Criterio de reducción

En la teoría de la información cuántica , el criterio de reducción es una condición necesaria que un estado mixto debe satisfacer para ser separable . En otras palabras, el criterio de reducción es un criterio de separabilidad . Fue demostrado por primera vez ^{[ 1 ]} y formulado independientemente en 1999. ^{[ 2 ]} La violación del criterio de reducción está estrechamente relacionada con la destilabilidad del estado en cuestión. ^{[ 1 ]}

Sean H ₁ y H ₂ espacios de Hilbert de dimensiones finitas n y m respectivamente. L ( H _i ) denotará el espacio de operadores lineales que actúan sobre H _i . Consideremos un sistema cuántico bipartito cuyo espacio de estados es el producto tensorial

${\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}.}$

Un estado mixto (no normalizado) ρ es un operador lineal positivo ( matriz de densidad ) que actúa sobre H.

Se dice que una aplicación lineal Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) es positiva si conserva el cono de elementos positivos, es decir, si A es positivo, Φ ( A ) también lo es.

A partir de la correspondencia uno a uno entre mapas positivos y testigos de entrelazamiento , tenemos que un estado ρ está entrelazado si y solo si existe un mapa positivo Φ tal que

${\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )}$

no es positivo. Por lo tanto, si ρ es separable, entonces para todo mapa positivo Φ,

${\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )\geq 0.}$

De este modo, toda aplicación Φ positiva, aunque no completamente positiva , da lugar a una condición necesaria para la separabilidad. El criterio de reducción es un ejemplo particular de ello.

Supongamos que H ₁ = H ₂ . Definimos la aplicación positiva Φ: L ( H ₂ ) → L ( H ₁ ) mediante

${\displaystyle \Phi (A)=\operatorname {Tr} AA.}$

Se sabe que Φ es positivo pero no completamente positivo. Por lo tanto, un estado mixto ρ siendo separable implica

${\displaystyle (I\otimes \Phi )(\rho )\geq 0.}$

El cálculo directo muestra que la expresión anterior es la misma que

${\displaystyle I\otimes \rho _ {1}-\rho \geq 0}$

donde ρ ₁ es la traza parcial de ρ con respecto al segundo sistema. La relación dual

${\displaystyle \rho _ {2}\otimes I-\rho \geq 0}$

se obtiene de forma análoga. El criterio de reducción consiste en las dos desigualdades anteriores.

Las dos últimas desigualdades, junto con los límites inferiores para ρ, pueden considerarse desigualdades de Fréchet cuánticas , es decir, el análogo cuántico de los límites probabilísticos clásicos de Fréchet , que se cumplen para estados cuánticos separables . Los límites superiores son los anteriores.${\displaystyle I\otimes \rho _ {1}\geq \rho }$, ${\displaystyle \rho _ {2}\otimes I\geq \rho }$y los límites inferiores son la restricción obvia${\displaystyle \rho \geq 0}$junto con${\displaystyle \rho \geq I\otimes \rho _ {1}+\rho _ {2}\otimes II}$, dónde${\displaystyle I}$son matrices identidad de dimensiones adecuadas. Los límites inferiores se han obtenido en ^{[ 3 ] : Teorema A.16.} Estos límites son satisfechos por matrices de densidad separables, mientras que los estados entrelazados pueden violarlos . Los estados entrelazados exhiben una forma de dependencia estocástica más fuerte que la dependencia clásica más fuerte y, de hecho, violan límites tipo Fréchet. También vale la pena mencionar que es posible dar una interpretación bayesiana de estos límites. ^{[ 3 ]}