LOCC

LOCC , u operaciones locales y comunicación clásica , es un método de la teoría de la información cuántica en el que se realiza una operación local (producto) en una parte del sistema, y ​​el resultado de esa operación se "comunica" clásicamente a otra parte donde normalmente se realiza otra operación local condicionada a la información recibida.

La definición formal del conjunto de operaciones LOCC es compleja debido a que las operaciones locales posteriores dependen, en general, de toda la comunicación clásica previa y al número ilimitado de rondas de comunicación. Para cualquier número finito , se puede definir el conjunto de operaciones LOCC que se pueden lograr con rondas de comunicación clásica. El conjunto se vuelve estrictamente mayor cuando aumenta y se debe tener cuidado al definir el límite de un número infinito de rondas. En particular, el conjunto LOCC no es topológicamente cerrado, es decir, existen operaciones cuánticas que pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante LOCC, pero que no son LOCC en sí mismas. ^{[ 1 ]}${\displaystyle r\geq 1}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Un LOCC de una ronda es un instrumento cuántico , para el cual los mapas completamente positivos (CPM) que no aumentan la traza son locales para todos los resultados de medición , es decir, y hay un sitio tal que solo en el mapa no se conserva la traza. Esto significa que el instrumento puede ser realizado por la parte en el sitio aplicando el instrumento (local) y comunicando el resultado clásico a todas las demás partes, las cuales luego realizan (condicionadas a ) operaciones cuánticas locales (deterministas) que conservan la traza . ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _ {j}({\cal {E}}_{x}^{j})}$${\displaystyle j=K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _ {j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\cal {T}}_{x}^{j}}$

Entonces, se definen recursivamente como aquellas operaciones que pueden realizarse mediante la continuación de una operación con otra . Aquí se permite que la parte que realiza las operaciones de continuación dependa del resultado de las rondas anteriores. Además, también permitimos el "aclaramiento", es decir, descartar parte de la información clásica codificada en los resultados de medición (de todas las rondas). ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$

La unión de todas las operaciones se denota por y contiene instrumentos que pueden aproximarse cada vez mejor con más rondas LOCC. Su cierre topológico contiene todas esas operaciones. ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

Se puede demostrar que todos estos conjuntos son diferentes: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

El conjunto de todas las operaciones LOCC está contenido en el conjunto de todas las operaciones separables . Contiene todas las operaciones que se pueden escribir utilizando operadores Kraus que tienen toda la forma de producto, es decir, ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}$

con . No todas las operaciones en son LOCC, ${\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}$${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}$

Es decir, hay ejemplos que no se pueden implementar localmente ni siquiera con rondas infinitas de comunicación. ^{[ 1 ]}

LOCC son las "operaciones libres" en las teorías de recursos del entrelazamiento : el entrelazamiento no se puede producir a partir de estados separables con LOCC y si las partes locales, además de poder realizar todas las operaciones LOCC, también están provistas de algunos estados entrelazados, pueden realizar más operaciones que con LOCC solo.

Las operaciones LOCC son útiles para la preparación de estados , la discriminación de estados y las transformaciones de entrelazamiento .

A Alice y Bob se les da un sistema cuántico en el estado producto . Su tarea es producir el estado separable . Esto no se puede lograr solo con operaciones locales, ya que no pueden producir las correlaciones (clásicas) presentes en . Sin embargo, con LOCC (con una ronda de comunicación) se puede preparar: Alice lanza una moneda no sesgada (que muestra cara o cruz con un 50% de probabilidad cada una) y voltea su cúbit (a ) si la moneda muestra "cruz", de lo contrario, permanece sin cambios. Luego envía el resultado del lanzamiento de la moneda (información clásica) a Bob, quien también voltea su cúbit si recibe el mensaje "cruz". El estado resultante es . En general, todos los estados separables (y solo estos) se pueden preparar a partir de estados producto solo con operaciones LOCC. ^{[ 1 ]}${\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle |1\rangle _{A}}$${\displaystyle \rho }$

Dados dos estados cuánticos en un espacio de Hilbert bipartito o multipartito , la tarea consiste en determinar cuál de los dos (o más) estados posibles es. Como ejemplo sencillo, consideremos los dos estados de Bell.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}}$${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

Supongamos que el sistema de dos cúbits está separado, donde el primer cúbit se le da a Alice y el segundo a Bob. Sin comunicación, Alice y Bob no pueden distinguir los dos estados, ya que para todas las mediciones locales todas las estadísticas de medición son exactamente las mismas (ambos estados tienen la misma matriz de densidad reducida). Por ejemplo, supongamos que Alice mide el primer cúbit y obtiene el resultado 0. Como este resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir (con una probabilidad del 50%) en cada uno de los dos casos, ella no obtiene ninguna información sobre qué par de Bell se le dio, y lo mismo ocurre con Bob si realiza alguna medición. Pero ahora supongamos que Alice envía su resultado a Bob a través de un canal clásico. Ahora Bob puede comparar su resultado con el de ella y, si son iguales, puede concluir que el par dado fue , ya que solo esto permite un resultado de medición conjunta . Por lo tanto, con LOCC y dos mediciones, estos dos estados se pueden distinguir perfectamente. Nótese que con mediciones globales ( no locales o entrelazadas ), una sola medición (en el espacio de Hilbert conjunto ) es suficiente para distinguir estos dos estados (mutuamente ortogonales ). ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$

Hay estados cuánticos que no se pueden distinguir con operaciones LOCC. ^{[ 2 ]}

Si bien LOCC no puede generar estados entrelazados a partir de estados producto, sí puede utilizarse para transformar estados entrelazados en otros estados entrelazados. La restricción a LOCC limita considerablemente las transformaciones posibles.

Nielsen ^{[ 3 ]} ha derivado una condición general para determinar si un estado puro de un sistema cuántico bipartito puede transformarse en otro utilizando únicamente LOCC. Los detalles completos se pueden encontrar en el artículo citado anteriormente; aquí se esbozan los resultados.

Consideremos dos partículas en un espacio de Hilbert de dimensión con estados de partículas y con descomposiciones de Schmidt${\displaystyle d}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle }$

Los coeficientes se conocen como coeficientes de Schmidt . Si se ordenan de mayor a menor (es decir, con ), entonces solo se pueden transformar en utilizando únicamente operaciones locales si y solo si para todos en el rango${\displaystyle {\sqrt {\omega _{i}}}}$${\displaystyle \omega _{1}>\omega _{d}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq k\leq d}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$

En notación más concisa:

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '}$

Esta es una condición más restrictiva que la de que las operaciones locales no pueden aumentar las medidas de entrelazamiento . Es muy posible que y tengan la misma cantidad de entrelazamiento, pero convertir uno en el otro no es posible, e incluso esa conversión en cualquier dirección es imposible porque ningún conjunto de coeficientes de Schmidt es mayor que el otro. Para valores grandes de si todos los coeficientes de Schmidt son distintos de cero, entonces la probabilidad de que un conjunto de coeficientes sea mayor que el otro se vuelve insignificante. Por lo tanto, para valores grandes de la probabilidad de que cualquier estado arbitrario sea convertible en otro a través de LOCC se vuelve insignificante. ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Las operaciones descritas hasta ahora son deterministas, es decir, tienen una probabilidad del 100 % de éxito. Si se está satisfecho con las transformaciones probabilísticas , es posible realizar muchas más transformaciones utilizando LOCC. ^{[ 4 ]} Estas operaciones se denominan LOCC estocástico (SLOCC). En particular, para estados multipartitos, se estudia la convertibilidad bajo SLOCC para obtener una comprensión cualitativa de las propiedades de entrelazamiento de los estados involucrados. ^{[ 5 ]}

Si los estados entrelazados están disponibles como recurso, estos junto con LOCC permiten una clase mucho más amplia de transformaciones. Este es el caso incluso si estos estados de recurso no se consumen en el proceso (como sucede, por ejemplo, en la teletransportación cuántica ). Tales transformaciones se denominan catálisis de entrelazamiento . ^{[ 6 ]} En este procedimiento, la conversión de un estado inicial a un estado final que es imposible con LOCC se hace posible tomando un producto tensorial del estado inicial con un "estado catalizador" y exigiendo que este estado siga disponible al final del proceso de conversión. Es decir, el estado catalizador permanece inalterado por la conversión y luego puede eliminarse, dejando solo el estado final deseado. Consideremos los estados, ${\displaystyle |c\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$

Estos estados se escriben en forma de descomposición de Schmidt y en orden descendente. Comparamos la suma de los coeficientes de y${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

En la tabla, se coloca el color rojo si , el color verde si , y el color blanco permanece si . Después de construir la tabla, se puede determinar fácilmente si y son convertibles observando el color en la dirección. se puede convertir en mediante LOCC si todos los colores son verdes o blancos, y se puede convertir en mediante LOCC si todos los colores son rojos o blancos. Cuando la tabla presenta tanto el color rojo como el verde, los estados no son convertibles. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle k}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Ahora consideramos los estados del producto y : ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

De forma similar, elaboramos la tabla:

El color en la dirección es todo verde o blanco, por lo tanto, según el teorema de Nielsen, es posible convertirlo mediante el LOCC. El estado del catalizador se elimina después de la conversión. Finalmente lo encontramos mediante el LOCC. ${\displaystyle k}$${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$${\displaystyle |c\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle }$

Si se permiten correlaciones entre el sistema y el catalizador, las transformaciones catalíticas entre estados puros bipartitos se caracterizan mediante la entropía de entrelazamiento . ^{[ 7 ]} En más detalle, un estado puro puede convertirse en otro estado puro mediante LOCC catalítico si y solo si ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})}$,

donde es la entropía de von Neumann , y y son los estados reducidos de y , respectivamente. En general, la conversión no es exacta, pero puede realizarse con una precisión arbitraria. La cantidad de correlaciones entre el sistema y el catalizador también puede hacerse arbitrariamente pequeña. ${\displaystyle S}$${\displaystyle \psi ^{A}}$${\displaystyle \phi ^{A}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$

Se puede lograr una clase más amplia de transformaciones mediante el uso de baterías cuánticas. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Estos son sistemas auxiliares introducidos durante el proceso de transformación, similares a catalizadores cuánticos, con la condición de que conserven su entrelazamiento al finalizar el procedimiento. La incorporación de baterías cuánticas extiende significativamente el alcance de LOCC, mejorando la capacidad de manipular estados cuánticos. En el régimen asintótico, donde se dispone de un gran número de copias idénticas del estado inicial, este enfoque permite la interconversión reversible entre dos estados entrelazados cualesquiera. ^{[ 9 ]} Esto conduce a la formulación de una segunda ley de manipulación de entrelazamiento, ^{[ 9 ]} análoga a la segunda ley de la termodinámica . Anteriormente, la existencia de un marco que conduzca a la segunda ley de manipulación de entrelazamiento se ha identificado como un importante problema abierto en la ciencia de la información cuántica. ^{[ 10 ]}

• teletransportación cuántica
• Base de producto no ampliable

• https://quantiki.org/wiki/locc-operations
• Nielsen MA (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones de entrelazamiento". Phys. Rev. Lett . 83 (2): 436– 439. arXiv : quant-ph/9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N . doi : 10.1103/physrevlett.83.436 . S2CID  17928003 .