Estructura G en una variedad

En geometría diferencial , una estructura G en un $n$ - colector $M$ , para un grupo de estructura dado ^{[ 1 ]} $G$ , es un director $G$ - subhaz del haz del marco tangente ${\text{F}}M$ (o $\operatorname {GL} (M)$ ) de $M$ .

La noción de $G$ Las estructuras incluyen diversas estructuras clásicas que pueden definirse en variedades, que en algunos casos son campos tensoriales . Por ejemplo, para el grupo ortogonal , un $\operatorname {O} (n)$ -estructura define una métrica riemanniana y para el grupo lineal especial una $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$ La estructura es lo mismo que una forma de volumen . Para el grupo trivial , un $\{e\}$ -La estructura consiste en un paralelismo absoluto de la variedad.

Generalizando esta idea a haces principales arbitrarios en espacios topológicos, uno puede preguntarse si un haz principal $G$ -agrupar un grupo $G$ "proviene de" un subgrupo $H$ de $G$ . Esto se denomina reducción del grupo de estructura (a $H$ ).

Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja , una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son $G$ -estructuras con una condición de integrabilidad adicional .

Reducción del grupo estructural

Uno puede preguntarse si un director $G$ -agrupar un grupo $G$ "proviene de" un subgrupo $H$ de $G$ . Esto se denomina reducción del grupo de estructura (a $H$ ), y tiene sentido para cualquier mapa $H\to G$ , que no tiene por qué ser un mapa de inclusión (a pesar de la terminología).

Definición

A continuación, dejemos $X$ ser un espacio topológico , $G,H$ grupos topológicos y $\phi \colon H\to G$ un homomorfismo de grupo.

En términos de paquetes concretos

Dado un principal $G$ -manojo $P$ encima $X$ , una reducción del grupo de estructura (de $G$ a $H$ ) es un $H$ -manojo $Q$ y un isomorfismo $\phi _{Q}\colon Q\times _{H}G\to P$ del paquete asociado al paquete original.

En términos de clasificación de espacios

Dado un mapa $\pi \colon X\to BG$ , dónde $BG$ es el espacio de clasificación para $G$ -paquetes, una reducción del grupo de estructura es un mapa $\pi _{Q}\colon X\to BH$ y una homotopía $\phi _{Q}\colon B\phi \circ \pi _{Q}\to \pi$ .

Propiedades y ejemplos

Las reducciones del grupo de estructura no siempre existen. Si existen, por lo general no son esencialmente únicas, ya que el isomorfismo $\phi$ es una parte importante de los datos.

Como ejemplo concreto, todo espacio vectorial real de dimensión par es isomorfo al espacio real subyacente de un espacio vectorial complejo: admite una estructura compleja lineal . Un fibrado vectorial real admite una estructura casi compleja si y solo si es isomorfo al fibrado real subyacente de un fibrado vectorial complejo. Esto es entonces una reducción a lo largo de la inclusión GL ( n , C ) → GL (2 n , R ).

En términos de mapas de transición , un fibrado G puede reducirse si y solo si los mapas de transición pueden tomarse para tener valores en H. Nótese que el término reducción es engañoso: sugiere que H es un subgrupo de G , lo cual suele ser el caso, pero no necesariamente (por ejemplo, para estructuras de espín ): se denomina propiamente levantamiento .

De forma más abstracta, " G -fibrados sobre X " es un functor ^{[ 2 ]} en G : dado un homomorfismo de grupos de Lie H → G , se obtiene un mapeo de H -fibrados a G -fibrados mediante inducción (como se indicó anteriormente). La reducción del grupo de estructura de un G - fibrado B consiste en elegir un H -fibrado cuya imagen sea B.

La aplicación inductora de fibrados H a fibrados G no es, en general, ni sobreyectiva ni biyectiva, por lo que el grupo de estructura no siempre se puede reducir, y cuando se puede, esta reducción no tiene por qué ser única. Por ejemplo, no toda variedad es orientable , y aquellas que sí lo son admiten exactamente dos orientaciones.

Si H es un subgrupo cerrado de G , entonces existe una correspondencia biunívoca natural entre las reducciones de un fibrado de G, B, a H y las secciones globales del fibrado B / H obtenidas al cocientear B por la acción derecha de H. Específicamente, la fibración B → B / H es un fibrado principal ^de H sobre B / H . Si σ : X → B / H es una sección, entonces el fibrado de retroceso B _H = σ ⁻¹B es una reducción de B. [ ^{3 ]}

Estructuras G

Cada haz vectorial de dimensión $n$ tiene un canónico $GL(n)$ -fibrado, el fibrado de marcos . En particular, toda variedad lisa tiene un fibrado vectorial canónico, el fibrado tangente . Para un grupo de Lie $G$ y un homomorfismo de grupo $\phi \colon G\to GL(n)$ , a $G$ -La estructura es una reducción del grupo de estructuras del haz de marcos a $G$ .

Ejemplos

Los siguientes ejemplos están definidos para haces vectoriales reales , en particular el haz tangente de una variedad diferenciable .

Alguno $G$ -estructuras se definen en términos de otras: Dada una métrica riemanniana en una variedad orientada, una $G$ -estructura para la doble cubierta ${\mbox{Spin}}(n)\to {\mbox{SO}}(n)$ es una estructura de espín . (Nótese que el homomorfismo de grupos aquí no es una inclusión).

Paquetes principales

Aunque la teoría de los haces principales juega un papel importante en el estudio de las G -estructuras, ambas nociones son diferentes. Una G -estructura es un subhaz principal del haz de marcos tangentes , pero el hecho de que el haz de la G -estructura esté compuesto por marcos tangentes se considera parte de los datos. Por ejemplo, consideremos dos métricas riemannianas en R ⁿ . Las O( n )-estructuras asociadas son isomorfas si y solo si las métricas son isométricas. Pero, dado que R ⁿ es contraíble, los O( n )-haces subyacentes siempre serán isomorfos como haces principales porque los únicos haces sobre espacios contraíbles son haces triviales.

Esta diferencia fundamental entre las dos teorías puede captarse al proporcionar un dato adicional sobre el fibrado G subyacente de una estructura G : la forma de soldadura . La forma de soldadura es lo que vincula el fibrado principal subyacente de la estructura G con la geometría local de la variedad misma, al especificar un isomorfismo canónico del fibrado tangente de M a un fibrado vectorial asociado . Si bien la forma de soldadura no es una forma de conexión , a veces puede considerarse un precursor de la misma.

En detalle, supongamos que Q es el fibrado principal de una G -estructura. Si Q se realiza como una reducción del fibrado marco de M , entonces la forma de soldadura viene dada por el retroceso de la forma tautológica del fibrado marco a lo largo de la inclusión. Abstractamente, si se considera Q como un fibrado principal independientemente de su realización como una reducción del fibrado marco, entonces la forma de soldadura consiste en una representación ρ de G en R ⁿ y un isomorfismo de fibrados θ : TM → Q × _ρ R ⁿ .

Condiciones de integrabilidad y estructuras G planas

Varias estructuras en variedades, como una estructura compleja, una estructura simpléctica o una estructura de Kähler , son G- estructuras (y, por lo tanto, pueden estar obstruidas), pero necesitan satisfacer una condición de integrabilidad adicional . Sin la condición de integrabilidad correspondiente, la estructura se denomina estructura "casi", como en una estructura casi compleja , una estructura casi simpléctica o una estructura casi de Kähler .

Específicamente, una estructura de variedad simpléctica es un concepto más fuerte que una G -estructura para el grupo simpléctico . Una estructura simpléctica en una variedad es una 2-forma ω en M que no es degenerada (que es una $Sp$ -estructura, o estructura casi simpléctica), junto con la condición adicional de que d ω = 0; esta última se denomina condición de integrabilidad .

De manera similar, las foliaciones corresponden a G -estructuras provenientes de matrices de bloques , junto con condiciones de integrabilidad para que se aplique el teorema de Frobenius .

Una G -estructura plana es una G -estructura P que tiene una sección global ( V ₁ ,..., V _n ) que consiste en campos vectoriales conmutativos . Una G -estructura es integrable (o localmente plana ) si es localmente isomorfa a una G -estructura plana.

Isomorfismo de las estructuras G

El conjunto de difeomorfismos de M que preservan una G -estructura se denomina grupo de automorfismos de dicha estructura. Para una O( n )-estructura, son el grupo de isometrías de la métrica riemanniana y, para una SL( n , R )-estructura, los mapas que preservan el volumen.

Sea P una G -estructura en una variedad M , y Q una G -estructura en una variedad N. Entonces, un isomorfismo de las G -estructuras es un difeomorfismo f : M → N tal que el empuje hacia adelante de marcos lineales f _* : FM → FN se restringe para dar una aplicación de P en Q. (Nótese que es suficiente que Q esté contenido dentro de la imagen de f _* .) Las G -estructuras P y Q son localmente isomorfas si M admite un recubrimiento por conjuntos abiertos U y una familia de difeomorfismos f _U : U → f ( U ) ⊂ N tales que f _U induce un isomorfismo de P | _U→ Q | _{f ( U )} .

Un automorfismo de una G -estructura es un isomorfismo de una G -estructura P consigo misma. Los automorfismos surgen con frecuencia ^{[ 6 ]} en el estudio de grupos de transformaciones de estructuras geométricas, ya que muchas de las estructuras geométricas importantes en una variedad pueden realizarse como G -estructuras.

En el lenguaje de las G -estructuras, se puede formular una amplia clase de problemas de equivalencia . Por ejemplo, un par de variedades riemannianas son (localmente) equivalentes si y solo si sus haces de marcos ortonormales son (localmente) isomorfos G -estructuras. Desde esta perspectiva, el procedimiento general para resolver un problema de equivalencia consiste en construir un sistema de invariantes para la G -estructura que sean suficientes para determinar si un par de G -estructuras son localmente isomorfos o no.

Conexiones en estructuras G

Sea Q una G -estructura en M. Una conexión principal en el fibrado principal Q induce una conexión en cualquier fibrado vectorial asociado: en particular, en el fibrado tangente. Una conexión lineal ∇ en TM que surge de esta manera se dice que es compatible con Q. Las conexiones compatibles con Q también se denominan conexiones adaptadas .

Concretamente hablando, las conexiones adaptadas pueden entenderse en términos de un marco móvil . ^{[ 7 ]} Supongamos que V _i es una base de secciones locales de TM (es decir, un marco en M ) que define una sección de Q . Cualquier conexión ∇ determina un sistema de 1-formas dependientes de la base ω a través de

∇ _X V _i = ω _i^j (X)V _j

donde, como una matriz de 1-formas, ω ∈ Ω ¹ (M) ⊗ gl ( n ). Una conexión adaptada es aquella para la cual ω toma sus valores en el álgebra de Lie g de G .

Torsión de una estructura G

A toda G -estructura se le asocia una noción de torsión, relacionada con la torsión de una conexión. Cabe señalar que una G -estructura dada puede admitir muchas conexiones compatibles diferentes que, a su vez, pueden tener torsiones diferentes; sin embargo, a pesar de ello, es posible dar una noción independiente de torsión de la G-estructura como sigue. ^{[ 8 ]}

La diferencia de dos conexiones adaptadas es una 1-forma en M con valores en el fibrado adjunto Ad _Q . Es decir, el espacio A ^Q de conexiones adaptadas es un espacio afín para Ω ¹ (Ad _Q ).

La torsión de una conexión adaptada define un mapa.

A^{Q}\to \Omega ^{2}(TM)\,

a 2-formas con coeficientes en TM . Este mapa es lineal; su linealización

{\displaystyle \tau

se denomina mapa de torsión algebraico . Dadas dos conexiones adaptadas ∇ y ∇ ′ , sus tensores de torsión T _∇ , T _{∇ ′} difieren en τ ( ∇ − ∇ ′ ). Por lo tanto, la imagen de T _∇ en coker( τ ) es independiente de la elección de ∇ .

La imagen de T _∇ en coker( τ ) para cualquier conexión adaptada ∇ se denomina torsión de la estructura G. Se dice que una estructura G es libre de torsión si su torsión se anula. Esto ocurre precisamente cuando Q admite una conexión adaptada libre de torsión.

Ejemplo: Torsión para estructuras casi complejas

Un ejemplo de una G -estructura es una estructura casi compleja , es decir, una reducción de un grupo de estructuras de una variedad de dimensión par a GL( n , C ). Dicha reducción está determinada unívocamente por un endomorfismo lineal C ^∞ J ∈ End( TM ) tal que J ² = − 1. En esta situación, la torsión se puede calcular explícitamente de la siguiente manera.

Un sencillo recuento de dimensiones muestra que

\Omega ^{2}(TM)=\Omega ^{2,0}(TM)\oplus \mathrm {im} (\tau )

,

donde Ω ^2,0 ( TM ) es un espacio de formas B ∈ Ω ² ( TM ) que satisfacen

B(JX,Y)=B(X,JY)=-JB(X,Y).\,

Por lo tanto, la torsión de una estructura casi compleja puede considerarse como un elemento en Ω ^2,0 ( TM ). Es fácil comprobar que la torsión de una estructura casi compleja es igual a su tensor de Nijenhuis .

Estructuras G de orden superior

La imposición de condiciones de integrabilidad a una G -estructura particular (por ejemplo, en el caso de una forma simpléctica) puede abordarse mediante el proceso de prolongación . En tales casos, la G -estructura prolongada no puede identificarse con un G -subfibrado del fibrado de marcos lineales. Sin embargo, en muchos casos, la prolongación es un fibrado principal por derecho propio, y su grupo estructural puede identificarse con un subgrupo de un grupo jet de orden superior . En tal caso, se denomina G- estructura de orden superior [Kobayashi]. En general, el método de equivalencia de Cartan se aplica a estos casos.

Véase también

Estructura G2

Notas

↑ ¿Cuál es un grupo de mentiras? $G\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ mapeo al grupo lineal general $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ . Esto suele ser, pero no siempre, un subgrupo de Lie ; por ejemplo, para una estructura de espín, el mapa es un espacio de recubrimiento sobre su imagen.
↑ En efecto ,es un bifunctor en G y X.
↑ En la teoría clásica de campos , dicha sección $\sigma$ describe un campo de Higgs clásico ( Sardanashvily, G. (2006). "Geometry of Classical Higgs Fields". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 03 : 139– 148. arXiv : hep-th/0510168 . doi : 10.1142/S0219887806001065 .).
↑ Es un campo gravitatorio en la teoría de la gravitación de gauge ( Sardanashvily, G. (2006). "Teoría de la gravitación de gauge desde el punto de vista geométrico". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 3 (1): v– xx. arXiv : gr-qc/0512115 . Bibcode : 2005gr.qc....12115S .)
1 2 Besse 1987 , §14.61
↑ Kobayashi 1972
↑ Kobayashi 1972 , I.4
↑ Gauduchon 1997

Referencias

Besse, Arthur L. (1987). Variedades de Einstein . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). vol. 10. Reimpreso en 2008. Berlín: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN 3-540-15279-2. SEÑOR 0867684 . Zbl 0613.53001 .
Chern, Shiing-Shen (1966). "La geometría de las G -estructuras" . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 72 (2): 167– 219. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11473-8 .
Gauduchon, Paul (1997). «Conexiones canónicas para estructuras casi hipercomplejas» . Análisis complejo y geometría . Serie Pitman Research Notes in Mathematics. Vol. 366. Longman. págs. 123-113 . ISBN 978-0-582-29276-5.
Kobayashi, Shoshichi (1972). Grupos de transformación en geometría diferencial . Clásicos en matemáticas. Springer. ISBN 978-3-540-58659-3OCLC 31374337 .
Sternberg, Shlomo (1983). Lecciones de geometría diferencial (2.ª ed.). Nueva York: Chelsea Publishing Co. ISBN 978-0-8218-1385-0OCLC 43032711
Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Estructuras G reductivas y derivadas de Lie". Journal of Geometry and Physics . 47 (1): 66– 86. arXiv : math/0201235 . Bibcode : 2003JGP....47...66G . doi : 10.1016 /S0393-0440(02)00174-2 . MR 2006228. S2CID 119558088 .

[1] ¿Cuál es un grupo de mentiras? $G\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ mapeo al grupo lineal general $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ . Esto suele ser, pero no siempre, un subgrupo de Lie ; por ejemplo, para una estructura de espín, el mapa es un espacio de recubrimiento sobre su imagen.

[2] En efecto ,es un bifunctor en G y X.

[3] En la teoría clásica de campos , dicha sección $\sigma$ describe un campo de Higgs clásico ( Sardanashvily, G. (2006). "Geometry of Classical Higgs Fields". International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 03 : 139– 148. arXiv : hep-th/0510168 . doi : 10.1142/S0219887806001065 .).

[4] Es un campo gravitatorio en la teoría de la gravitación de gauge ( Sardanashvily, G. (2006). "Teoría de la gravitación de gauge desde el punto de vista geométrico". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 3 (1): v– xx. arXiv : gr-qc/0512115 . Bibcode : 2005gr.qc....12115S .)

[:0-5] 1 2 Besse 1987 , §14.61

[6] Kobayashi 1972

[7] Kobayashi 1972 , I.4

[8] Gauduchon 1997

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