suma de alícuota

En teoría de números , la suma alícuota s ( n ) de un entero positivo n es la suma de todos los divisores propios de n , es decir, todos los divisores de n distintos de n mismo. Es decir, $${\displaystyle s(n)=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d\,.}$$

Se puede utilizar para caracterizar los números primos , los números perfectos , los números sociables , los números deficientes , los números abundantes y los números intocables , y para definir la secuencia alícuota de un número.

Por ejemplo, los divisores propios de 12 (es decir, los divisores positivos de 12 que no son iguales a 12) son 1, 2, 3, 4 y 6, por lo que la suma de las alícuotas de 12 es 16, es decir ( 1 + 2 + 3 + 4 + 6 ).

Los valores de s ( n ) para n = 1, 2, 3, ... son:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (secuencia A001065 en el OEIS )

La función de suma de alícuotas se puede utilizar para caracterizar varias clases notables de números:

• 1 es el único número cuya suma de alícuotas es 0.
• Un número es primo si y solo si la suma de sus alícuotas es 1. ^{[ 1 ]}
• Las sumas de alícuotas de los números perfectos , deficientes y abundantes son iguales, menores y mayores que el número mismo, respectivamente. ^{[ 1 ]} Los números cuasiperfectos (si existen tales números) son los números n cuyas sumas de alícuotas son iguales a n + 1. Los números casi perfectos (que incluyen las potencias de 2, siendo los únicos números de este tipo conocidos hasta ahora) son los números n cuyas sumas de alícuotas son iguales a n − 1 .
• Los números intocables son aquellos que no son la suma alícuota de ningún otro número. Su estudio se remonta al menos a Abu Mansur al-Baghdadi (alrededor del año 1000 d. C.), quien observó que tanto el 2 como el 5 son intocables. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Paul Erdős demostró que su número es infinito. ^{[ 3 ]} La conjetura de que el 5 es el único número intocable impar permanece sin probar, pero se derivaría de una forma de la conjetura de Goldbach junto con la observación de que, para un número semiprimo pq , la suma alícuota es p + q + 1. ^{[ 1 ]}

Los matemáticos Pollack y Pomerance (2016) señalaron que uno de los "temas de investigación favoritos" de Erdős era la función de suma de alícuotas.

La iteración de la función de suma de alícuotas produce la secuencia de alícuotas n , s ( n ), s ( s ( n )), … de un entero no negativo n (en esta secuencia, definimos s (0) = 0 ).

Los números sociables son aquellos cuya secuencia de alícuotas es una secuencia periódica . Los números amigables son aquellos cuya secuencia de alícuotas tiene un período de 2.

Se desconoce si estas secuencias siempre terminan con un número primo , un número perfecto o una secuencia periódica de números sociables. ^{[ 4 ]}

• Función de suma de divisores positivos , la suma de las ( x -ésimas potencias de) divisores positivos de un número.
• Guillermo de Auberive , numerólogo medieval interesado en sumas de alícuotas.

• Weisstein, Eric W. "Función divisora ​​restringida" . MathWorld .