1, y la matriz ${\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$ corresponde a la unidad imaginaria ${\textstyle i}$ .

Si uno identifica $\mathbb {R} ^{2}$ con $\mathbb {C}$ a través del isomorfismo lineal $(a,b)\mapsto a+ib$ , dónde $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ y $a+ib\in \mathbb {C}$ , la acción de una matriz ${\begin{bmatrix}x&-y\\y&x\end{bmatrix}}$ en un vector $(a,b)$ corresponde a la multiplicación por el número complejo $a+ib$ por $x + iy$ . En otras palabras, una rotación vectorial corresponde a la multiplicación de un número complejo (que corresponde al vector que se rota) por un número complejo de módulo $1$ (que corresponde a la matriz de rotación).

En tres dimensiones

Rotaciones 3D básicas

Una rotación 3D básica (también llamada rotación elemental) es una rotación alrededor de uno de los ejes de un sistema de coordenadas. Las siguientes tres matrices de rotación básicas rotan vectores un ángulo $θ$ alrededor del eje $x$ , $y$ o $z$ , en tres dimensiones, utilizando la regla de la mano derecha , que codifica sus signos alternos. ^{[ 3 ]} Nótese que la regla de la mano derecha solo funciona al multiplicar $R\cdot {\vec {x}}$ . Las mismas matrices también pueden representar una rotación en sentido horario de los ejes manteniendo los vectores sin cambios. ^{[ nb 1 ]}

${\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}\end{alignedat}}$

Para vectores columna , cada una de estas rotaciones vectoriales básicas aparece en sentido antihorario cuando el eje alrededor del cual ocurren apunta hacia el observador, el sistema de coordenadas es diestro y el ángulo $θ$ es positivo. $R z$ , por ejemplo, rotaría hacia el eje y $un$ vector alineado con el eje $x$ , como se puede comprobar fácilmente operando con $R z$ sobre el vector $(1,0,0)$ : $R_{z}(90^{\circ }){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos 90^{\circ }&-\sin 90^{\circ }&0\\\sin 90^{\circ }&\quad \cos 90^{\circ }&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\\end{bmatrix}}$

Esto es similar a la rotación producida por la matriz de rotación bidimensional mencionada anteriormente. A continuación se muestran convenciones alternativas que pueden invertir, aparente o realmente, el sentido de la rotación producida por estas matrices.

Rotaciones 3D generales

Se pueden obtener otras matrices de rotación 3D a partir de estas tres mediante la multiplicación de matrices . Por ejemplo, el producto ${\begin{aligned}R=R_{z}(\alpha )\,R_{y}(\beta )\,R_{x}(\gamma )&={\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \gamma &-\sin \gamma \\0&\sin \gamma &\cos \gamma \\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

representa una rotación cuyos ángulos de guiñada, cabeceo y balanceo son $α$ , $β$ y $γ$ , respectivamente. Más formalmente, es una rotación intrínseca cuyos ángulos de Tait-Bryan son $α$ , $β$ , $γ$ , alrededor de los ejes $z$ , $y$ , $x$ , respectivamente. De manera similar, el producto ${\begin{aligned}\\R=R_{x}(\alpha )\,R_{y}(\beta )\,R_{z}(\gamma )&={\overset {\text{roll}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{pitch}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{bmatrix}}}{\overset {\text{yaw}}{\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \beta \cos \gamma &-\cos \beta \sin \gamma &\sin \beta \\\cos \alpha \sin \gamma +\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma &\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma &\cos \alpha \cos \beta \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ representa una rotación extrínseca cuyos ángulos de Euler (impropios) son $α$ , $β$ , $γ$ , alrededor de los ejes $x$ , $y$ , $z$ .

Estas matrices producen el efecto deseado solo si se utilizan para premultiplicar vectores columna y (dado que, en general, la multiplicación de matrices no es conmutativa ) solo si se aplican en el orden especificado (véase Ambigüedades para más detalles). El orden de las operaciones de rotación es de derecha a izquierda; la matriz adyacente al vector columna es la primera en aplicarse, y luego la que está a su izquierda. ^{[ 4 ]}

Conversión de matriz de rotación a eje-ángulo

Cada rotación en tres dimensiones se define por su eje (un vector a lo largo de este eje no cambia con la rotación) y su ángulo , que es la cantidad de rotación alrededor de ese eje ( teorema de rotación de Euler ).

Existen varios métodos para calcular el eje y el ángulo a partir de una matriz de rotación (véase también la representación eje-ángulo ). Aquí, solo describimos el método basado en el cálculo de los autovectores y autovalores de la matriz de rotación. También es posible utilizar la traza de la matriz de rotación.

Determinación del eje

Dada una matriz de rotación $R$ de 3 × 3 , un vector $u$ paralelo al eje de rotación debe satisfacer $R\mathbf {u} =\mathbf {u} ,$ ya que la rotación de $u$ alrededor del eje de rotación debe resultar en $u$ . La ecuación anterior se puede resolver para $u,$ que es única salvo un factor escalar a menos que $R$ sea la matriz identidad $I.$

Además, la ecuación puede reescribirse. $R\mathbf {u} =I\mathbf {u} \implies \left(R-I\right)\mathbf {u} =0,$ lo que demuestra que $u$ se encuentra en el espacio nulo de $R - I$ .

Esto significa precisamente que $u$ es un vector propio de $R$ que corresponde al valor propio $λ = 1.$ Toda matriz de rotación debe tener este valor propio, siendo los otros dos valores propios conjugados complejos entre sí. De ello se deduce que una matriz de rotación general en tres dimensiones tiene, salvo una constante multiplicativa, un único vector propio real.

Una forma de determinar el eje de rotación es demostrando que: ^{[ 5 ]}

${\begin{aligned}0&=R^{\mathsf {T}}0+0\\&=R^{\mathsf {T}}\left(R-I\right)\mathbf {u} +\left(R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(I-R^{\mathsf {T}}+R-I\right)\mathbf {u} \\&=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} \end{aligned}}$

Dado que $(R - R T)$ es una matriz antisimétrica , podemos elegir $u$ de tal manera que $[\mathbf {u} ]_{\times }=\left(R-R^{\mathsf {T}}\right).$ El producto matriz-vector se convierte en un producto vectorial de un vector consigo mismo, lo que garantiza que el resultado sea cero:

$\left(R-R^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {u} =[\mathbf {u} ]_{\times }\mathbf {u} =\mathbf {u} \times \mathbf {u} =0\,$

Por lo tanto, si $R={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}},$ entonces $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}h-f\\c-g\\d-b\\\end{bmatrix}}.$ La magnitud de $u$ calculada de esta manera es $‖ u ‖ = 2 sin θ$ , donde $θ$ es el ángulo de rotación.

Esto no funciona si $R$ es simétrico. Arriba, si $R - R T$ es cero, entonces todos los pasos subsiguientes son inválidos. En este caso, el ángulo de rotación es 0° o 180° y cualquier columna no nula de $I + R$ es un vector propio de $R$ con valor propio 1 porque $R (I + R) = R + R 2 = R + RR T = I + R$ . ^{[ 6 ]}

Determinación del ángulo

Para hallar el ángulo de una rotación, una vez conocido el eje de rotación, seleccione un vector $v$ perpendicular al eje. Entonces, el ángulo de rotación es el ángulo entre $v$ y $R v$ .

Un método más directo, sin embargo, consiste simplemente en calcular la traza : la suma de los elementos diagonales de la matriz de rotación. Se debe tener cuidado al seleccionar el signo correcto para el ángulo $θ$ para que coincida con el eje elegido: $\operatorname {tr} (R)=1+2\cos \theta ,$

de lo cual se deduce que el valor absoluto del ángulo es $|\theta |=\arccos \left({\frac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\right).$

Para el eje de rotación $\mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})$ , puedes obtener el ángulo correcto ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} de

$\left\{{\begin{matrix}\cos \theta &=&{\dfrac {\operatorname {tr} (R)-1}{2}}\\\sin \theta &=&-{\dfrac {\operatorname {tr} (K_{n}R)}{2}}\end{matrix}}\right.$

dónde

$K_{n}={\begin{bmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\\\end{bmatrix}}$

Matriz de rotación a partir de ejes y ángulos

La matriz de una rotación propia $R$ por ángulo $θ$ alrededor del eje $u = (u x, u y, u z)$ , un vector unitario con $u 2 x + u 2 y + u 2 z = 1$ , viene dada por: ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} $R={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)-u_{z}\sin \theta &u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{y}\sin \theta \\u_{x}u_{y}\left(1-\cos \theta \right)+u_{z}\sin \theta &u_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{x}\sin \theta \\u_{x}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)-u_{y}\sin \theta &u_{y}u_{z}\left(1-\cos \theta \right)+u_{x}\sin \theta &u_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Una derivación de esta matriz a partir de primeros principios se puede encontrar en la sección 9.2 aquí. ^{[ 13 ]} La idea básica para derivar esta matriz es dividir el problema en unos pocos pasos simples conocidos.

Primero, gire el eje dado y el punto de manera que el eje quede en uno de los planos de coordenadas ( $xy$ , $yz$ o $zx$ ).
Luego, gire el eje dado y el punto de manera que el eje se alinee con uno de los dos ejes de coordenadas para ese plano de coordenadas en particular ( $x$ , $y$ o $z$ ).
Utilice una de las matrices de rotación fundamentales para rotar el punto en función del eje de coordenadas con el que esté alineado el eje de rotación.
Invierta la rotación del par eje-punto de modo que alcance la configuración final que tenía en el paso 2 (Deshacer el paso 2).
Invierta la rotación del par eje-punto que se realizó en el paso 1 (deshaciendo el paso 1).

Esto se puede escribir de forma más concisa como ^[¹⁴^]. $R=(\cos \theta )\,I+(\sin \theta )\,[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta )\,(\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ),$ donde $[u] \times$ es la matriz de producto vectorial de $u$ ; la expresión $u \otimes u$ es el producto exterior , e $I$ es la matriz identidad . Alternativamente, las entradas de la matriz son: $R_{jk}={\begin{cases}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\left(2u_{j}^{2}-1\right),\quad &{\text{if }}j=k\\2u_{j}u_{k}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}-\varepsilon _{jkl}u_{l}\sin \theta ,\quad &{\text{if }}j\neq k\end{cases}}$

donde $ε jkl$ es el símbolo de Levi-Civita con $ε 123 = 1.$ Esta es una forma matricial de la fórmula de rotación de Rodrigues (o la fórmula de Euler-Rodrigues equivalente, parametrizada de manera diferente ) con ^{[ nb 2 ].}

$\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}&u_{x}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}&u_{y}u_{z}\\[3pt]u_{x}u_{z}&u_{y}u_{z}&u_{z}^{2}\end{bmatrix}},\qquad [\mathbf {u} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-u_{z}&u_{y}\\[3pt]u_{z}&0&-u_{x}\\[3pt]-u_{y}&u_{x}&0\end{bmatrix}}.$

En $\mathbb {R} ^{3}$ La rotación de un vector $x$ alrededor del eje $u$ en un ángulo $θ$ se puede escribir como: $R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {x} )+\cos \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )\times \mathbf {u} +\sin \left(\theta \right)(\mathbf {u} \times \mathbf {x} )$

o equivalentemente: $R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} =\mathbf {x} \cos(\theta )+\mathbf {u} (\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )(1-\cos(\theta ))-\mathbf {x} \times \mathbf {u} \sin {\theta }$

Esto también se puede escribir en notación tensorial como: ^{[ 15 ]} $(R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {x} )_{i}=(R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}{\mathbf {x} }_{j}\quad {\text{with}}\quad (R_{\mathbf {u} }(\theta ))_{ij}=\delta _{ij}\cos(\theta )+\mathbf {u} _{i}\mathbf {u} _{j}(1-\cos(\theta ))-\sin {\theta }\varepsilon _{ijk}\mathbf {u} _{k}$

Si el espacio 3D es diestro y $θ > 0$ , esta rotación será en sentido antihorario cuando $u$ apunte hacia el observador ( regla de la mano derecha ). Explícitamente, con $({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},\mathbf {u} )$ una base ortonormal diestra, $R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\alpha }}=\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta ){\boldsymbol {\beta }}=-\sin \left(\theta \right){\boldsymbol {\alpha }}+\cos \left(\theta \right){\boldsymbol {\beta }},\quad R_{\mathbf {u} }(\theta )\mathbf {u} =\mathbf {u} .$

Nótese la sorprendente diferencia, meramente aparente, con la formulación equivalente de Lie-algebraica que se muestra a continuación .

Propiedades

Para cualquier matriz de rotación $n -dimensional$ $R$ que actúa sobre $\mathbb {R} ^{n},$

R^{\mathsf {T}}=R^{-1}

(La rotación es una matriz ortogonal )

\det R=\pm 1

Una rotación se denomina propia si $det R = 1$ , e impropia (o rotorreflexión) si $det R = -1$ . Para dimensiones pares $n = 2k,$ los $n$ autovalores $λ$ de una rotación propia aparecen como pares de conjugados complejos que son raíces de la unidad: $λ = e \pm iθ j$ para $j = 1, ..., k$ , que es real solo para $λ = \pm1$ . Por lo tanto, puede que no haya vectores fijos por la rotación ( $λ = 1$ ), y por consiguiente no hay eje de rotación. Cualquier autovector fijo aparece en pares, y el eje de rotación es un subespacio de dimensión par.

Para dimensiones impares $n = 2 k + 1$ , una rotación propia $R$ tendrá un número impar de autovalores, con al menos un $λ = 1$ y el eje de rotación será un subespacio de dimensión impar. Prueba:

{\begin{aligned}\det \left(R-I\right)&=\det \left(R^{\mathsf {T}}\right)\det \left(R-I\right)=\det \left(R^{\mathsf {T}}R-R^{\mathsf {T}}\right)=\det \left(I-R^{\mathsf {T}}\right)\\&=\det(I-R)=\left(-1\right)^{n}\det \left(R-I\right)=-\det \left(R-I\right).\end{aligned}}

Aquí $I$ es la matriz identidad, y usamos $det(R T) = det(R) = 1$ , así como $(-1) n = -1$ ya que $n$ es impar. Por lo tanto, $det(R - I) = 0$ , lo que significa que hay un vector $v$ distinto de cero con $(R - I) v = 0$ , es decir , $R v = v$ , un vector propio fijo. También puede haber pares de vectores propios fijos en el subespacio de dimensión par ortogonal a $v$ , por lo que la dimensión total de los vectores propios fijos es impar.

Por ejemplo, en el espacio 2 $n = 2$ , una rotación por ángulo $θ$ tiene valores propios $λ = e iθ$ y $λ = e - iθ$ , por lo que no hay eje de rotación excepto cuando $θ = 0$ , el caso de la rotación nula. En el espacio 3 $n = 3$ , el eje de una rotación propia no nula es siempre una línea única, y una rotación alrededor de este eje por ángulo $θ$ tiene valores propios $λ = 1, e iθ, e - iθ$ . En el espacio 4 $n = 4$ , los cuatro valores propios son de la forma $e \pm iθ, e \pm iφ$ . La rotación nula tiene $θ = φ = 0$ . El caso de $θ = 0, φ \neq 0$ se denomina rotación simple , con dos autovalores unitarios que forman un plano de ejes y una rotación bidimensional ortogonal a dicho plano. En caso contrario, no existe un plano de ejes. El caso de $θ = φ$ se denomina rotación isoclínica , con autovalores $e \pm iθ$ repetidos dos veces, de modo que cada vector gira un ángulo $θ$ .

La traza de una matriz de rotación es igual a la suma de sus autovalores. Para $n = 2$ , una rotación de ángulo $θ$ tiene una traza de $2 cos θ$ . Para $n = 3$ , una rotación alrededor de cualquier eje de ángulo $θ$ tiene una traza de $1 + 2 cos θ$ . Para $n = 4$ , la traza es $2(cos θ + cos φ)$ , que se convierte en $4 cos θ$ para una rotación isoclínica.

Ejemplos

Geometría

En geometría euclidiana , una rotación es un ejemplo de isometría , una transformación que mueve puntos sin cambiar las distancias entre ellos. Las rotaciones se distinguen de otras isometrías por dos propiedades adicionales: dejan (al menos) un punto fijo y mantienen la quiralidad . En cambio, una traslación mueve todos los puntos, una reflexión intercambia la quiralidad (izquierda y derecha), una reflexión con deslizamiento hace ambas cosas, y una rotación impropia combina un cambio de quiralidad con una rotación normal.

Si se toma un punto fijo como origen de un sistema de coordenadas cartesianas $,$ entonces a cada punto se le pueden asignar coordenadas como un desplazamiento desde el origen. Por lo tanto, se puede trabajar con el $espacio$ vectorial de desplazamientos en lugar de con los puntos mismos. Ahora supongamos que $(p₁, ..., pₙ)$ son las coordenadas del vector $p$ desde el origen $O$ hasta el punto $P.$ Elegimos una base ortonormal para nuestras coordenadas; entonces la distancia al cuadrado a $P$ , por Pitágoras , es $d^{2}(O,P)=\|\mathbf {p} \|^{2}=\sum _{r=1}^{n}p_{r}^{2}$ que se puede calcular utilizando la multiplicación de matrices $\|\mathbf {p} \|^{2}={\begin{bmatrix}p_{1}\cdots p_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} .$

Una rotación geométrica transforma líneas en líneas y conserva las razones de las distancias entre puntos. A partir de estas propiedades se puede demostrar que una rotación es una transformación lineal de los vectores y, por lo tanto, se puede escribir en forma matricial , $Q p$ . El hecho de que una rotación conserve, no solo las razones, sino también las distancias mismas, se enuncia como $\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\mathbf {p} =(Q\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}(Q\mathbf {p} ),$ o ${\begin{aligned}\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {p} &{}=\left(\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}Q^{\mathsf {T}}\right)(Q\mathbf {p} )\\&{}=\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}Q\right)\mathbf {p} .\end{aligned}}$ Debido a que esta ecuación se cumple para todos los vectores, $p$ , se concluye que toda matriz de rotación, $Q$ , satisface la condición de ortogonalidad , $Q^{\mathsf {T}}Q=I.$ Las rotaciones conservan la quiralidad porque no pueden cambiar el orden de los ejes, lo que implica la condición matricial especial , $\det Q=+1.$ Igualmente importante, se puede demostrar que cualquier matriz que satisfaga estas dos condiciones actúa como una rotación.

Multiplicación

La inversa de una matriz de rotación es su transpuesta, que también es una matriz de rotación: ${\begin{aligned}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}\right)&=QQ^{\mathsf {T}}=I\\\det Q^{\mathsf {T}}&=\det Q=+1.\end{aligned}}$ El producto de dos matrices de rotación es una matriz de rotación: ${\begin{aligned}\left(Q_{1}Q_{2}\right)^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}Q_{2}\right)&=Q_{2}^{\mathsf {T}}\left(Q_{1}^{\mathsf {T}}Q_{1}\right)Q_{2}=I\\\det \left(Q_{1}Q_{2}\right)&=\left(\det Q_{1}\right)\left(\det Q_{2}\right)=+1.\end{aligned}}$ Para $n > 2$ , la multiplicación de matrices de rotación $n \times n$ generalmente no es conmutativa . ${\begin{aligned}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}&Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\\Q_{1}Q_{2}&={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}&Q_{2}Q_{1}&={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$ Teniendo en cuenta que cualquier matriz identidad es una matriz de rotación, y que la multiplicación de matrices es asociativa , podemos resumir todas estas propiedades diciendo que las matrices de rotación $n \times n$ forman un grupo que, para $n > 2,$ no es abeliano , se denomina grupo ortogonal especial y se denota por $SO(n)$ , $SO(n, R)$ , $SO n$ o $SO n (R)$ . El grupo de matrices de rotación $n \times n$ es isomorfo al grupo de rotaciones en un espacio $n$ -dimensional . Esto significa que la multiplicación de matrices de rotación corresponde a la composición de rotaciones, aplicadas en orden de izquierda a derecha de sus matrices correspondientes.

Ambigüedades

La interpretación de una matriz de rotación puede estar sujeta a muchas ambigüedades.

En la mayoría de los casos, el efecto de la ambigüedad es equivalente al efecto de una inversión de matriz de rotación (para estas matrices ortogonales, equivalente a la transposición de la matriz ).

Transformación de alias o coartada (pasiva o activa): Las coordenadas de un punto $P$ pueden cambiar debido a una rotación del sistema de coordenadas $CS$ ( alias ) o a una rotación del punto $P$ ( alibi ). En este último caso, la rotación de $P$ también produce una rotación del vector $v$ que representa $a P.$ En otras palabras, o bien $P$ y $v$ permanecen fijos mientras $CS$ rota (alias), o bien $CS$ permanece fijo mientras $P$ y $v$ rotan (alibi). Cualquier rotación dada puede describirse legítimamente de ambas maneras, ya que los vectores y los sistemas de coordenadas rotan entre sí, alrededor del mismo eje pero en direcciones opuestas. A lo largo de este artículo, elegimos el enfoque alibi para describir las rotaciones. Por ejemplo,; $R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$; representa una rotación en sentido antihorario de un vector $v$ por un ángulo $θ$ , o una rotación de $CS$ por el mismo ángulo pero en sentido contrario (es decir, en sentido horario). Las transformaciones Alibi y Alias también se conocen como transformaciones activas y pasivas , respectivamente.
Premultiplicación o postmultiplicación: El mismo punto $P$ puede representarse mediante un vector columna $v$ o un vector fila $w . Las matrices$ $de$ rotación pueden premultiplicar vectores columna ( $Rv$ ) o postmultiplicar vectores fila ( $wR$ ). Sin embargo, $Rv$ produce una rotación en la dirección opuesta a $wR$ $.$ A lo largo de este artículo, las rotaciones producidas en vectores columna se describen mediante una premultiplicación. Para obtener exactamente la misma rotación (es decir, las mismas coordenadas finales del punto $P$ $)$ $,$ el vector fila equivalente debe postmultiplicarse por la transpuesta de $R$ (es decir $,$ $wRT)$ .
Coordenadas para diestros o zurdos: La matriz y el vector pueden representarse con respecto a un sistema de coordenadas diestro o zurdo. A lo largo del artículo, hemos asumido una orientación diestra, salvo que se especifique lo contrario.
Vectores o formas: El espacio vectorial tiene un espacio dual de formas lineales , y la matriz puede actuar tanto sobre vectores como sobre formas.

Descomposiciones

aviones independientes

Consideremos la matriz de rotación de 3 × 3. $Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.80\\-0.80&0.60&0.00\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}.$ Si $Q$ actúa en una dirección determinada, $v$ , simplemente como un escalamiento por un factor $λ$ , entonces tenemos $Q\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$ de modo que $\mathbf {0} =(\lambda I-Q)\mathbf {v} .$ Por lo tanto, $λ$ es una raíz del polinomio característico de $Q$ , ${\begin{aligned}0&{}=\det(\lambda I-Q)\\&{}=\lambda ^{3}-{\tfrac {39}{25}}\lambda ^{2}+{\tfrac {39}{25}}\lambda -1\\&{}=(\lambda -1)\left(\lambda ^{2}-{\tfrac {14}{25}}\lambda +1\right).\end{aligned}}$ Dos características son dignas de mención. Primero, una de las raíces (o autovalores ) es 1, lo que nos dice que alguna dirección no se ve afectada por la matriz. Para rotaciones en tres dimensiones, este es el eje de la rotación (un concepto que no tiene significado en ninguna otra dimensión). Segundo, las otras dos raíces son un par de conjugados complejos, cuyo producto es 1 (el término constante del cuadrático) y cuya suma es $2 cos θ$ (el término lineal negado). Esta factorización es de interés para matrices de rotación de 3 × 3 porque lo mismo ocurre para todas ellas. (Como casos especiales, para una rotación nula los "conjugados complejos" son ambos 1, y para una rotación de 180° son ambos −1). Además, una factorización similar se cumple para cualquier matriz de rotación $n \times n$ . Si la dimensión, $n$ , es impar, habrá un autovalor "colgante" de 1; y para cualquier dimensión el resto del polinomio se factoriza en términos cuadráticos como el que se muestra aquí (con los dos casos especiales señalados). Tenemos la garantía de que el polinomio característico tendrá grado $n$ y, por lo tanto, $n autovalores. Y dado que una matriz$ $de$ rotación conmuta con su transpuesta, es una matriz normal , por lo que puede diagonalizarse. Concluimos que toda matriz de rotación, cuando se expresa en un sistema de coordenadas adecuado, se particiona en rotaciones independientes de subespacios bidimensionales, como máximo $n$ $/$ $2$ $de ellos$ .

La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se denomina traza ; no cambia si reorientamos el sistema de coordenadas y siempre es igual a la suma de los autovalores. Esto tiene la conveniente implicación, para matrices de rotación de 2 × 2 y 3 × 3, de que la traza revela el ángulo de rotación , $θ$ , en el espacio bidimensional (o subespacio). Para una matriz de 2 × 2, la traza es $2 cos θ$ , y para una matriz de 3 × 3 es $1 + 2 cos θ$ . En el caso tridimensional, el subespacio consta de todos los vectores perpendiculares al eje de rotación (la dirección invariante, con autovalor 1). Por lo tanto, podemos extraer de cualquier matriz de rotación de 3 × 3 un eje de rotación y un ángulo, que determinan completamente la rotación.

Ángulos secuenciales

Las restricciones sobre una matriz de rotación de 2 × 2 implican que debe tener la forma $Q={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}$ con $a² + b² = 1. Por$ lo tanto, podemos establecer $a = cos θ$ y $b = sin θ$ , para algún ángulo $θ$ $.$ Para resolver $θ$ no basta con observar $a$ o $b$ por separado; debemos considerar ambos juntos para ubicar el ángulo en el cuadrante correcto , utilizando una función arcotangente de dos argumentos .

Ahora consideremos la primera columna de una matriz de rotación de 3 × 3 , ${\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}.$ Aunque $a 2 + b 2$ probablemente no sea igual a 1, sino algún valor $r 2 < 1$ , podemos usar una ligera variación del cálculo anterior para encontrar una llamada rotación de Givens que transforma la columna en ${\begin{bmatrix}r\\0\\c\end{bmatrix}},$ Poniendo a cero $b$ . Esto actúa sobre el subespacio generado por los ejes $x$ e $y$ . Luego podemos repetir el proceso para el subespacio $xz para poner a cero$ $c$ . Al actuar sobre la matriz completa, estas dos rotaciones producen la forma esquemática. $Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\ast &\ast \\0&\ast &\ast \end{bmatrix}}.$ Centrando nuestra atención en la segunda columna, una rotación de Givens del subespacio $yz$ puede ahora poner a cero el valor $z$ . Esto lleva la matriz completa a la forma $Q_{yz}Q_{xz}Q_{xy}Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},$ que es una matriz identidad. Por lo tanto, hemos descompuesto $Q$ como $Q=Q_{xy}^{-1}Q_{xz}^{-1}Q_{yz}^{-1}.$

Una matriz de rotación $n \times n$ tendrá $(n - 1) + (n - 2) + \dots + 2 + 1$ , o $\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {1}{2}}n(n-1)$ Las entradas debajo de la diagonal se ponen a cero. Podemos ponerlas a cero extendiendo la misma idea de recorrer las columnas con una serie de rotaciones en una secuencia fija de planos. Concluimos que el conjunto de matrices $de$ $rotación n \times n$ , cada una con $n 2$ entradas, se puede parametrizar mediante $1$ $/$ $2$ $n$ $($ $n -$ $1$ $)$ ángulos.

En tres dimensiones, esto reformula en forma matricial una observación realizada por Euler , por lo que los matemáticos denominan a la secuencia ordenada de tres ángulos ángulos de Euler . Sin embargo, la situación es algo más compleja de lo que hemos indicado hasta ahora. A pesar de la pequeña dimensión, en realidad tenemos una considerable libertad en la secuencia de pares de ejes que utilizamos, así como en la elección de los ángulos. Por lo tanto, encontramos muchas convenciones diferentes empleadas cuando se parametrizan rotaciones tridimensionales para física, medicina, química u otras disciplinas. Si incluimos la opción de ejes del mundo o ejes del cuerpo, son posibles 24 secuencias diferentes. Y mientras que algunas disciplinas denominan ángulos de Euler a cualquier secuencia, otras dan nombres diferentes (Cardano, Tait-Bryan, balanceo-cabeceo-guiñada ) a distintas secuencias.

Una de las razones de la gran cantidad de opciones es que, como se mencionó anteriormente, las rotaciones en tres dimensiones (y superiores) no conmutan. Si invertimos una secuencia de rotaciones dada, obtenemos un resultado diferente. Esto también implica que no podemos componer dos rotaciones sumando sus ángulos correspondientes. Por lo tanto, los ángulos de Euler no son vectores , a pesar de su apariencia similar como una terna de números.

Dimensiones anidadas

Una matriz de rotación de 3 × 3 como por ejemplo $Q_{3\times 3}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}}$

sugiere una matriz de rotación de 2 × 2 , $Q_{2\times 2}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},$

está incrustado en la esquina superior izquierda: $Q_{3\times 3}=\left[{\begin{matrix}Q_{2\times 2}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} ^{\mathsf {T}}&1\end{matrix}}\right].$

Esto no es una ilusión; no solo una, sino muchas copias de rotaciones $n$ -dimensionales se encuentran dentro de rotaciones $(n + 1) -dimensionales, como$ subgrupos . Cada incrustación deja una dirección fija, que en el caso de matrices de 3 × 3 es el eje de rotación. Por ejemplo, tenemos ${\begin{aligned}Q_{\mathbf {x} }(\theta )&={\begin{bmatrix}{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta &-\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {y} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}&\sin \theta \\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}&{\color {CadetBlue}0}\\-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}&\cos \theta \end{bmatrix}},\\[8px]Q_{\mathbf {z} }(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &{\color {CadetBlue}0}\\\sin \theta &\cos \theta &{\color {CadetBlue}0}\\{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}0}&{\color {CadetBlue}1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

fijando los ejes $x$ , $y$ y $z$ , respectivamente. El eje de rotación no tiene por qué ser un eje de coordenadas; si $u = (x, y, z)$ es un vector unitario en la dirección deseada, entonces ${\begin{aligned}Q_{\mathbf {u} }(\theta )&={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\sin \theta +\left(I-\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\right)\cos \theta +\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}\left(1-x^{2}\right)c_{\theta }+x^{2}&-zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz\\zs_{\theta }-xyc_{\theta }+xy&\left(1-y^{2}\right)c_{\theta }+y^{2}&-xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz\\-ys_{\theta }-xzc_{\theta }+xz&xs_{\theta }-yzc_{\theta }+yz&\left(1-z^{2}\right)c_{\theta }+z^{2}\end{bmatrix}}\\[8px]&={\begin{bmatrix}x^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&xy(1-c_{\theta })-zs_{\theta }&xz(1-c_{\theta })+ys_{\theta }\\xy(1-c_{\theta })+zs_{\theta }&y^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }&yz(1-c_{\theta })-xs_{\theta }\\xz(1-c_{\theta })-ys_{\theta }&yz(1-c_{\theta })+xs_{\theta }&z^{2}(1-c_{\theta })+c_{\theta }\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

donde $c θ = cos θ$ , $s θ = sin θ$ , es una rotación de ángulo $θ$ dejando fijo el eje $u .$

Una dirección en el espacio $(n + 1)$ -dimensional será un vector de magnitud unitaria, que podemos considerar un punto en una esfera generalizada, $S n$ . Por lo tanto, es natural describir el grupo de rotación $SO(n + 1)$ como una combinación $de SO(n)$ y $S n$ . Un formalismo adecuado es el fibrado , $SO(n)\hookrightarrow SO(n+1)\to S^{n},$

donde para cada dirección en el espacio base, $S n$ , la fibra sobre ella en el espacio total, $SO(n + 1)$ , es una copia del espacio fibra, $SO(n)$ , es decir, las rotaciones que mantienen fija esa dirección.

Así, podemos construir una matriz de rotación $n \times n$ comenzando con una matriz 2 × 2 , apuntando su eje fijo a $S 2$ (la esfera ordinaria en el espacio tridimensional), apuntando la rotación resultante a $S 3$ , y así sucesivamente hasta $S n -1$ . Se puede seleccionar un punto en $S n$ $usando n$ números, por lo que nuevamente tenemos $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $n$ $($ $n$ $- 1)$ números para describir cualquier matriz de rotación $n$ $\times$ $n$ .

De hecho, podemos ver la descomposición angular secuencial, discutida anteriormente, como la inversión de este proceso. La composición de $n - 1$ rotaciones de Givens lleva la primera columna (y fila) a (1, 0, ..., 0) , de modo que el resto de la matriz es una matriz de rotación de dimensión uno menos, incrustada de manera que (1, 0, ..., 0) permanezca fijo.

Parámetros de asimetría mediante la fórmula de Cayley

Cuando una matriz de rotación $n \times n$ $Q$ no incluye un valor propio −1, por lo que ninguna de las rotaciones planares que comprende son rotaciones de 180°, entonces $Q + I$ es una matriz invertible . La mayoría de las matrices de rotación se ajustan a esta descripción, y para ellas se puede demostrar que $(Q - I)(Q + I) -1$ es una matriz antisimétrica , $A$ . Por lo tanto, $A T = - A$ ; y dado que la diagonal es necesariamente cero, y dado que el triángulo superior determina el inferior, $A$ contiene $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ $n$ $($ $n$ $- 1)$ números independientes.

Convenientemente, $I - A$ es invertible siempre que $A$ sea antisimétrica; por lo tanto, podemos recuperar la matriz original utilizando la transformada de Cayley . $A\mapsto (I+A)(I-A)^{-1},$ que transforma cualquier matriz antisimétrica $A$ en una matriz de rotación. De hecho, salvo las excepciones mencionadas, podemos generar cualquier matriz de rotación de esta manera. Si bien en aplicaciones prácticas difícilmente podemos ignorar las rotaciones de 180°, la transformada de Cayley sigue siendo una herramienta potencialmente útil, ya que proporciona una parametrización de la mayoría de las matrices de rotación sin funciones trigonométricas.

En tres dimensiones, por ejemplo, tenemos ( Cayley 1846 ) ${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\mapsto \\[3pt]\quad {\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}&{\begin{bmatrix}1+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2xy-2z&2y+2xz\\2xy+2z&1-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2yz-2x\\2xz-2y&2x+2yz&1-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Si condensamos las entradas sesgadas en un vector, $(x, y, z)$ , entonces producimos una rotación de 90° alrededor del eje $x para (1, 0, 0), alrededor del eje$ $y$ para (0, 1, 0) y alrededor del eje $z$ para (0, 0, 1). Las rotaciones de 180° están justo fuera de nuestro alcance; pues, en el límite cuando $x \to \infty$ , $(x, 0, 0)$ se aproxima a una rotación de 180° alrededor del eje $x$ , y de manera similar para otras direcciones.

Descomposición en cizallas

Para el caso 2D, una matriz de rotación se puede descomponer en tres matrices de corte ( Paeth 1986 ):

${\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\\sin \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\tan {\frac {\theta }{2}}\\0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Esto resulta útil, por ejemplo, en gráficos por computadora, ya que las deformaciones se pueden implementar con menos instrucciones de multiplicación que la rotación directa de un mapa de bits. En computadoras modernas, esto puede no ser relevante, pero sí lo es para microprocesadores muy antiguos o de gama baja.

Una rotación también puede escribirse como dos cortes y un mapeo de compresión (un escalamiento que preserva el área ) ( Daubechies y Sweldens 1998 ):

${\begin{aligned}R(\theta )&{}={\begin{bmatrix}1&0\\\tan \theta &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-\sin \theta \cos \theta \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &0\\0&{\frac {1}{\cos \theta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

teoría de grupos

A continuación se presentan algunos datos básicos sobre el papel del conjunto de todas las matrices de rotación de dimensión fija (en este caso, principalmente 3) en matemáticas y, en particular, en física, donde la simetría rotacional es un requisito de toda ley verdaderamente fundamental (debido a la suposición de isotropía del espacio ), y donde la misma simetría, cuando está presente, es una propiedad simplificadora de muchos problemas de naturaleza menos fundamental. Abundan los ejemplos en mecánica clásica y mecánica cuántica . El conocimiento de la parte de las soluciones que corresponde a esta simetría se aplica (con ciertas salvedades) a todos estos problemas y puede factorizarse a partir de un problema específico, reduciendo así su complejidad. Un ejemplo primordial —en matemáticas y física— sería la teoría de los armónicos esféricos . Su papel en la teoría de grupos de rotación es el de ser un espacio de representación para todo el conjunto de representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo de rotación SO(3). Para este tema, véase Grupo de rotación SO(3) § Armónicos esféricos .

Para obtener más detalles, consulte los artículos principales que figuran en cada subsección.

Grupo de mentiras

Las matrices de rotación $n \times n$ para cada $n$ forman un grupo , el grupo ortogonal especial , $SO(n)$ . Esta estructura algebraica está acoplada con una estructura topológica heredada de $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ De tal manera que las operaciones de multiplicación y de inversión son funciones analíticas de las entradas de la matriz. Así, $SO(n)$ es para cada $n$ un grupo de Lie . Es compacto y conexo , pero no simplemente conexo . También es un grupo semisimple , de hecho un grupo simple con la excepción de SO(4). ^{[ 16 ]} La relevancia de esto es que todos los teoremas y toda la maquinaria de la teoría de variedades analíticas (las variedades analíticas son en particular variedades diferenciables ) se aplican y la teoría de representación bien desarrollada de grupos semisimples compactos está lista para usarse.

Álgebra de Lie

El álgebra de Lie $so (n)$ de $SO(n)$ viene dada por ${\mathfrak {so}}(n)={\mathfrak {o}}(n)=\left\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X=-X^{\mathsf {T}}\right\},$ y es el espacio de matrices antisimétricas de dimensión $n$ , véase el grupo clásico , donde $o (n)$ es el álgebra de Lie de $O(n)$ , el grupo ortogonal . Como referencia, la base más común para $que (3)$ sea $L_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad L_{\mathbf {z} }={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

Mapa exponencial

Conectando el álgebra de Lie con el grupo de Lie está el mapa exponencial , que se define usando la serie exponencial matricial estándar para $e A$ ^{[ 17 ]} Para cualquier matriz antisimétrica $A$ , $exp(A)$ es siempre una matriz de rotación. ^{[ nb 3 ]}

Un ejemplo práctico importante es el caso 3 × 3. En el grupo de rotación SO(3) , se muestra que se puede identificar cada $A \in so (3)$ con un vector de Euler $ω = θ u$ , donde $u = (x, y, z)$ es un vector de magnitud unitaria.

Por las propiedades de la identificación $\mathbf {su} (2)\cong \mathbb {R} ^{3}$ , $u$ está en el espacio nulo de $A.$ Por lo tanto, $u$ queda invariante por $exp(A)$ y es, por consiguiente, un eje de rotación.

Según la fórmula de rotación de Rodrigues en forma matricial , se obtiene:

${\begin{aligned}\exp(A)&=\exp {\bigl (}\theta (\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ){\bigr )}\\&=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{bmatrix}}\right)\\&=I+\sin \theta \ \mathbf {u} \cdot \mathbf {L} +(1-\cos \theta )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} )^{2},\end{aligned}}$

dónde

\mathbf {u} \cdot \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}.

Esta es la matriz para una rotación alrededor del eje $u$ por el ángulo $θ$ . Para obtener más detalles, consulte el mapa exponencial SO(3) .

Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

La fórmula BCH proporciona una expresión explícita para $Z = log(e X e Y)$ en términos de una expansión en serie de conmutadores anidados de $X$ e $Y$ . ^{[ 18 ]} Esta expansión general se desarrolla como ^{[ nb 4 ]} $Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}X,[X,Y]{\bigr ]}-{\tfrac {1}{12}}{\bigl [}Y,[X,Y]{\bigr ]}+\cdots .$

En el caso 3 × 3 , la expansión infinita general tiene una forma compacta, ^{[ 19 ]} $Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],$ para coeficientes de funciones trigonométricas adecuados, detallados en la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para SO(3) .

Como identidad de grupo, lo anterior se cumple para todas las representaciones fieles , incluyendo el doblete (representación espinorial), que es más simple. La misma fórmula explícita se deduce directamente a través de matrices de Pauli; véase la derivación de 2 × 2 para SU(2) . Para el caso general $n \times n$ , se podría usar la Ref. ^{[ 20 ].}

Grupo de espín

El grupo de Lie de matrices de rotación $n \times n$ $, SO(n)$ , no es simplemente conexo , por lo que la teoría de Lie nos dice que es una imagen homomórfica de un grupo de recubrimiento universal . A menudo, el grupo de recubrimiento, que en este caso se denomina grupo de espín y se denota por $Spin(n)$ , es más sencillo y natural para trabajar con él. ^{[ 21 ]}

En el caso de rotaciones planas, SO(2) es topológicamente un círculo , $S 1$ . Su grupo de recubrimiento universal, Spin(2), es isomorfo a la recta real , $R$ , bajo la suma. Siempre que se utilizan ángulos de magnitud arbitraria se aprovecha la conveniencia del recubrimiento universal. Toda matriz de rotación de 2 × 2 se produce mediante una infinidad numerable de ángulos, separados por múltiplos enteros de 2 $π$ . Correspondientemente, el grupo fundamental de $SO(2)$ es isomorfo a los enteros, $Z$ .

En el caso de rotaciones espaciales, SO(3) es topológicamente equivalente al espacio proyectivo real tridimensional , $RP 3$ . Su grupo de recubrimiento universal, Spin(3), es isomorfo a la 3-esfera , $S 3$ . Toda matriz de rotación de 3 × 3 se produce mediante dos puntos opuestos en la esfera. Correspondientemente, el grupo fundamental de SO(3) es isomorfo al grupo de dos elementos, $Z 2$ .

También podemos describir Spin(3) como isomorfo a cuaterniones de norma unitaria bajo la multiplicación, o a ciertas matrices reales de 4 × 4 , o a matrices unitarias especiales complejas de 2 × 2 , a saber, SU(2). Los mapas de recubrimiento para el primer y último caso vienen dados por $\mathbb {H} \supset \{q\in \mathbb {H$ y $\mathrm {SU} (2)\ni {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{bmatrix}}\in \mathrm {SO} (3).$

Para una descripción detallada del recubrimiento SU(2) y el recubrimiento cuaterniónico, consulte el grupo de espín SO(3) .

Muchas características de estos casos son las mismas para dimensiones superiores. Los recubrimientos son todos de dos a uno, con $SO(n)$ , $n > 2$ , teniendo grupo fundamental $Z2 .$ El entorno natural para estos grupos es dentro de un álgebra de Clifford . Un tipo de acción de las rotaciones se produce mediante una especie de "sándwich", denotado por $qvq *$ . Más importante aún en aplicaciones a la física, la representación de espín correspondiente del álgebra de Lie se encuentra dentro del álgebra de Clifford. Se puede exponenciar de la forma habitual para dar lugar a una representación bivaluada , también conocida como representación proyectiva del grupo de rotación. Este es el caso con SO(3) y SU(2), donde la representación bivaluada puede verse como una "inversa" del mapa de recubrimiento. Por propiedades de los mapas de recubrimiento, la inversa puede elegirse de uno a uno como una sección local, pero no globalmente.

rotaciones infinitesimales

Las matrices en el álgebra de Lie no son rotaciones en sí mismas; las matrices antisimétricas son derivadas, diferencias proporcionales de rotaciones. Una "rotación diferencial" real, o matriz de rotación infinitesimal, tiene la forma $I+A\,d\theta ,$ donde $dθ$ es infinitesimalmente pequeño y $A \in so (n)$ , por ejemplo con $A = L x$ , $dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.$

Las reglas de cálculo son las habituales, salvo que los infinitesimales de segundo orden se descartan sistemáticamente. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finita ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. ^{[ 22 ]} Resulta que el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante . Para ver un ejemplo de esto, consulte rotaciones infinitesimales SO(3) .

Conversiones

Hemos visto la existencia de varias descomposiciones que se aplican en cualquier dimensión, a saber, planos independientes, ángulos secuenciales y dimensiones anidadas. En todos estos casos, podemos descomponer una matriz o construirla. También hemos prestado especial atención a las matrices de rotación de 3 × 3 , las cuales merecen un análisis más profundo, en ambas direcciones ( Stuelpnagel 1964 ) .

Cuaternio

Dado el cuaternión unitario $q = w + x i + y j + z k$ , la matriz de rotación equivalente pre-multiplicada (para ser utilizada con vectores columna) de 3 × 3 es ^{[ 23 ]} $Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.$

Ahora, cada componente del cuaternión aparece multiplicado por dos en un término de grado dos, y si todos esos términos son cero, lo que queda es una matriz identidad. Esto conduce a una conversión eficiente y robusta de cualquier cuaternión, ya sea unitario o no unitario, a una matriz de rotación de 3 × 3. Dado: ${\begin{aligned}n&=w\times w+x\times x+y\times y+z\times z\\s&={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0\\{\frac {2}{n}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\\end{aligned}}$ podemos calcular $Q={\begin{bmatrix}1-s(yy+zz)&s(xy-wz)&s(xz+wy)\\s(xy+wz)&1-s(xx+zz)&s(yz-wx)\\s(xz-wy)&s(yz+wx)&1-s(xx+yy)\end{bmatrix}}$

Al prescindir de la necesidad de un cuaternión unitario, observamos que los cuaterniones distintos de cero actúan como coordenadas homogéneas para matrices de rotación de 3 × 3. La transformada de Cayley, mencionada anteriormente, se obtiene escalando el cuaternión de modo que su componente $w$ sea igual a 1. Para una rotación de 180° alrededor de cualquier eje, $w$ será cero, lo que explica la limitación de Cayley.

La suma de las entradas a lo largo de la diagonal principal (la traza ), más uno, es igual a $4 - 4(x 2 + y 2 + z 2)$ , que es $4 w 2$ . Por lo tanto, podemos escribir la traza misma como $2 w 2 + 2 w 2 - 1$ ; y de la versión anterior de la matriz vemos que las entradas de la diagonal tienen la misma forma: $2 x 2 + 2 w 2 - 1$ , $2 y 2 + 2 w 2 - 1$ , y $2 z 2 + 2 w 2 - 1$ . Así que podemos comparar fácilmente las magnitudes de los cuatro componentes del cuaternión usando la diagonal de la matriz. De hecho, podemos obtener las cuatro magnitudes usando sumas y raíces cuadradas, y elegir signos consistentes usando la parte antisimétrica de las entradas fuera de la diagonal: ${\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\quad ({\text{the trace of }}Q)\\r&={\sqrt {1+t}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\operatorname {sgn} \left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\y&=\operatorname {sgn} \left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}+Q_{yy}-Q_{zz}}}\right|\\z&=\operatorname {sgn} \left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)\left|{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1-Q_{xx}-Q_{yy}+Q_{zz}}}\right|\end{aligned}}$

Como alternativa, utilice una sola raíz cuadrada y una división. ${\begin{aligned}t&=\operatorname {tr} Q=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\r&={\sqrt {1+t}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&={\tfrac {1}{2}}r\\x&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\y&=\left(Q_{xz}-Q_{zx}\right)s\\z&=\left(Q_{yx}-Q_{xy}\right)s\end{aligned}}$

Esto es numéricamente estable siempre que la traza, $t$ , no sea negativa; de lo contrario, corremos el riesgo de dividir por (casi) cero. En ese caso, supongamos que $Q xx$ es la entrada diagonal más grande, por lo que $x$ tendrá la magnitud más grande (los otros casos se derivan por permutación cíclica); entonces lo siguiente es seguro. ${\begin{aligned}r&={\sqrt {1+Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}}}\\s&={\tfrac {1}{2r}}\\w&=\left(Q_{zy}-Q_{yz}\right)s\\x&={\tfrac {1}{2}}r\\y&=\left(Q_{xy}+Q_{yx}\right)s\\z&=\left(Q_{zx}+Q_{xz}\right)s\end{aligned}}$

Si la matriz contiene un error significativo, como un error numérico acumulado, podemos construir una matriz simétrica de 4 × 4 , $K={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}Q_{xx}-Q_{yy}-Q_{zz}&Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}-Q_{yz}\\Q_{yx}+Q_{xy}&Q_{yy}-Q_{xx}-Q_{zz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}\\Q_{zx}+Q_{xz}&Q_{zy}+Q_{yz}&Q_{zz}-Q_{xx}-Q_{yy}&Q_{yx}-Q_{xy}\\Q_{zy}-Q_{yz}&Q_{xz}-Q_{zx}&Q_{yx}-Q_{xy}&Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\end{bmatrix}},$ y hallar el vector propio , $(x, y, z, w)$ , de su valor propio de mayor magnitud. (Si $Q$ es realmente una matriz de rotación, ese valor será 1). El cuaternión así obtenido corresponderá a la matriz de rotación más cercana a la matriz dada ( Bar-Itzhack 2000 ) (Nota: la formulación del artículo citado está postmultiplicada, funciona con vectores fila).

descomposición polar

Si la matriz $M$ $de n \times n$ es no singular, sus columnas son vectores linealmente independientes; por lo tanto, el proceso de Gram-Schmidt puede ajustarlos para que formen una base ortonormal. En términos de álgebra lineal numérica , convertimos $M$ en una matriz ortogonal, $Q$ , mediante la descomposición QR . Sin embargo, a menudo preferimos una $Q$ lo más cercana posible a $M$ , lo cual este método no logra. Para ello, la herramienta que necesitamos es la descomposición polar ( Fan y Hoffman, 1955 ; Higham, 1989 ).

Para medir la proximidad, podemos usar cualquier norma matricial invariante bajo transformaciones ortogonales. Una opción conveniente es la norma de Frobenius , $‖ Q - M ‖ F$ , al cuadrado, que es la suma de los cuadrados de las diferencias de los elementos. Escribiendo esto en términos de la traza , $Tr$ , nuestro objetivo es:

Hallar

Q

minimizando

Tr( (Q - M) T (Q - M) )

, sujeto a

Q T Q = I

.

Aunque expresada en términos matriciales, la función objetivo es simplemente un polinomio cuadrático. Podemos minimizarla de la forma habitual, encontrando el punto donde su derivada es cero. Para una matriz de 3 × 3 , la restricción de ortogonalidad implica seis igualdades escalares que deben satisfacer las entradas de $Q.$ Para incorporar la(s) restricción(es), podemos emplear una técnica estándar: los multiplicadores de Lagrange , ensamblados como una matriz simétrica, $Y.$ Por lo tanto, nuestro método es:

Derivar

Tr( (Q - M) T (Q - M) + (Q T Q - I) Y)

con respecto a (las entradas de)

Q

, e igualar a cero.

Consideremos un ejemplo de 2 × 2. Incluyendo restricciones, buscamos minimizar ${\begin{aligned}&\left(Q_{xx}-M_{xx}\right)^{2}+\left(Q_{xy}-M_{xy}\right)^{2}+\left(Q_{yx}-M_{yx}\right)^{2}+\left(Q_{yy}-M_{yy}\right)^{2}\\&\quad {}+\left(Q_{xx}^{2}+Q_{yx}^{2}-1\right)Y_{xx}+\left(Q_{xy}^{2}+Q_{yy}^{2}-1\right)Y_{yy}+2\left(Q_{xx}Q_{xy}+Q_{yx}Q_{yy}\right)Y_{xy}.\end{aligned}}$

Tomando la derivada con respecto a $Q xx$ , $Q xy$ , $Q yx$ , $Q yy$ sucesivamente, construimos una matriz. $2{\begin{bmatrix}Q_{xx}-M_{xx}+Q_{xx}Y_{xx}+Q_{xy}Y_{xy}&Q_{xy}-M_{xy}+Q_{xx}Y_{xy}+Q_{xy}Y_{yy}\\Q_{yx}-M_{yx}+Q_{yx}Y_{xx}+Q_{yy}Y_{xy}&Q_{yy}-M_{yy}+Q_{yx}Y_{xy}+Q_{yy}Y_{yy}\end{bmatrix}}$

En general, obtenemos la ecuación $0=2(Q-M)+2QY,$ de modo que $M=Q(I+Y)=QS,$ donde $Q$ es ortogonal y $S$ es simétrica. Para asegurar un mínimo, la matriz $Y (y por lo tanto$ $S$ ) debe ser definida positiva. El álgebra lineal llama $QS$ la descomposición polar de $M$ , con $S$ la raíz cuadrada positiva de $S 2 = M T M$ . $S^{2}=\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)^{\mathsf {T}}\left(Q^{\mathsf {T}}M\right)=M^{\mathsf {T}}QQ^{\mathsf {T}}M=M^{\mathsf {T}}M$

Cuando $M$ es no singular , los factores $Q$ y $S de la descomposición polar están determinados de forma única. Sin embargo, el determinante de$ $S$ es positivo porque $S$ es definida positiva, por lo que $Q$ hereda el signo del determinante de $M.$ Es decir, $Q$ solo tiene garantizada la ortogonalidad, no la de una matriz de rotación. Esto es inevitable; una $M$ con determinante negativo no tiene una matriz de rotación más cercana definida de forma única.

Eje y ángulo

Para construir eficientemente una matriz de rotación $Q$ a partir de un ángulo $θ$ y un eje unitario $u$ , podemos aprovechar la simetría y la antisimetría dentro de las entradas. Si $x$ , $y$ y $z$ son las componentes del vector unitario que representa el eje, y

${\begin{aligned}c&=\cos \theta \\s&=\sin \theta \\C&=1-c\end{aligned}}$

entonces

$Q(\theta )={\begin{bmatrix}xxC+c&xyC-zs&xzC+ys\\yxC+zs&yyC+c&yzC-xs\\zxC-ys&zyC+xs&zzC+c\end{bmatrix}}$

Determinar un eje y un ángulo, como determinar un cuaternión, solo es posible hasta el signo; es decir, $(u, θ)$ y $(- u, - θ)$ corresponden a la misma matriz de rotación, al igual que $q$ y $- q$ . Además, la extracción de eje-ángulo presenta dificultades adicionales. El ángulo puede restringirse a ser de 0° a 180°, pero los ángulos son formalmente ambiguos por múltiplos de 360°. Cuando el ángulo es cero, el eje no está definido. Cuando el ángulo es 180°, la matriz se vuelve simétrica, lo que tiene implicaciones en la extracción del eje. Cerca de múltiplos de 180°, se necesita cuidado para evitar problemas numéricos: en la extracción del ángulo, una arcotangente de dos argumentos con $atan2 (sin θ, cos θ)$ igual a $θ$ evita la insensibilidad de arccos; y al calcular la magnitud del eje para forzar la magnitud unitaria, un enfoque de fuerza bruta puede perder precisión debido al desbordamiento ( Moler y Morrison 1983 ) .

Un enfoque parcial es el siguiente:

${\begin{aligned}x&=Q_{zy}-Q_{yz}\\y&=Q_{xz}-Q_{zx}\\z&=Q_{yx}-Q_{xy}\\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\t&=Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}\\\theta &=\operatorname {atan2} (r,t-1)\end{aligned}}$

Las componentes $x$ , $y$ y $z$ del eje se dividirían entonces por $r$ . Un enfoque totalmente robusto utilizará un algoritmo diferente cuando $t$ , la traza de la matriz $Q$ , sea negativa, como en la extracción de cuaterniones. Cuando $r$ es cero porque el ángulo es cero, se debe proporcionar un eje desde alguna fuente distinta a la matriz.

ángulos de Euler

La complejidad de la conversión aumenta con los ángulos de Euler (utilizados aquí en sentido amplio). La primera dificultad es establecer cuál de las veinticuatro variaciones del orden de los ejes cartesianos utilizaremos. Supongamos que los tres ángulos son $θ 1$ , $θ 2$ , $θ 3$ ; la física y la química pueden interpretarlos como $Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{1})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3}),$ mientras que la dinámica de las aeronaves puede utilizar $Q(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})=Q_{\mathbf {z} }(\theta _{3})Q_{\mathbf {y} }(\theta _{2})Q_{\mathbf {x} }(\theta _{1}).$ Un enfoque sistemático comienza con la elección del eje más a la derecha. Entre todas las permutaciones de $(x, y, z)$ , solo dos colocan ese eje en primer lugar; una es una permutación par y la otra impar. Por lo tanto, al elegir la paridad se establece el eje central. Esto deja dos opciones para el eje más a la izquierda: duplicar el primero o no. Estas tres opciones nos dan 3 × 2 × 2 = 12 variaciones; duplicamos esa cantidad a 24 al elegir ejes estáticos o rotatorios.

Esto es suficiente para construir una matriz a partir de ángulos, pero tríos que difieren en muchos aspectos pueden dar la misma matriz de rotación. Por ejemplo, supongamos que usamos la convención $zyz$ anterior; entonces tenemos los siguientes pares equivalentes:

Los ángulos para cualquier orden se pueden encontrar utilizando una rutina común concisa ( Herter y Lott 1993 ; Shoemake 1994 ).

El problema de la alineación singular, el análogo matemático del bloqueo de cardán físico , se produce cuando la rotación intermedia alinea los ejes de la primera y la última rotación. Afecta a todos los órdenes de ejes en múltiplos pares o impares de 90°. Estas singularidades no son características de la matriz de rotación en sí, y solo se presentan al utilizar ángulos de Euler.

Las singularidades se evitan al considerar y manipular la matriz de rotación como vectores fila ortonormales (en aplicaciones 3D, a menudo denominados vector derecha, vector arriba y vector afuera) en lugar de como ángulos. Las singularidades también se evitan al trabajar con cuaterniones.

Formulación de vector a vector

En algunos casos es interesante describir una rotación especificando cómo un vector se transforma en otro a través del camino más corto (ángulo más pequeño). $\mathbb {R} ^{3}$ Esto describe completamente la matriz de rotación asociada. En general, dado $x,y\in \mathbb {S} ^{n}$ , la matriz $R:=I+yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}+{\frac {1}{1+\langle x,y\rangle }}\left(yx^{\mathsf {T}}-xy^{\mathsf {T}}\right)^{2}$ pertenece a $SO(n + 1)$ y mapea $x$ a $y$ . ^{[ 24 ]}

notación de Voigt

En ciencia de materiales , los tensores de rigidez y compliancia de cuatro dimensiones a menudo se simplifican a una matriz bidimensional utilizando la notación de Voigt . Al aplicar una transformación rotacional a través del ángulo $\theta$ En esta notación, la matriz de rotación viene dada por ^{[ 25 ].}

$T={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta &\sin ^{2}\theta &2\sin \theta \cos \theta \\\sin ^{2}\theta &\cos ^{2}\theta &2\sin \theta \cos \theta \\-\sin \theta \cos \theta &\sin \theta \cos \theta &\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$

Esto resulta especialmente útil en el diseño de laminados compuestos , donde las capas a menudo se giran en un cierto ángulo para que las propiedades del laminado se aproximen a las isotrópicas .

matrices de rotación aleatoria uniforme

A veces necesitamos generar una matriz de rotación aleatoria con distribución uniforme. En dos dimensiones, parece intuitivamente claro que esto significa que el ángulo de rotación se distribuye uniformemente entre 0 y 2π $.$ Esa intuición es correcta, pero no se extiende a dimensiones superiores. Por ejemplo, si descomponemos matrices $de$ rotación de 3 × 3 en forma de eje-ángulo, el ángulo no debería tener una distribución uniforme; la probabilidad de que (la magnitud de) el ángulo sea como máximo $θ$ debería ser $1$ $/$ $π$ $($ $θ$ $- sen$ $θ$ $)$ , para $0 \leq$ $θ$ $\leq$ $π$ .

Dado que $SO(n)$ es un grupo de Lie conexo y localmente compacto, disponemos de un criterio estándar sencillo para la uniformidad: que la distribución permanezca inalterada al combinarla con cualquier rotación arbitraria (una "traslación" del grupo de Lie). Esta definición corresponde a lo que se denomina medida de Haar . León, Massé y Rivest (2006) muestran cómo utilizar la transformada de Cayley para generar y contrastar matrices según este criterio.

También podemos generar una distribución uniforme en cualquier dimensión utilizando el algoritmo de subgrupos de Diaconis y Shahshahani (1987) . Este explota recursivamente la estructura de grupo de dimensiones anidadas de $SO(n)$ , como sigue. Generar un ángulo uniforme y construir una matriz de rotación de 2 × 2. Para pasar de $n$ a $n + 1$ , generar un vector $v$ distribuido uniformemente en la $n$ -esfera $S n$ , incrustar la matriz $n \times n$ en el siguiente tamaño mayor con la última columna (0, ..., 0, 1) , y rotar la matriz más grande de modo que la última columna se convierta en $v$ .

Como es habitual, contamos con alternativas especiales para el caso de 3 × 3. Cada uno de estos métodos parte de tres escalares aleatorios independientes distribuidos uniformemente en el intervalo unitario. Arvo (1992) aprovecha la dimensión impar para transformar una reflexión de Householder en una rotación por negación, y la utiliza para orientar el eje de una rotación plana uniforme.

Otro método utiliza cuaterniones unitarios. La multiplicación de matrices de rotación es homomorfa a la multiplicación de cuaterniones, y la multiplicación por un cuaternión unitario rota la esfera unitaria. Dado que el homomorfismo es una isometría local , concluimos inmediatamente que para producir una distribución uniforme en SO(3) podemos usar una distribución uniforme en $S3$ $.$ En la práctica: creamos un vector de cuatro elementos donde cada elemento es una muestra de una distribución normal. Normalizamos su longitud y obtenemos un cuaternión unitario aleatorio muestreado uniformemente que representa una rotación aleatoria muestreada uniformemente. Nótese que lo anterior solo se aplica a rotaciones en dimensión 3. Para una idea generalizada de los cuaterniones, se debe consultar Rotors .

También se pueden utilizar los ángulos de Euler, aunque no con cada ángulo distribuido uniformemente ( Murnaghan 1962 ; Miles 1965 ).

Para la forma eje-ángulo, el eje está distribuido uniformemente sobre la esfera unitaria de direcciones, $S 2$ , mientras que el ángulo tiene la distribución no uniforme sobre [0, $π$ ] señalada anteriormente ( Miles 1965 ) .

Véase también

Observaciones

↑ Nótese que si, en lugar de rotar vectores, se rota el sistema de referencia, los signos de los $términos sen θ$ se invertirán. Si el sistema de referencia A se rota en sentido antihorario alrededor del origen un ángulo $θ$ para crear el sistema de referencia B, entonces $R x$ (con los signos invertidos) transformará un vector descrito en coordenadas del sistema de referencia A a coordenadas del sistema de referencia B. Las transformaciones de sistemas de coordenadas en la industria aeroespacial, la robótica y otros campos se realizan a menudo utilizando esta interpretación de la matriz de rotación.
↑ Tenga en cuenta que $\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ={\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}+{\mathbf {I} }$ de modo que, en la notación de Rodrigues, equivalentemente, $\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta ){\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}.$
↑ Nótese que este mapeo exponencial de matrices antisimétricas a matrices de rotación es bastante diferente de la transformación de Cayley discutida anteriormente, difiriendo hasta el tercer orden, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\tfrac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} \left(A^{4}\right).$ Por el contrario, una matriz antisimétrica $A$ que especifica una matriz de rotación a través del mapa de Cayley especifica la misma matriz de rotación a través del mapa $exp(2 artanh A)$ .
↑ Para una derivación detallada, véase Derivada de la aplicación exponencial . Aquí se obvian las cuestiones de convergencia de esta serie al elemento derecho del álgebra de Lie. La convergencia está garantizada cuando $‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2$ y $‖ Z ‖ < log 2.$ Si estas condiciones no se cumplen, la serie aún puede converger. Siempre existe una solución, ya que $exp$ es sobreyectivaen los casos considerados.

Notas

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Enlaces externos

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Matrices de rotación en Mathworld
Demostración interactiva del Mes de la Concienciación Matemática 2000 (requiere Java )
Matrices de rotación en MathPages
(en italiano) Una parametrización de SOn(R) mediante ángulos de Euler generalizados
Rotación alrededor de cualquier punto

[4] Nótese que si, en lugar de rotar vectores, se rota el sistema de referencia, los signos de los $términos sen θ$ se invertirán. Si el sistema de referencia A se rota en sentido antihorario alrededor del origen un ángulo $θ$ para crear el sistema de referencia B, entonces $R x$ (con los signos invertidos) transformará un vector descrito en coordenadas del sistema de referencia A a coordenadas del sistema de referencia B. Las transformaciones de sistemas de coordenadas en la industria aeroespacial, la robótica y otros campos se realizan a menudo utilizando esta interpretación de la matriz de rotación.

[16] Tenga en cuenta que $\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ={\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}+{\mathbf {I} }$ de modo que, en la notación de Rodrigues, equivalentemente, $\mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )[\mathbf {u} ]_{\times }+(1-\cos \theta ){\bigl (}[\mathbf {u} ]_{\times }{\bigr )}^{2}.$

[20] Nótese que este mapeo exponencial de matrices antisimétricas a matrices de rotación es bastante diferente de la transformación de Cayley discutida anteriormente, difiriendo hasta el tercer orden, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\tfrac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} \left(A^{4}\right).$ Por el contrario, una matriz antisimétrica $A$ que especifica una matriz de rotación a través del mapa de Cayley especifica la misma matriz de rotación a través del mapa $exp(2 artanh A)$ .

[22] Para una derivación detallada, véase Derivada de la aplicación exponencial . Aquí se obvian las cuestiones de convergencia de esta serie al elemento derecho del álgebra de Lie. La convergencia está garantizada cuando $‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2$ y $‖ Z ‖ < log 2.$ Si estas condiciones no se cumplen, la serie aún puede converger. Siempre existe una solución, ya que $exp$ es sobreyectivaen los casos considerados.

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