Entrelazamiento cuántico

Así como la energía es un recurso que facilita las operaciones mecánicas, el entrelazamiento es un recurso que facilita la realización de tareas que implican comunicación y computación. ^{[ 46 ] : 106 [ 47 ] : 218 [ 48 ] : 435 [ 49 ]} La definición matemática de entrelazamiento puede parafrasearse como decir que el conocimiento máximo sobre la totalidad de un sistema no implica el conocimiento máximo sobre las partes individuales de ese sistema. ^{[ 50 ]} Si el estado cuántico que describe un par de partículas está entrelazado, entonces los resultados de las mediciones en una mitad del par pueden estar fuertemente correlacionados con los resultados de las mediciones en la otra. Sin embargo, el entrelazamiento no es lo mismo que la "correlación" tal como se entiende en la teoría de la probabilidad clásica y en la vida cotidiana. En cambio, el entrelazamiento puede pensarse como una correlación potencial que puede usarse para generar una correlación real en un experimento apropiado. ^{[ 51 ] : 130} Las correlaciones generadas a partir de un estado cuántico entrelazado no pueden, en general, ser replicadas por la probabilidad clásica. ^{[ 52 ] : 33}

Un ejemplo de entrelazamiento es una partícula subatómica que se desintegra en un par de partículas entrelazadas. Los eventos de desintegración obedecen las leyes de conservación , y como resultado, los resultados de medición de una partícula hija deben estar altamente correlacionados con los resultados de medición de la otra partícula hija (de modo que el momento total, el momento angular, la energía, etc., permanecen prácticamente iguales antes y después de este proceso). Por ejemplo, una partícula de espín cero podría desintegrarse en un par de partículas de espín 1/2. Si no hay momento angular orbital, el momento angular de espín total después de esta desintegración debe ser cero (por la conservación del momento angular ). Siempre que se mida que la primera partícula tiene espín hacia arriba en algún eje, la otra, cuando se mide en el mismo eje, siempre se encuentra con espín hacia abajo . Esto se denomina caso de anticorrelación de espín y se dice que el par está en el estado singlete . Las anticorrelaciones perfectas como esta podrían explicarse mediante "variables ocultas" dentro de las partículas. Por ejemplo, podríamos hipotetizar que las partículas se forman en pares, de manera que una tenga un valor de "arriba" y la otra un valor de "abajo". Entonces, conociendo el resultado de la medición del espín en una partícula, podríamos predecir que la otra tendrá el valor opuesto. Bell ilustró esto con una historia sobre un colega, Bertlmann, que siempre usaba calcetines de colores diferentes. "El color que tendrá en un pie determinado en un día determinado es bastante impredecible", escribió Bell, pero al observar "que el primer calcetín es rosa, ya se puede estar seguro de que el segundo no lo será". ^{[ 53 ]} Revelar las características notables del entrelazamiento cuántico requiere considerar múltiples experimentos distintos, como mediciones de espín a lo largo de diferentes ejes, y comparar las correlaciones obtenidas en estas diferentes configuraciones. ^{[ 54 ] : §18.8}

Los sistemas cuánticos pueden entrelazarse a través de diversos tipos de interacciones. Para conocer algunas formas en que el entrelazamiento puede lograrse con fines experimentales, consulte la sección siguiente sobre métodos . El entrelazamiento se rompe cuando las partículas entrelazadas pierden la coherencia debido a la interacción con el entorno; por ejemplo, cuando se realiza una medición. En detalle, este proceso implica que las partículas se entrelazan con el entorno, como consecuencia de lo cual, el estado cuántico que describe las partículas mismas deja de estar entrelazado. ^{[ 55 ] : 369 [ 56 ]} Matemáticamente, un sistema entrelazado puede definirse como aquel cuyo estado cuántico no puede factorizarse como un producto de los estados de sus constituyentes locales; es decir, no son partículas individuales sino un todo inseparable. Cuando existe entrelazamiento, un constituyente no puede describirse completamente sin considerar a los demás. ^{[ 57 ] : 18–19 [ 54 ] : §1.5} El estado de un sistema compuesto siempre se puede expresar como una suma, o superposición , de productos de estados de constituyentes locales; está entrelazado si esta suma no se puede escribir como un único término de producto. ^{[ 47 ] : 39}

El estado singlete descrito anteriormente constituye la base de una versión de la paradoja EPR. En esta variante, introducida por David Bohm , una fuente emite partículas y las envía en direcciones opuestas. El estado que describe cada par está entrelazado. ^{[ 58 ]} En la presentación estándar de los libros de texto de mecánica cuántica, al realizar una medición de espín en una de las partículas, la función de onda de todo el par colapsa en un estado en el que cada partícula tiene un espín definido (hacia arriba o hacia abajo) a lo largo del eje de medición. El resultado es aleatorio, con una probabilidad del 50% para cada posibilidad. Sin embargo, si ambos espines se miden a lo largo del mismo eje, se observa que están anticorrelacionados. Esto significa que el resultado aleatorio de la medición realizada en una partícula parece haberse transmitido a la otra, de modo que esta puede tomar la "decisión correcta" cuando también se la mide. ^{[ 54 ] : §18.8 [ 12 ] : 447–448}

La distancia y el momento de las mediciones pueden elegirse de manera que el intervalo entre ellas sea espacial ; por lo tanto, cualquier efecto causal que conecte los eventos tendría que viajar más rápido que la luz. Según los principios de la relatividad especial , no es posible que la información viaje entre dos eventos de medición de este tipo. Ni siquiera es posible determinar cuál de las mediciones ocurrió primero. Para dos eventos separados espacialmente _{x₁ y x₂, existen sistemas de referencia inerciales en los que x₁} es primero y _otros en los que x₂ es primero . Por consiguiente, la correlación entre las dos mediciones no puede explicarse como una medición que determina la otra: diferentes observadores discreparían sobre el papel de causa y efecto ^{. [ 59} _]

Una posible solución a la paradoja es asumir que la teoría cuántica es incompleta y que el resultado de las mediciones depende de " variables ocultas " predeterminadas. ^{[ 60 ]} El estado de las partículas que se miden contiene algunas variables ocultas, cuyos valores determinan efectivamente, desde el momento de la separación, cuáles serán los resultados de las mediciones de espín. Esto significaría que cada partícula lleva consigo toda la información necesaria y que no es necesario transmitir nada de una partícula a otra en el momento de la medición. Einstein y otros creyeron originalmente que esta era la única salida a la paradoja, y que la descripción mecánica cuántica aceptada (con un resultado de medición aleatorio) debe ser incompleta. Las teorías de variables ocultas locales fallan cuando se consideran mediciones del espín de partículas entrelazadas a lo largo de diferentes ejes. Si se realiza un gran número de pares de tales mediciones (en un gran número de pares de partículas entrelazadas), entonces estadísticamente, si la visión realista local o de variables ocultas fuera correcta, los resultados siempre satisfarían la desigualdad de Bell . Varios experimentos han demostrado en la práctica que la desigualdad de Bell no se satisface. ^{[ 6 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ]} Además, cuando las mediciones de las partículas entrelazadas se realizan en marcos de referencia relativistas en movimiento , en los que cada medición (en su propio marco de tiempo relativista) ocurre antes que la otra, los resultados de la medición permanecen correlacionados. ^{[ 64 ] [ 37 ] : 321–324}

El problema fundamental de medir el espín a lo largo de diferentes ejes es que estas mediciones no pueden tener valores definidos al mismo tiempo; son incompatibles en el sentido de que la precisión máxima simultánea de estas mediciones está limitada por el principio de incertidumbre . Esto es contrario a lo que se encuentra en la física clásica, donde cualquier número de propiedades puede medirse simultáneamente con precisión arbitraria. Se ha demostrado matemáticamente que las mediciones compatibles no pueden mostrar correlaciones que violen la desigualdad de Bell, ^{[ 65 ]} y, por lo tanto, el entrelazamiento es un fenómeno fundamentalmente no clásico.

Consideremos dos sistemas cuánticos arbitrarios A y B , con respectivos espacios de Hilbert H _A y H _B. El espacio de Hilbert del sistema compuesto es el producto tensorial

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

Si el primer sistema está en estado${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$y el segundo en el estado${\displaystyle |\phi \rangle _ {B}}$, el estado del sistema compuesto es

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

Los estados del sistema compuesto que pueden representarse de esta forma se denominan estados separables o estados producto . Sin embargo, no todos los estados del sistema compuesto son separables. Fijemos una base.${\displaystyle \{|i\rangle _{A}\}}$para H _A y una base${\displaystyle \{|j\rangle _ {B}\}}$para H _B . El estado más general en H _A ⊗ H _B es de la forma

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$.

Este estado es separable si existen vectores${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$de modo que${\displaystyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$flexible${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$y${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$Es inseparable si para cualquier vector${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$al menos para un par de coordenadas${\displaystyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$tenemos${\displaystyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$Si un estado es inseparable, se le llama "estado entrelazado". ^{[ 47 ] : 218 [ 54 ] : §1.5}

Por ejemplo, dados dos vectores base${\displaystyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$de H _A y dos vectores base${\displaystyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$de H _B , el siguiente es un estado entrelazado:

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).}$

Si el sistema compuesto se encuentra en este estado, es imposible atribuir a ninguno de los sistemas, A o B , un estado puro definido . Dicho de otro modo, si bien la entropía de von Neumann del estado completo es cero (como ocurre con cualquier estado puro), la entropía de los subsistemas es mayor que cero. En este sentido, los sistemas están "entrelazados". El ejemplo anterior es uno de los cuatro estados de Bell , que son estados puros (máximamente) entrelazados (estados puros del espacio H _A ⊗ H _B , pero que no pueden separarse en estados puros de cada H _A y H _B ). ^{[ 54 ] : §18.6}

Ahora supongamos que Alice es una observadora del sistema A y Bob es un observador del sistema B. Si en el estado entrelazado dado anteriormente Alice realiza una medición en el${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$En la base propia de A , hay dos resultados posibles, que ocurren con igual probabilidad: Alice puede obtener el resultado 0 o puede obtener el resultado 1. Si obtiene el resultado 0, entonces puede predecir con certeza que el resultado de Bob será 1. De igual manera, si obtiene el resultado 1, entonces puede predecir con certeza que el resultado de Bob será 0. En otras palabras, los resultados de las mediciones en los dos cúbits estarán perfectamente anticorrelacionados. Esto sigue siendo cierto incluso si los sistemas A y B están separados espacialmente. Este es el fundamento de la paradoja EPR. ^{[ 46 ] : 113–114} El resultado de la medición de Alice es aleatorio. Alice no puede decidir en qué estado colapsar el sistema compuesto y, por lo tanto, no puede transmitir información a Bob actuando sobre su sistema. La causalidad se conserva, por lo tanto, en este esquema particular. Para el argumento general, véase el teorema de no comunicación .

Como se mencionó anteriormente, el estado de un sistema cuántico viene dado por un vector unitario en un espacio de Hilbert. De forma más general, si se dispone de menos información sobre el sistema, se le denomina «conjunto» y se describe mediante una matriz de densidad , que es una matriz semidefinida positiva , o una clase de traza cuando el espacio de estados es de dimensión infinita, y que tiene traza 1. Según el teorema espectral , dicha matriz adopta la forma general:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

donde los w _i son probabilidades de valor positivo (suman 1), los vectores α _i son vectores unitarios, y en el caso de dimensión infinita, tomaríamos el cierre de tales estados en la norma de traza. Podemos interpretar ρ como la representación de un conjunto donde${\displaystyle w_{i}}$es la proporción del conjunto cuyos estados son${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$Cuando un estado mixto tiene rango 1, describe un "conjunto puro". Cuando hay menos información que la total sobre el estado de un sistema cuántico, necesitamos matrices de densidad para representar el estado. ^{[ 55 ] : 73–74 [ 52 ] : 13–15 [ 54 ] : §22.2}

Experimentalmente, un conjunto mixto podría realizarse de la siguiente manera. Consideremos un aparato de "caja negra" que emite electrones hacia un observador. Los espacios de Hilbert de los electrones son idénticos . El aparato podría producir electrones que se encuentren todos en el mismo estado; en este caso, los electrones recibidos por el observador constituyen un conjunto puro. Sin embargo, el aparato podría producir electrones en diferentes estados. Por ejemplo, podría producir dos poblaciones de electrones: una con estado${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$con espines alineados en la dirección z positiva , y el otro con estado${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$con espines alineados en la dirección negativa del eje y . Generalmente, se trata de un conjunto mixto, ya que puede haber cualquier número de poblaciones, cada una correspondiente a un estado diferente. Siguiendo la definición anterior, para un sistema compuesto bipartito, los estados mixtos son simplemente matrices de densidad en H _A ⊗ H _B . Es decir, tiene la forma general

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

donde las w _i son probabilidades con valor positivo,${\estilo de texto \sum _ {j}|c_ {ij}|^{2}=1}$y los vectores son vectores unitarios. Este es autoadjunto y positivo y tiene traza 1.

Extendiendo la definición de separabilidad del caso puro, decimos que un estado mixto es separable si se puede escribir como ^{[ 76 ] : 131–132}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

donde las w _i son probabilidades con valor positivo y la${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$arena${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$s son en sí mismos estados mixtos (operadores de densidad) en los subsistemas A y B respectivamente. En otras palabras, un estado es separable si es una distribución de probabilidad sobre estados no correlacionados, o estados producto. Al escribir las matrices de densidad como sumas de conjuntos puros y expandirlas, podemos suponer sin pérdida de generalidad que${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$y${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$son en sí mismos conjuntos puros. Se dice entonces que un estado está entrelazado si no es separable. En general, determinar si un estado mixto está entrelazado o no se considera difícil. Se ha demostrado que el caso bipartito general es NP-difícil . ^{[ 77 ]} Para los casos 2 × 2 y 2 × 3 , un criterio necesario y suficiente para la separabilidad viene dado por la famosa condición de Transposición Parcial Positiva (PPT). ^{[ 78 ]}

La idea de una matriz de densidad reducida fue introducida por Paul Dirac en 1930. ^{[ 79 ]} Consideremos como arriba los sistemas A y B , cada uno con un espacio de Hilbert H _A , H _B . Sea el estado del sistema compuesto

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

Como se indicó anteriormente, en general no hay forma de asociar un estado puro al sistema de componentes A. Sin embargo, todavía es posible asociar una matriz de densidad. Sea

${\displaystyle \rho _ {T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$.

que es el operador de proyección sobre este estado. El estado de A es la traza parcial de ρ _T sobre la base del sistema B :

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

La suma se produce sobre${\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}$y${\displaystyle I_{A}}$el operador de identidad en${\displaystyle H_{A}}$. ρ _A a veces se denomina matriz de densidad reducida de ρ en el subsistema A. Coloquialmente, "trazamos" o "trazamos sobre" el sistema B para obtener la matriz de densidad reducida en A. ^{[ 47 ] : 207–212 [ 50 ] : 133 [ 54 ] : §22.4}

Por ejemplo, la matriz de densidad reducida de A para el estado entrelazado

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

Lo que se discute anteriormente es ^{[ 54 ] : §22.4}

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right).}$

Esto demuestra que la matriz de densidad reducida para un conjunto puro entrelazado es un conjunto mixto. En contraste, la matriz de densidad de A para el estado de producto puro${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$Lo discutido anteriormente es ^{[ 46 ] : 106}

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A},}$

el operador de proyección sobre${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$.

En general, un estado puro bipartito ρ está entrelazado si y solo si sus estados reducidos son mixtos en lugar de puros. ^{[ 50 ] : 131}

En la teoría de la información cuántica, los estados entrelazados se consideran un «recurso», es decir, algo costoso de producir que permite implementar transformaciones valiosas. ^{[ 80 ] [ 81 ]} El contexto donde esta perspectiva es más evidente es el de los «laboratorios distantes», es decir, dos sistemas cuánticos etiquetados como «A» y «B» en cada uno de los cuales se pueden realizar operaciones cuánticas arbitrarias , pero que no interactúan entre sí mecánicamente cuánticamente. La única interacción permitida es el intercambio de información clásica, que combinado con las operaciones cuánticas locales más generales da lugar a la clase de operaciones denominadas LOCC (operaciones locales y comunicación clásica). Estas operaciones no permiten la producción de estados entrelazados entre los sistemas A y B. Pero si A y B disponen de un suministro de estados entrelazados, entonces estos, junto con las operaciones LOCC, pueden permitir una clase más amplia de transformaciones.

Si Alice y Bob comparten un estado entrelazado, Alice puede decirle a Bob por teléfono cómo reproducir un estado cuántico.${\displaystyle |\Psi \rangle }$ella tiene en su laboratorio. Alice realiza una medición conjunta en${\displaystyle |\Psi \rangle }$junto con su mitad del estado entrelazado y le dice a Bob los resultados. Usando los resultados de Alice, Bob opera en su mitad del estado entrelazado para hacerlo igual a${\displaystyle |\Psi \rangle }$Dado que la medición de Alice necesariamente borra el estado cuántico del sistema en su laboratorio, el estado${\displaystyle |\Psi \rangle }$no se copia, sino que se transfiere: se dice que se " teletransporta " al laboratorio de Bob a través de este protocolo. ^{[ 46 ] : 27 [ 1 ] : 875 [ 82 ]}

El intercambio de entrelazamiento es una variante de la teletransportación que permite que dos partes que nunca han interactuado compartan un estado entrelazado. El protocolo de intercambio comienza con dos fuentes EPR. Una fuente emite un par de partículas entrelazadas A y B, mientras que la otra emite un segundo par de partículas entrelazadas C y D. Las partículas B y C se someten a una medición en la base de estados de Bell. El estado de las partículas restantes, A y D, colapsa a un estado de Bell, dejándolas entrelazadas a pesar de no haber interactuado nunca entre sí. ^{[ 1 ] [ 84 ]}

Una interacción entre un cúbit de A y un cúbit de B puede realizarse teletransportando primero el cúbit de A a B, luego permitiendo que interactúe con el cúbit de B (lo que ahora es una operación LOCC, ya que ambos cúbits están en el laboratorio de B) y luego teletransportando el cúbit de vuelta a A. En este proceso se utilizan dos estados máximamente entrelazados de dos cúbits. Por lo tanto, los estados entrelazados son un recurso que permite la realización de interacciones cuánticas (o de canales cuánticos) en un entorno donde solo se dispone de operaciones LOCC, pero se consumen en el proceso. Existen otras aplicaciones donde el entrelazamiento puede considerarse un recurso, por ejemplo, la comunicación privada o la distinción de estados cuánticos. ^{[ 1 ]}

Los estados cuánticos que describen sistemas formados por más de dos piezas también pueden estar entrelazados. Un ejemplo para un sistema de tres cúbits es el estado de Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) , $${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}.}$$ Otro ejemplo de tres cúbits es el estado W : $${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle }{\sqrt {3}}}.}$$ El trazado de cualquiera de los tres cúbits convierte el estado GHZ en un estado separable, mientras que el resultado del trazado sobre cualquiera de los tres cúbits en el estado W sigue estando entrelazado. Esto ilustra cómo el entrelazamiento multipartito es un tema más complejo que el entrelazamiento bipartito: los sistemas compuestos por tres o más partes pueden exhibir múltiples tipos de entrelazamiento cualitativamente diferentes. ^{[ 48 ] : 493–497} Una sola partícula no puede estar máximamente entrelazada con más de una partícula a la vez, una propiedad llamada monogamia . ^{[ 85 ]}

No todos los estados cuánticos tienen el mismo valor como recurso. Un método para cuantificar este valor consiste en utilizar una medida de entrelazamiento que asigna un valor numérico a cada estado cuántico. Sin embargo, a menudo resulta interesante optar por una forma menos precisa de comparar los estados cuánticos. Esto da lugar a diferentes esquemas de clasificación. La mayoría de las clases de entrelazamiento se definen en función de si los estados pueden convertirse en otros estados mediante LOCC o una subclase de estas operaciones. Cuanto menor sea el conjunto de operaciones permitidas, más precisa será la clasificación. Algunos ejemplos importantes son:

• Si dos estados pueden transformarse uno en el otro mediante una operación unitaria local, se dice que pertenecen a la misma clase LU . Esta es la clase más fina de las que se suelen considerar. Dos estados de la misma clase LU tienen el mismo valor para las medidas de entrelazamiento y el mismo valor como recurso en el entorno de laboratorios distantes. Existe un número infinito de clases LU diferentes (incluso en el caso más simple de dos cúbits en un estado puro). ^{[ 86 ] [ 87 ]}
• If two states can be transformed into each other by local operations including measurements with probability larger than 0, they are said to be in the same 'SLOCC class' ("stochastic LOCC"). Qualitatively, two states ${\displaystyle \rho _{1}}$ and ${\displaystyle \rho _{2}}$ in the same SLOCC class are equally powerful, since one can transform each into the other, but since the transformations ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ and ${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$ may succeed with different probability, they are no longer equally valuable. E.g., for two pure qubits there are only two SLOCC classes: the entangled states (which contains both the (maximally entangled) Bell states and weakly entangled states like ${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$) and the separable ones (i.e., product states like ${\displaystyle |00\rangle }$).^[88][89]
• Instead of considering transformations of single copies of a state (like ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$) one can define classes based on the possibility of multi-copy transformations. E.g., there are examples when ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ is impossible by LOCC, but ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$ is possible. A very important (and very coarse) classification is based on the property whether it is possible to transform an arbitrarily large number of copies of a state ${\displaystyle \rho }$ into at least one pure entangled state. States that have this property are called distillable. These states are the most useful quantum states since, given enough of them, they can be transformed (with local operations) into any entangled state and hence allow for all possible uses. It came initially as a surprise that not all entangled states are distillable; those that are not are called "bound entangled".^[90][1]

A different entanglement classification is based on what the quantum correlations present in a state allow A and B to do: one distinguishes three subsets of entangled states: (1) the non-local states, which produce correlations that cannot be explained by a local hidden variable model and thus violate a Bell inequality, (2) the steerable states that contain sufficient correlations for A to modify ("steer") by local measurements the conditional reduced state of B in such a way, that A can prove to B that the state they possess is indeed entangled, and finally (3) those entangled states that are neither non-local nor steerable. All three sets are non-empty.^[91]

In this section, the entropy of a mixed state is discussed as well as how it can be viewed as a measure of quantum entanglement.

Entanglement measures quantify the amount of entanglement in a (often viewed as a bipartite) quantum state. As aforementioned, entanglement entropy is the standard measure of entanglement for pure states (but no longer a measure of entanglement for mixed states). For mixed states, there are some entanglement measures in the literature^[93] and no single one is standard.

• Costo de enredo
• Enredo destilable
• Entrelazamiento de la formación
• Concurrencia
• Entropía relativa del entrelazamiento
• Enredo aplastado
• Negatividad logarítmica

La mayoría (pero no todas) de estas medidas de entrelazamiento se reducen, para estados puros, a la entropía de entrelazamiento, y son difíciles ( NP-difíciles ) de calcular para estados mixtos a medida que crece la dimensión del sistema entrelazado. ^{[ 98 ]}

El teorema de Reeh-Schlieder de la teoría cuántica de campos se interpreta a veces como que el entrelazamiento es omnipresente en el vacío cuántico . ^{[ 99 ]}

Existen varios estados entrelazados canónicos que aparecen con frecuencia en la teoría y en los experimentos.

Para dos cúbits , los estados de Bell son

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Estos cuatro estados puros están máximamente entrelazados y forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de los dos cúbits. ^{[ 47 ] : 38–39 [ 46 ] : 98} Proporcionan ejemplos de cómo la mecánica cuántica puede violar las desigualdades de tipo Bell . ^{[ 47 ] : 62 [ 46 ] : 116}

Para M > 2 cúbits, el estado GHZ es

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

lo cual se reduce al estado de Bell${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$para M = 2. El estado GHZ tradicional se definió para M = 3. Los estados GHZ se extienden ocasionalmente a cúdits , es decir, sistemas de d en lugar de 2 dimensiones. ^{[ 106 ] [ 107 ]} También para M > 2 cúbits, existen estados de espín comprimido , una clase de estados coherentes comprimidos que satisfacen ciertas restricciones sobre la incertidumbre de las mediciones de espín, que están necesariamente entrelazados. ^{[ 108 ]} Los estados de espín comprimido son buenos candidatos para mejorar la precisión de las mediciones utilizando el entrelazamiento cuántico. ^{[ 109 ]}

Para dos modos bosónicos , un estado NOON es

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}.}$

Esto es como el estado de Bell${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$excepto los estados base${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$han sido reemplazados por "los N fotones están en un modo" y "los N fotones están en el otro modo". ^{[ 110 ]} Finalmente, también existen estados de Fock gemelos para modos bosónicos, que pueden crearse alimentando un estado de Fock a dos brazos que conducen a un divisor de haz. Son la suma de múltiples estados NOON y pueden usarse para alcanzar el límite de Heisenberg . ^{[ 111 ]} Para las medidas de entrelazamiento elegidas apropiadamente, los estados de Bell, GHZ y NOON están máximamente entrelazados, mientras que los estados de espín comprimido y los estados de Fock gemelos están solo parcialmente entrelazados. ^{[ 112 ] [ 110 ] [ 113 ]}

El entrelazamiento se crea generalmente mediante interacciones directas entre partículas subatómicas. Estas interacciones pueden adoptar numerosas formas. Uno de los métodos más comúnmente utilizados es la conversión descendente paramétrica espontánea para generar un par de fotones entrelazados en polarización. ^{[ 1 ] [ 114 ]} Otros métodos incluyen el uso de un acoplador de fibra para confinar y mezclar fotones, fotones emitidos por la cascada de desintegración del bi-excitón en un punto cuántico , ^{[ 115 ]} o el uso del efecto Hong-Ou-Mandel . ^{[ 116 ]} El entrelazamiento cuántico de una partícula y su antipartícula , como un electrón y un positrón , puede crearse mediante la superposición parcial de las funciones de onda cuánticas correspondientes en el interferómetro de Hardy . ^{[ 117 ] [ 118 ]} En las primeras pruebas del teorema de Bell, las partículas entrelazadas se generaron utilizando cascadas atómicas . ^{[ 6 ]} También es posible crear entrelazamiento entre sistemas cuánticos que nunca interactuaron directamente, mediante el intercambio de entrelazamiento . Dos partículas idénticas preparadas independientemente también pueden estar entrelazadas si sus funciones de onda simplemente se superponen espacialmente, al menos parcialmente. ^{[ 119 ]}

Una matriz de densidad ρ se denomina separable si puede escribirse como una suma convexa de estados producto, a saber: $${\displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$$ con${\displaystyle 0\leq p_{j}\leq 1}$probabilidades. Por definición, un estado está entrelazado si no es separable.

For 2-qubit and qubit-qutrit systems (2 × 2 and 2 × 3 respectively) the simple Peres–Horodecki criterion provides both a necessary and a sufficient criterion for separability, and thus—inadvertently—for detecting entanglement. However, for the general case, the criterion is merely a necessary one for separability, as the problem becomes NP-hard when generalized.^[120][121] Other separability criteria include (but not limited to) the range criterion, reduction criterion, and those based on uncertainty relations.^{[122][123][124][125]} See Ref.^[126] for a review of separability criteria in discrete-variable systems and Ref.^[127] for a review on techniques and challenges in experimental entanglement certification in discrete-variable systems.

A numerical approach to the problem is suggested by Jon Magne Leinaas, Jan Myrheim and Eirik Ovrum in their paper "Geometrical aspects of entanglement".^[128] Leinaas et al. offer a numerical approach, iteratively refining an estimated separable state towards the target state to be tested, and checking if the target state can indeed be reached. In continuous variable systems, the Peres–Horodecki criterion also applies. Specifically, Simon^[129] formulated a particular version of the Peres–Horodecki criterion in terms of the second-order moments of canonical operators and showed that it is necessary and sufficient for ${\displaystyle 1\oplus 1}$-mode Gaussian states (see Ref.^[130] for a seemingly different but essentially equivalent approach). It was later found^[131] that Simon's condition is also necessary and sufficient for ${\displaystyle 1\oplus n}$-mode Gaussian states, but no longer sufficient for ${\displaystyle 2\oplus 2}$-mode Gaussian states. Simon's condition can be generalized by taking into account the higher order moments of canonical operators^[132][133] or by using entropic measures.^[134][135]

Existe un conflicto fundamental, conocido como el problema del tiempo , entre la forma en que se utiliza el concepto de tiempo en la mecánica cuántica y el papel que desempeña en la relatividad general . En las teorías cuánticas estándar, el tiempo actúa como un fondo independiente a través del cual evolucionan los estados, mientras que la relatividad general trata el tiempo como una variable dinámica que se relaciona directamente con la materia. Parte del esfuerzo por conciliar estos enfoques del tiempo da como resultado la ecuación de Wheeler-DeWitt , que predice que el estado del universo es atemporal o estático, contrario a la experiencia ordinaria. ^{[ 136 ]} El trabajo iniciado por Don Page y William Wootters ^{[ 137 ] [ 138 ] [ 139 ]} sugiere que el universo parece evolucionar para los observadores internos debido al entrelazamiento de energía entre un sistema en evolución y un sistema de reloj, ambos dentro del universo. ^{[ 136 ]} De esta manera, el sistema global puede permanecer atemporal mientras que las partes experimentan el tiempo a través del entrelazamiento. El tema sigue siendo una cuestión abierta estrechamente relacionada con los intentos de desarrollar teorías de la gravedad cuántica . ^{[ 140 ] [ 141 ]}

En la relatividad general, la gravedad surge de la curvatura del espaciotiempo, y esta curvatura se deriva de la distribución de la materia. Sin embargo, la materia se rige por la mecánica cuántica. La integración de estas dos teorías presenta numerosos problemas. En un espacio modelo (poco realista) denominado espacio anti-de Sitter , la correspondencia AdS/CFT permite relacionar un sistema gravitacional cuántico con una teoría cuántica de campos sin gravedad. ^{[ 142 ]} Utilizando esta correspondencia, Mark Van Raamsdonk sugirió que el espaciotiempo surge como un fenómeno emergente de los grados de libertad cuánticos entrelazados que residen en el límite del espaciotiempo. ^{[ 143 ]}

A Bell test, also known as Bell inequality test or Bell experiment, is a real-world physics experiment designed to test the theory of quantum mechanics against the hypothesis of local hidden variables. These tests empirically evaluate the implications of Bell's theorem. To date, all Bell tests have found that the hypothesis of local hidden variables is inconsistent with the way that physical systems behave. Many types of Bell tests have been performed in physics laboratories, often with the goal of ameliorating problems of experimental design or set-up that could in principle affect the validity of the findings of earlier Bell tests. This is known as "closing loopholes in Bell tests". In earlier tests, it could not be ruled out that the result at one point could have been subtly transmitted to the remote point, affecting the outcome at the second location;^[9] however, "loophole-free" Bell tests have since been performed where the locations were sufficiently separated that communications at the speed of light would have taken longer—in one case, 10,000 times longer—than the interval between the measurements.^[8][7][15]

In 2017, Yin et al. reported setting a new quantum entanglement distance record of 1,203 km, demonstrating the survival of a two-photon pair and a violation of a Bell inequality, reaching a CHSH valuation of 2.37±0.09, under strict Einstein locality conditions, from the Micius satellite to bases in Lijian, Yunnan and Delingha, Qinghai, increasing the efficiency of transmission over prior fiberoptic experiments by an order of magnitude.^[144][145]

In 2023 the LHC using techniques from quantum tomography measured entanglement at the highest energy so far,^{[146][147][148]} a rare intersection between quantum information and high energy physics based on theoretical work first proposed in 2021.^[149] The experiment was carried by the ATLAS detector measuring the spin of top-quark pair production and the effect was observed with a more than 5σ level of significance, the top quark is the heaviest known particle and therefore has a very short lifetime (${\displaystyle \tau }$ ≈ 10⁻²⁵ s) being the only quark that decays before undergoing hadronization (~ 10⁻²³ s) and spin decorrelation (~ 10⁻²¹ s), so the spin information is transferred without much loss to the leptonic decays products that will be caught by the detector.^[150] The spin polarization and correlation of the particles was measured and tested for entanglement with concurrence as well as the Peres–Horodecki criterion and subsequently the effect has been confirmed too in the CMS detector.^[151][152]

In 2020, researchers reported the quantum entanglement between the motion of a millimetre-sized mechanical oscillator and a disparate distant spin system of a cloud of atoms.^[153] Later work complemented this work by quantum-entangling two mechanical oscillators.^{[154][155][156]}

Physicists at Brookhaven National Laboratory demonstrated quantum entanglement within protons, showing quarks and gluons are interdependent rather than isolated particles.^[157] Using high-energy electron-proton collisions, they revealed maximal entanglement, reshaping our understanding of proton structure.^[158]