notación de Voigt

En matemáticas , la notación de Voigt o forma de Voigt en álgebra multilineal es una forma de representar un tensor simétrico reduciendo su orden. ^{[ 1 ]} Existen algunas variantes y nombres asociados para esta idea: la notación de Mandel , la notación de Mandel-Voigt y la notación de Nye son otras que se encuentran. La notación de Kelvin es una recuperación por Helbig ^{[ 2 ]} de antiguas ideas de Lord Kelvin . Las diferencias aquí radican en ciertos pesos asociados a las entradas seleccionadas del tensor. La nomenclatura puede variar según lo que sea tradicional en el campo de aplicación. La notación recibe su nombre de los físicos Woldemar Voigt ^{[ 1 ]} y John Nye .

Por ejemplo, un tensor simétrico X de 2 × 2 tiene solo tres elementos distintos: dos en la diagonal y uno fuera de ella. Por lo tanto, su rango se puede reducir expresándolo como un vector sin pérdida de información:

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{12}&x_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{11}\\x_{22}\\x_{12}\end{bmatrix}}.}$$

La notación de Voigt se utiliza en la ciencia de los materiales para simplificar la representación de los tensores de tensión y deformación de rango 2, y de los tensores de rigidez y compliancia de cuarto rango.

Los tensores de tensión y deformación de 3 × 3 en su forma completa se pueden escribir como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad }$y${\displaystyle \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$.

La notación de Voigt utiliza entonces la simetría de estas matrices (${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$y así sucesivamente) para expresarlos en su lugar como un vector de 6 × 1:

${\displaystyle {\underline {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\quad }$y${\displaystyle \quad {\underline {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \gamma _{12}=2\varepsilon _{12}}$,${\displaystyle \gamma _{23}=2\varepsilon _{23}}$, y${\displaystyle \gamma _{13}=2\varepsilon _{13}}$son las deformaciones cortantes de ingeniería.

La ventaja de utilizar diferentes representaciones para la tensión y la deformación es que la invariancia escalar $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}={\underline {\sigma }}\cdot {\underline {\varepsilon }}}$$ se conserva.

Esta notación ahora permite la rigidez simétrica tridimensional de cuarto orden ,${\displaystyle C}$y cumplimiento,${\displaystyle S}$, tensores que se reducirán a matrices de 6 × 6:

$${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Una regla mnemotécnica sencilla para memorizar la notación de Voigt es la siguiente:

• Escriba el tensor de segundo orden en forma matricial (en el ejemplo, el tensor de tensiones).
• Elimina la diagonal
• Continúa en la tercera columna.
• Vuelve al primer elemento de la primera fila.

Los índices de Voigt se numeran consecutivamente desde el punto de inicio hasta el final (en el ejemplo, los números en azul).

El diagrama que aparece a continuación también muestra el orden de los índices: $${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

Para un tensor simétrico de segundo rango $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ Solo seis componentes son distintas, las tres en la diagonal y las demás fuera de la diagonal. Por lo tanto, se puede expresar, en notación de Mandel, ^{[ 3 ]} como el vector $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$$

La principal ventaja de la notación de Mandel es que permite el uso de las mismas operaciones convencionales que se utilizan con vectores, por ejemplo: $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$$

Un tensor simétrico de rango cuatro que satisface${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$y${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$tiene 81 componentes en el espacio tridimensional, pero solo 36 componentes son distintas. Por lo tanto, en notación de Mandel, se puede expresar como $${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$$

Es útil, por ejemplo, en cálculos que involucran modelos constitutivos para simular materiales, como la ley generalizada de Hooke , así como en el análisis de elementos finitos , ^{[ 4 ]} y la resonancia magnética de difusión . ^{[ 5 ]}

La ley de Hooke tiene un tensor de rigidez simétrico de cuarto orden con 81 componentes (3 × 3 × 3 × 3), pero debido a que la aplicación de dicho tensor de rango 4 a un tensor simétrico de rango 2 debe producir otro tensor simétrico de rango 2, no todos los 81 elementos son independientes. La notación de Voigt permite representar dicho tensor de rango 4 mediante una matriz de 6 × 6. Sin embargo, la forma de Voigt no conserva la suma de los cuadrados, que en el caso de la ley de Hooke tiene significado geométrico. Esto explica por qué se introducen pesos (para hacer que el mapeo sea una isometría ).

Una discusión sobre la invariancia de la notación de Voigt y la notación de Mandel se puede encontrar en Helnwein (2001). ^{[ 6 ]}

• Vectorización (matemáticas)
• Ley de Hooke
• Elasticidad lineal#Medios homogéneos anisotrópicos