Decimal periódico

Toda representación textual es necesariamente finita, por lo que se requiere una notación especial no decimal para representar decimales periódicos. A continuación se presentan varias convenciones de notación. Ninguna de ellas es universalmente aceptada.

• Vínculo : En Estados Unidos , Canadá , India , Francia , Alemania , Dinamarca , Países Bajos , Italia , Suiza , República Checa , Eslovaquia , Eslovenia , Chile , Taiwán y Turquía , la convención es trazar una línea horizontal (un vínculo) por encima del artículo repetido. ^{[ 4 ]}
• Puntos : En algunos países islámicos, como Bangladesh , Malasia , Marruecos , Pakistán , Túnez , Irán , Argelia y Egipto , así como el Reino Unido , Nueva Zelanda , Australia , Sudáfrica , Japón , Tailandia , India , Corea del Sur , Singapur y la República Popular China , la convención es colocar puntos sobre los números más externos del repetido.
• Paréntesis : En algunas partes de Europa , incluyendo Austria , Finlandia , Noruega , Polonia , Rusia y Ucrania , así como Vietnam e Israel , la convención es encerrar el período entre paréntesis. Esto puede causar confusión con la notación de incertidumbre estándar o multiplicación .
• Arco : En España y algunos países latinoamericanos , como Argentina , Brasil y México , la notación de arco sobre el período también se utiliza como alternativa al vínculo y a la notación de puntos.
• Puntos suspensivos : De manera informal, los decimales periódicos suelen representarse con puntos suspensivos (tres puntos, 0.333...), especialmente cuando se enseñan por primera vez las convenciones de notación anteriores en la escuela. Esta notación introduce incertidumbre sobre qué dígitos deben repetirse e incluso si se está produciendo alguna repetición, ya que dichos puntos suspensivos también se emplean para números irracionales ; π , por ejemplo, puede representarse como 3.14159...

En inglés, hay varias formas de leer decimales periódicos en voz alta. Por ejemplo, 1.2 34 se puede leer como "one point two repeating three four", "one point two repeated three four", "one point two recurring three four", "one point two repetend three four" o "one point two into infinity three four". De igual manera, 11. 1886792452830 se puede leer como "eleven point repeating one double eight six seven nine two four five two eight three zero", "eleven point repeated one double eight six seven nine two four five two eight three zero", "eleven point recurring one double eight six seven nine two four five two eight three zero" o "eleven point into infinity one double eight six seven nine two four five two eight three zero".

Para convertir un número racional representado como fracción a forma decimal, se puede utilizar la división larga . Por ejemplo , consideremos el número racional 5/74 :

 0,0675​ 74) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

etc. Observe que en cada paso tenemos un resto; los restos sucesivos mostrados arriba son 56, 42, 50. Cuando llegamos a 50 como resto y bajamos el "0", nos encontramos dividiendo 500 entre 74, que es el mismo problema con el que comenzamos. Por lo tanto, el decimal se repite: 0.0675 675 675 ....

Para cualquier fracción entera ⁠ A / B ⁠ , el resto en el paso k, para cualquier entero positivo k , es A × 10 ^k (módulo B ).

Para cualquier divisor dado, solo pueden aparecer un número finito de restos diferentes. En el ejemplo anterior, los 74 restos posibles son 0,  1,  2,  ...,  73. Si en algún punto de la división el resto es 0, la división termina en ese punto. Entonces, la longitud del período, también llamado "recurrente", se define como 0.

Si el 0 nunca aparece como resto, el proceso de división continúa indefinidamente y, eventualmente, aparecerá un resto que ya se ha producido anteriormente. El siguiente paso de la división dará como resultado el mismo dígito en el cociente y el mismo resto que la vez anterior. Por lo tanto, la siguiente división repetirá los mismos resultados. La secuencia repetitiva de dígitos se denomina "repetición" y tiene una longitud mayor que 0, también llamada "período". ^{[ 5 ]}

En base 10, una fracción tiene un decimal periódico si y solo si en su mínima expresión , su denominador tiene al menos un factor primo distinto de 2 y 5 (un denominador primo se considera un factor primo de sí mismo), o en otras palabras, el denominador no puede expresarse como 2 ^m 5 ⁿ , donde m y n son enteros no negativos.

Cada número decimal periódico satisface una ecuación lineal con coeficientes enteros, y su solución única es un número racional. En el ejemplo anterior, α = 5.8144144144... satisface la ecuación.

El proceso para encontrar estos coeficientes enteros se describe a continuación .

Ejemplos de fracciones que pertenecen a este grupo son:

• 1/7 = 0,142857, 6 dígitos repetidos​
• 1/17 = 0,0588235294117647 , 16 dígitos repetidos​
• 1/19 = 0,052631578947368421 , 18 dígitos repetidos​
• 1/23 = 0,0434782608695652173913 , 22 dígitos repetidos​
• 1 / 29 = 0,0344827586206896551724137931 , 28 dígitos repetidos
• 1 / 47 = 0.0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 dígitos repetidos
• 1 / 59 = 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 dígitos repetidos
• 1 / 61 = 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 ,60 dígitos repetidos
• 1 / 97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 dígitos repetidos

La lista puede continuar incluyendo las fracciones ⁠ 1 / 109 ⁠ , ⁠ 1 / 113 ⁠ , ⁠ 1 / 131 ⁠ , ⁠ 1 / 149 ⁠ , ⁠ 1 / 167 ⁠ , ⁠ 1 / 179 ⁠ , ⁠ 1 / 181 ⁠ , ⁠ 1 / 193 ⁠ , ⁠ 1 / 223 ⁠ , ⁠ 1 / 229 ⁠ , etc. (secuencia A001913 en el OEIS ) .

Todo múltiplo propio de un número cíclico (es decir, un múltiplo que tiene el mismo número de dígitos) es una rotación:

• 1/7 = 1 × 0,142857 = 0,142857​​
• 2 / 7 = 2 × 0,142857 = 0,285714
• 3 / 7 = 3 × 0,142857 = 0,428571
• 4 / 7 = 4 × 0,142857 = 0,571428
• 5 / 7 = 5 × 0,142857 = 0,714285
• 6 / 7 = 6 × 0,142857 = 0,857142

La razón de este comportamiento cíclico se hace evidente al realizar una división larga de 1/7 : los restos secuenciales son la secuencia cíclica { 1, 3, 2, 6, 4, 5} . Véase también el artículo 142.857 para más información sobre las propiedades de este número cíclico.

Una fracción cíclica tiene un decimal periódico de longitud par que se divide en dos secuencias en complemento a nueve . Por ejemplo , 1/7 comienza con '142' y le sigue '857', mientras que 6/7 ( por rotación ) comienza con '857' seguido de su complemento a nueve, '142 ' .

La rotación del período de un número cíclico siempre se produce de tal manera que cada período sucesivo es mayor que el anterior. En la sucesión anterior, por ejemplo, vemos que 0,142857... < 0,285714... < 0,428571... < 0,571428... < 0,714285... < 0,857142.... Esto, para fracciones cíclicas con períodos largos, nos permite predecir fácilmente cuál será el resultado de multiplicar la fracción por cualquier número natural n, siempre que se conozca el período.

Un primo propio es un primo p que termina en el dígito 1 en base 10 y cuyo recíproco en base 10 tiene un período de longitud p  − 1. En tales primos, cada dígito 0  , 1, ..., 9 aparece en la secuencia repetitiva el mismo número de veces que cada uno de los demás dígitos (es decir, p − 1 / 10 veces ). Son: ^{[ 10 ] : 166}  

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (secuencia A073761 en el OEIS ) .

Un número primo es un primo propio si y solo si es un primo completo reptendido y congruente con 1 módulo 10.

Si un primo p es a la vez primo completo repteno y primo seguro , entonces 1 / p producirá una secuencia de p − 1 dígitos pseudoaleatorios . Esos primos son  

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... (secuencia A000353 en el OEIS ) .

Algunos recíprocos de números primos que no generan números cíclicos son:

• ⁠ 1 / 3 ⁠ = 0. 3 , que tiene un período (longitud periódica) de 1.
• ⁠ 1 / 11 ⁠ = 0,09 , que tiene un período de dos.
• ⁠ 1 / 13 ⁠ = 0,076923 , que tiene un período de seis.
• ⁠ 1 / 31 ⁠ = 0. 032258064516129 , que tiene un período de 15.
• ⁠ 1 / 37 ⁠ = 0,027 , que tiene un período de tres.
• ⁠ 1 / 41 ⁠ = 0,02439 , que tiene un período de cinco.
• ⁠ 1 / 43 ⁠ = 0. 023255813953488372093 , que tiene un período de 21.
• ⁠ 1 / 53 ⁠ = 0. 0188679245283 , que tiene un período de 13.
• ⁠ 1 / 67 ⁠ = 0. 014925373134328358208955223880597 , que tiene un período de 33.
• ⁠ 1 / 71 ⁠ = 0. 01408450704225352112676058338028169 , que tiene un período de 35.
• ⁠ 1 / 73 ⁠ = 0. 01369863 , que tiene un período de ocho.
• ⁠ 1 / 79 ⁠ = 0. 0126582278481 , que tiene un período de 13.
• ⁠ 1 / 83 ⁠ = 0. 01204819277108433734939759036144578313253 , que tiene un período de 41.
• ⁠ 1 / 89 ⁠ = 0. 01123595505617977528089887640449438202247191 , que tiene un período de 44.

(secuencia A006559 en el OEIS )

La razón es que 3 es divisor de 9, 11 es divisor de 99, 41 es divisor de 99999, etc. Para hallar el período de 1 / p , podemos comprobar si el primo p divide a algún número 999...999 en el que el número de dígitos divide a p - 1. Dado que el período nunca es mayor que p - 1 , podemos obtenerlo calculando 10p ^{- 1} - 1 / p . Por ejemplo, para 11 obtenemos    

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

y luego, mediante inspección, encontrar el período 09 y el período de 2.

Esos recíprocos de números primos pueden asociarse con varias secuencias de decimales periódicos. Por ejemplo, los múltiplos de 1/13 pueden dividirse en dos conjuntos, con diferentes periodos. El primer conjunto es :

• 1/13 = 0,076923​​​​
• 10 / 13 = 0,769230​​
• 9 / 13 = 0,692307​​
• 12 / 13 = 0,923076​​
• 3 / 13 = 0,230769​​
• 4 / 13 = 0,307692​​

donde el periódico de cada fracción es una reordenación cíclica de 076923. El segundo conjunto es:

• 2 / 13 = 0,153846​​
• 7 / 13 = 0,538461​​
• 5 / 13 = 0,384615​​
• 11 / 13 = 0,846153​​
• 6 / 13 = 0,461538​​
• 8 / 13 = 0,615384​​

donde el periódico de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 153846.

En general, el conjunto de múltiplos propios de los recíprocos de un primo p consta de n subconjuntos, cada uno con longitud periódica k , donde nk = p − 1.     

Para un entero arbitrario n , la longitud L ( n ) del período decimal de 1 / n divide a φ ( n ) , donde φ es la función totiente . La longitud es igual a φ ( n ) si y solo si 10 es una raíz primitiva módulo n . ^{[ 11 ]}

En particular, se deduce que L ( p ) = p − 1 si y solo si p es un primo y 10 es una raíz primitiva módulo p . Entonces, las expansiones decimales de ⁠ n / p ⁠ para n = 1, 2, ..., p − 1, tienen todas un período de p − 1 y difieren solo por una permutación cíclica. Dichos números p se denominan primos periódicos completos .    

El procedimiento que se describe a continuación se puede aplicar en particular si el período tiene n dígitos, todos ellos iguales a 0 excepto el último, que es 1. Por ejemplo, para n  =  7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Así pues , este decimal periódico en particular corresponde a la fracción 1/ ^10ⁿ⁻¹ , donde el denominador es el número escrito como n 9s. Sabiendo esto, un decimal periódico general puede expresarse como una fracción sin necesidad de resolver una ecuación. Por ejemplo, se podría razonar:  

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}$

Es posible obtener una fórmula general que exprese un decimal periódico con un período de n dígitos (longitud periódica), comenzando justo después del punto decimal, como una fracción:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Más explícitamente, se obtienen los siguientes casos:

Si el decimal periódico está entre 0 y 1, y el bloque periódico tiene n dígitos de longitud, apareciendo por primera vez justo después del punto decimal, entonces la fracción (no necesariamente reducida) será el número entero representado por el bloque de n dígitos dividido por el representado por n 9s. Por ejemplo,

• 0,444444... = ⁠ 4 / 9 ⁠ ya que el bloque que se repite es 4 (un bloque de 1 dígito),
• 0,565656... = ⁠ 56 / 99 ⁠ ya que el bloque que se repite es 56 (un bloque de 2 dígitos),
• 0,012012... = ⁠ 12 / 999 ⁠ ya que el bloque que se repite es 012 (un bloque de 3 dígitos); esto se reduce aún más a ⁠ 4 / 333 ⁠ .
• 0,999999... = 9 / 9 = 1, ya que el bloque que se repite es 9 (también un bloque de 1 dígito).

Si el decimal periódico es como el anterior, excepto que hay k dígitos (adicionales) 0 entre el punto decimal y el bloque de n dígitos que se repite, entonces se pueden agregar simplemente k dígitos 0 después de los n dígitos 9 del denominador (y, como antes, la fracción se puede simplificar posteriormente). Por ejemplo,

• 0.000444... = 4 / 9000 ya que el bloque que se repite es 4 y este bloque está precedido por 3 ceros,
• 0,005656... = 56 / 9900 ya que el bloque repetitivo es 56 y está precedido por 2 ceros,
• 0,00012012... = 12 / 99900 = 1 / 8325 ya que el bloque repetitivo es 012 y está precedido por 2 ceros.

Cualquier decimal periódico que no tenga la forma descrita anteriormente puede escribirse como la suma de un decimal finito y un decimal periódico de uno de los dos tipos anteriores (en realidad, el primer tipo es suficiente, pero eso podría requerir que el decimal finito sea negativo). Por ejemplo,

• 1,23444 ... = 1,23 + 0,00444 ... = 123 / 100 + 4 / 900 = 1107 / 900 + 4 / 900 = 1111 / 900​​​
  • o alternativamente 1,23444 ... = 0,79 + 0,44444 ... = 79 / 100 + 4 / 9 = 711 / 900 + 400 / 900 = 1111 / 900​
• 0,3789789 ... = 0,3 + 0,0789789 ... = 3 / 10 + 789 / 9990 = 2997 / 9990 + 789 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665​​​​​
  • o alternativamente 0,3789789... = −0,6 + 0,9789789 ... = − 6 / 10 + 978 / 999 = − 5994 / 9990 + 9780 / 9990 = 3786 / 9990 = 631 / 1665

Un método aún más rápido es ignorar completamente el punto decimal y hacerlo así:

• 1.23444... = 1234 − 123 / 900 = 1111 / 900 ( el denominador tiene un 9 y dos 0 porque un dígito se repite y hay dos dígitos que no se repiten después del punto decimal )
• 0,3789789... = 3789 − 3 / 9990 = 3786 / 9990 ( el denominador tiene tres 9 y un 0 porque tres dígitos se repiten y hay un dígito que no se repite después del punto decimal )

De ello se deduce que cualquier decimal periódico con periodo n y k dígitos después del punto decimal que no pertenecen a la parte periódica, puede escribirse como una fracción (no necesariamente reducida) cuyo denominador es (10 ⁿ  −  1)10 ^k .

Por el contrario, el período del decimal periódico de una fracción ⁠ c / d ⁠ será (como máximo) el número más pequeño n tal que 10 ⁿ − 1 sea divisible por d .  

Por ejemplo, la fracción ⁠ 2 / 7 ⁠ tiene d = 7, y el k más pequeño que hace que 10 ^k − 1 sea divisible por 7 es k = 6, porque 999999 = 7 × 142857. Por lo tanto, el período de la fracción ⁠ 2 / 7 ⁠ es 6.    

En forma comprimida

La siguiente imagen sugiere una especie de compresión del atajo anterior. Por lo tanto${\displaystyle \mathbf {I} }$representa los dígitos de la parte entera del número decimal (a la izquierda del punto decimal),${\displaystyle \mathbf {A} }$conforma la cadena de dígitos del preperíodo y${\displaystyle \#\mathbf {A} }$su longitud y${\displaystyle \mathbf {P} }$siendo la cadena de dígitos repetidos (el período) con longitud${\displaystyle \#\mathbf {P} }$que es distinto de cero.

En la fracción generada, el dígito${\displaystyle 9}$se repetirá${\displaystyle \#\mathbf {P} }$veces, y el dígito${\displaystyle 0}$se repetirá${\displaystyle \#\mathbf {A} }$veces.

Tenga en cuenta que, en ausencia de una parte entera en el decimal,${\displaystyle \mathbf {I} }$se representará con cero, que al estar a la izquierda de los demás dígitos, no afectará al resultado final y puede omitirse en el cálculo de la función generadora .

Ejemplos:

$${\displaystyle {\begin{array}{lllll}3.254444\ldots &=3.25{\overline {4}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =3&\mathbf {A} =25&\mathbf {P} =4\\&\#\mathbf {A} =2&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3254-325}{900}}&={\dfrac {2929}{900}}\\\\0.512512\ldots &=0.{\overline {512}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =512\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {512-0}{999}}&={\dfrac {512}{999}}\\\\1.09191\ldots &=1.0{\overline {91}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =0&\mathbf {P} =91\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix}}&={\dfrac {1091-10}{990}}&={\dfrac {1081}{990}}\\\\1.333\ldots &=1.{\overline {3}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =1&\mathbf {A} =\emptyset &\mathbf {P} =3\\&\#\mathbf {A} =0&\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix}}&={\dfrac {13-1}{9}}&={\dfrac {12}{9}}&={\dfrac {4}{3}}\\\\0.3789789\ldots &=0.3{\overline {789}}&={\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0&\mathbf {A} =3&\mathbf {P} =789\\&\#\mathbf {A} =1&\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix}}&={\dfrac {3789-3}{9990}}&={\dfrac {3786}{9990}}&={\dfrac {631}{1665}}\end{array}}}$$

El símbolo${\displaystyle \emptyset }$En los ejemplos anteriores, denota la ausencia de dígitos de la parte.${\displaystyle \mathbf {A} }$en el decimal, y por lo tanto${\displaystyle \#\mathbf {A} =0}$y una ausencia correspondiente en la fracción generada.

Para un número racional 0 < ⁠ p / q ⁠ < 1 (y base b ∈ N _>1 ) existe el siguiente algoritmo que produce el período junto con su longitud:

función b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q dígitos = "0123..." ; // hasta el dígito con valor b–1 inicio s = "" ; // la cadena de dígitos pos = 0 ; // todos los lugares están a la derecha del punto de base mientras no definido ( ocurre [ p ]) hacer ocurre [ p ] = pos ; // la posición del lugar con resto p bp = b * p ; z = piso ( bp / q ) ; // índice z del dígito dentro: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q si p = 0 entonces L = 0 ; si no z = 0 entonces s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) fin si retornar ( s ) ; fin si s = s . subcadena ( dígitos , z , 1 ) ; // agregar el carácter del dígito pos += 1 ; fin mientras L = pos - ocurre [ p ] ; // la longitud del repetido (siendo < q) // marcar los dígitos del repetido con un vínculo: para i desde ocurre [ p ] hasta pos - 1 hacer subcadena ( s , i , 1 ) = línea superior ( subcadena ( s , i , 1 )) ; fin para devolver ( s ) ; finfunción

La primera línea resaltada calcula el dígito z .

La siguiente línea calcula el nuevo resto p′ de la división módulo el denominador q . Como consecuencia de la función piso,floor tenemos

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

de este modo

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

y

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Debido a que todos estos restos p son enteros no negativos menores que q , solo puede haber un número finito de ellos, con la consecuencia de que deben repetirse en el whilebucle. Dicha recurrencia es detectada por el arreglo asociativooccurs . El nuevo dígito z se forma en la línea amarilla, donde p es el único no constante. La longitud L del período es igual al número de restos (véase también la sección Todo número racional es un decimal finito o periódico ).