Estado separable

Dejar${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}}$y${\displaystyle \{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}}$sean bases ortonormales para${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$, respectivamente. Una base para${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$es entonces${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}}$o en notación más compacta${\displaystyle \{|a_{i}b_{j}\rangle \}}$. Desde la propia definición del producto tensorial, cualquier vector de norma 1, es decir, un estado puro del sistema compuesto, puede escribirse como

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

dónde${\displaystyle c_{i,j}}$es una constante. Si${\displaystyle |\psi \rangle }$se puede escribir como un tensor simple , es decir, en la forma${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }$con${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$Un estado puro en el espacio i se denomina estado producto y, en particular, separable . En caso contrario, se denomina entrelazado . Cabe señalar que, si bien las nociones de estados producto y separables coinciden para los estados puros, no lo hacen en el caso más general de los estados mixtos.

Los estados puros están entrelazados si y solo si sus estados parciales no son puros . Para ver esto, escriba la descomposición de Schmidt de${\displaystyle |\psi \rangle }$como

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),}$

dónde${\displaystyle {\sqrt {p_{k}}}>0}$son números reales positivos,${\displaystyle r_{\psi }}$es el rango Schmidt de${\displaystyle |\psi \rangle }$, y${\displaystyle \{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}}$y${\displaystyle \{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}}$son conjuntos de estados ortonormales en${\displaystyle H_{1}}$y${\displaystyle H_{2}}$, respectivamente. El estado${\displaystyle |\psi \rangle }$está enredado si y solo si${\displaystyle r_{\psi }>1}$. Al mismo tiempo, el estado parcial tiene la forma

${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.}$

Resulta que${\displaystyle \rho _{A}}$es pura --- es decir, es una proyección con rango unitario --- si y solo si${\displaystyle r_{\psi }=1}$, lo cual es equivalente a${\displaystyle |\psi \rangle }$ser separables.

Físicamente, esto significa que no es posible asignar un estado definido (puro) a los subsistemas, que en cambio deberían describirse como conjuntos estadísticos de estados puros, es decir, como matrices de densidad . Un estado puro${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |}$está entrelazado si y solo si la entropía de von Neumann del estado parcial${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )}$es distinto de cero.

Formalmente, la incrustación de un producto de estados en el espacio producto viene dada por la incrustación de Segre . ^{[ 1 ]} Es decir, un estado puro cuántico es separable si y solo si está en la imagen de la incrustación de Segre.

Por ejemplo, en un espacio de dos cúbits, donde${\displaystyle H_{1}=H_{2}=\mathbb {C} ^{2}}$, los estados${\displaystyle |0\rangle \otimes |0\rangle }$,${\displaystyle |0\rangle \otimes |1\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle \otimes |1\rangle }$, son todos estados puros de producto (y por lo tanto separables), como es${\displaystyle |0\rangle \otimes |\psi \rangle }$con${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\sqrt {1/3}}|0\rangle +{\sqrt {2/3}}|1\rangle }$Por otro lado, estados como${\displaystyle {\sqrt {1/2}}|00\rangle +{\sqrt {1/2}}|11\rangle }$o${\displaystyle {\sqrt {1/3}}|01\rangle +{\sqrt {2/3}}|10\rangle }$no son separables.

Consideremos el caso de estado mixto. Un estado mixto del sistema compuesto se describe mediante una matriz de densidad.${\displaystyle \rho }$actuando en${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$Tal estado${\displaystyle \rho }$es separable si existen${\displaystyle p_{k}\geq 0}$,${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$y${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$que son estados mixtos de los respectivos subsistemas tales que

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

dónde

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

De lo contrario${\displaystyle \rho }$se denomina estado entrelazado. Podemos suponer sin pérdida de generalidad en la expresión anterior que${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$y${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$son todas proyecciones de rango 1, es decir, representan conjuntos puros de los subsistemas apropiados. De la definición se desprende claramente que la familia de estados separables es un conjunto convexo .

Nótese que, de nuevo a partir de la definición del producto tensorial, cualquier matriz de densidad, de hecho cualquier matriz que actúe sobre el espacio de estados compuesto, puede escribirse trivialmente en la forma deseada, si eliminamos el requisito de que${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$y${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$son ellos mismos estados y${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$ Si se cumplen estos requisitos, entonces podemos interpretar el estado total como una distribución de probabilidad sobre estados de producto no correlacionados .

En términos de canales cuánticos , se puede crear un estado separable a partir de cualquier otro estado utilizando acciones locales y comunicación clásica, mientras que un estado entrelazado no.

Cuando los espacios de estados son de dimensión infinita, las matrices de densidad se reemplazan por operadores de clase de traza positiva con traza 1, y un estado es separable si puede aproximarse, en norma de traza, por estados de la forma anterior.

Si solo hay un único valor distinto de cero${\displaystyle p_{k}}$, entonces el estado puede expresarse simplemente como${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$y se denomina simplemente estado separable o estado producto . Una propiedad del estado producto es que en términos de entropía ,

${\displaystyle S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).}$