Representación proyectiva

El análisis de la cuestión de elevación implica cohomología de grupos . De hecho, si se fija para cada g en G un elemento elevado L ( g ) en la elevación de PGL( V ) de vuelta a GL( V ) , entonces las elevaciones satisfacen

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

para algún escalar c ( g , h ) en F ^∗ . De ello se deduce que el 2-cociclo o multiplicador de Schur c satisface la ecuación del cociclo

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

para todo g , h , k en G. Este c depende de la elección del elevador L ; una elección diferente de elevador L ' ( g ) = f ( g ) L ( g ) dará como resultado un cociclo diferente.

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

cohomólogo a c . Por lo tanto, L define una clase única en H ² ( G , F ^∗ ) . Esta clase podría no ser trivial. Por ejemplo, en el caso del grupo simétrico y el grupo alternante , Schur estableció que existe exactamente una clase no trivial de multiplicador de Schur y determinó completamente todas las representaciones irreducibles correspondientes. ^{[ 2 ]}

En general, una clase no trivial da lugar a un problema de extensión para G. Si G se extiende correctamente, obtenemos una representación lineal del grupo extendido, que induce la representación proyectiva original al reducirla a G. La solución es siempre una extensión central . Del lema de Schur se deduce que las representaciones irreducibles de las extensiones centrales de G y las representaciones proyectivas irreducibles de G son esencialmente los mismos objetos.

Consideremos primero el grupo${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2}$con dos elementos denotados por${\displaystyle e,\sigma }$, dónde${\displaystyle e}$es el elemento trivial y el grupo se define por la identidad${\displaystyle \sigma ^{2}=e}$. En cada representación proyectiva${\displaystyle e}$se envía al mapa de identidad, por lo que la representación está completamente determinada por la imagen de${\displaystyle \sigma }$Este grupo tiene dos representaciones lineales (irreducibles) , ambas unidimensionales:

• La representación trivial :${\displaystyle \sigma \mapsto 1}$
• La representación no trivial:${\displaystyle \sigma \mapsto -1}$

Si bien son distintas como representaciones lineales, es decir, sus acciones sobre los puntos son diferentes, son iguales como representaciones proyectivas. En un espacio unidimensional, hay una sola línea, y ambas envían esa línea hacia sí mismas. De manera más general, cualquier elección de la imagen${\displaystyle \sigma \mapsto c}$producirá la misma representación proyectiva unidimensional. Es decir, existe una única representación proyectiva unidimensional, y es la representación trivial (y esto se cumple para cualquier grupo).

Sobre el plano bidimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, podemos enviar${\displaystyle \sigma }$hacia${\displaystyle 90^{\circ }}$rotación:

$${\displaystyle \rho$$ :\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}

Dos${\displaystyle 90^{\circ }}$rotaciones, a saber${\displaystyle 180^{\circ }}$La rotación devuelve las líneas del plano a sí mismas, por lo tanto define una representación proyectiva. Más formalmente,${\displaystyle \rho (\sigma ^{2}),\rho (\sigma )^{2}}$son iguales hasta cierto punto:

$${\displaystyle \rho (\sigma )^{2}=-Id=-\rho (e)=-\rho (\sigma ^{2}).}$$

A diferencia del caso unidimensional, esta representación proyectiva no surge de una representación lineal estándar. Sin embargo, trabajando con números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$en lugar de los números reales, esta representación proyectiva es la misma que

$${\displaystyle \rho ':\sigma \mapsto i\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$en cuyo caso se trata de una representación lineal, ya que${\displaystyle \rho '(\sigma )^{2}=\rho '(\sigma ^{2})=Id}$.

Ahora dejemos${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n}$que escribimos multiplicativamente como${\displaystyle G=\{e,\sigma ,\sigma ^{2},...,\sigma ^{n-1}\}}$y dejar${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ser una elección de representantes para una representación proyectiva:

• El elemento trivial : Dado que${\displaystyle \rho (e)\rho (e)=c(e,e)\rho (e^{2})=c(e,e)\rho (e)}$, y${\displaystyle \rho (e)}$es invertible, debe ser el escalar${\displaystyle \rho (e)=c(e,e)\cdot Id}$Por lo tanto, podemos cambiar la elección a ser${\displaystyle \rho (e)=Id}$sin modificar la representación.
• Los elementos no triviales : Dado que${\displaystyle \rho (\sigma )^{k},\rho (\sigma ^{k})}$son iguales salvo un escalar, podemos elegir de manera similar los representantes de modo que${\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=\rho (\sigma )^{k}}$para${\displaystyle k=0,...,n-1}$.

Después de estas reducciones, nos queda una elección por${\displaystyle \rho (\sigma )}$y un escalar${\displaystyle c}$de tal manera que

$${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c\cdot \rho (\sigma ^{n})=c\cdot \rho (e)=c\cdot Id.}$$

Por otro lado, cualquier elección de raíz${\displaystyle A^{n}=c\cdot Id}$para algún escalar${\displaystyle c\neq 0}$puede definir una representación proyectiva estableciendo$${\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=A^{k},\;k=0,...,n-1.}$$

Sobre los números complejos (o generalmente sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ), cambiando la elección de${\displaystyle \rho (\sigma )}$en${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{c}}}\rho (\sigma )}$producirá una representación lineal estándar, o dicho de otro modo, todas las representaciones proyectivas surgen de representaciones lineales ordinarias.

En un producto de dos grupos cíclicos${\displaystyle G=\{e,\sigma ,...\sigma ^{n-1}\}\times \{e,\tau ,...,\tau ^{m-1}\}}$, se puede realizar un proceso similar cambiando la elección de representantes para satisfacer:

$${\displaystyle \rho (\sigma ^{k}\cdot \tau ^{\ell }):=\rho (\sigma )^{k}\rho (\tau )^{\ell },\;\;0\leq k<n,\;0\leq \ell <m.}$$

Esto se reduce a tres condiciones:

1. ${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c_{\sigma }\cdot Id}$ , ${\displaystyle \rho (\tau )^{m}=c_{\tau }\cdot Id}$, y
2. ${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma \tau )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )}$.

Este nuevo escalar debe satisfacer:

• ${\displaystyle c_{\tau }\rho (\sigma )=\rho (\tau )^{m}\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )\rho (\tau )^{m}=c_{\tau }c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )}$, de modo que${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{m}=1}$.
• Similarmente,${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$.

Ambos implican que${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}$. Cualquier elección de este tipo${\displaystyle \rho (\sigma ),\rho (\tau )}$Las que satisfagan estas 3 condiciones definirán una representación proyectiva.

Sobre los números complejos, como antes podemos suponer que${\displaystyle c_{\tau }=c_{\sigma }=1}$, por lo que el único parámetro es${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}$.

Por ejemplo, tomar${\displaystyle n=m}$tenemos 3 condiciones${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id}$y${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )}$dónde${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$Estas ecuaciones tienen soluciones en${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$para cualquier${\displaystyle n}$y cualquier elección de raíz de unidad${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$Más específicamente, dejar${\displaystyle \zeta _{n}}$ser tal raíz de unidad , definir:

${\displaystyle \rho (\sigma )\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\zeta _{n}&0&&\vdots \\0&0&\zeta _{n}^{2}&&\\\vdots &&&\ddots &0\\0&\cdots &&0&\zeta _{n}^{n-1}\end{pmatrix}}\;\;;\;\;\rho (\tau )\mapsto {\begin{pmatrix}0&1&0&&\\&0&1&\ddots &\\\vdots &&0&\ddots &0\\0&&&\ddots &1\\1&0&\cdots &&0\end{pmatrix}}}$.

Ambas matrices definen un "${\displaystyle n}$-rotación":${\displaystyle \rho (\sigma )}$rota cada coordenada por separado como números complejos, mientras que${\displaystyle \rho (\tau )}$rota las coordenadas del vector, y en particular${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id}$. Además tenemos que${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=\zeta _{n}\rho (\sigma )\rho (\tau )}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }=\rho (\tau )\rho (\sigma )\rho (\tau )^{-1}\rho (\sigma )^{-1}}$es independiente de las elecciones de los representantes. De ello se deduce que la${\displaystyle n}$representaciones proyectivas definidas anteriormente para el${\displaystyle n}$Las distintas raíces de la unidad son representaciones distintas.

Las representaciones proyectivas para el producto general de grupos cíclicos se realizan de manera similar.

Un ejemplo físicamente importante de la construcción anterior proviene del caso del grupo de rotación SO(3) , cuyo recubrimiento universal es SU(2) . Según la teoría de representación de SU(2) , hay exactamente una representación irreducible de SU(2) en cada dimensión. Cuando la dimensión es impar (el caso de "espín entero"), la representación desciende a una representación ordinaria de SO(3) . ^{[ 3 ]} Cuando la dimensión es par (el caso de "espín fraccional"), la representación no desciende a una representación ordinaria de SO(3) , pero sí desciende (por el resultado discutido anteriormente) a una representación proyectiva de SO(3) . Estas representaciones proyectivas de SO(3) (las que no provienen de representaciones ordinarias) se denominan "representaciones espinoriales", cuyos elementos (vectores) se llaman espinores .

Mediante un argumento que se analiza más adelante, toda representación proyectiva irreducible de dimensión finita de SO(3) proviene de una representación ordinaria irreducible de dimensión finita de SU(2) .

Casos notables de grupos de recubrimiento que dan lugar a representaciones proyectivas interesantes:

• El grupo ortogonal especial SO( n , F ) está doblemente cubierto por el grupo Spin ( n , F ) .
• En particular, el grupo SO(3) (el grupo de rotación en 3 dimensiones) está doblemente cubierto por SU(2) . Esto tiene importantes aplicaciones en mecánica cuántica, ya que el estudio de las representaciones de SU(2) conduce a una teoría no relativista (de baja velocidad) del espín .
• El grupo SO ⁺ (3;1) , isomorfo al grupo de Möbius , está igualmente doblemente cubierto por SL ₂ ( C ). Ambos son supergrupos de los mencionados SO(3) y SU(2) respectivamente y forman una teoría de espín relativista .
• La cubierta universal del grupo de Poincaré es una cubierta doble (el producto semidirecto de SL ₂ ( C ) con R ⁴ ). Las representaciones unitarias irreducibles de esta cubierta dan lugar a representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, como en la clasificación de Wigner . Pasar a la cubierta es esencial para incluir el caso de espín fraccionario.
• El grupo ortogonal O( n ) está doblemente cubierto por el grupo Pin Pin _± ( n ) .
• El grupo simpléctico Sp(2 n )=Sp(2 n , R ) (que no debe confundirse con la forma real compacta del grupo simpléctico, a veces también denotada por Sp( m ) ) está doblemente cubierto por el grupo metapléctico Mp(2 n ) . Una representación proyectiva importante de Sp(2 n ) proviene de la representación metapléctica de Mp(2 n ) .

En física cuántica, la simetría de un sistema físico se implementa típicamente mediante una representación unitaria proyectiva.${\displaystyle \rho }$de un grupo de mentiras${\displaystyle G}$en el espacio de Hilbert cuántico , es decir, un homomorfismo continuo

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

dónde${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$es el cociente del grupo unitario${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$por los operadores de la forma${\displaystyle cI,\,|c|=1}$La razón para tomar el cociente es que, físicamente, dos vectores proporcionales en el espacio de Hilbert representan el mismo estado físico. [Es decir, el espacio de estados (puros) es el conjunto de clases de equivalencia de vectores unitarios , donde dos vectores unitarios se consideran equivalentes si son proporcionales.] Por lo tanto, un operador unitario que es múltiplo de la identidad actúa como la identidad en el nivel de los estados físicos.

Una representación proyectiva de dimensión finita de${\displaystyle G}$entonces da lugar a una representación unitaria proyectiva${\displaystyle \rho _{*}}$del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$de${\displaystyle G}$En el caso de dimensión finita, siempre es posible "desproyectar" la representación del álgebra de Lie.${\displaystyle \rho _{*}}$simplemente eligiendo un representante para cada uno${\displaystyle \rho _{*}(X)}$teniendo traza cero. ^{[ 4 ]} A la luz del teorema de los homomorfismos , entonces es posible desproyectivizar${\displaystyle \rho }$en sí mismo, pero a costa de pasar a la cobertura universal${\displaystyle {\tilde {G}}}$de${\displaystyle G}$. ^{[ 5 ]} Es decir, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de${\displaystyle G}$surge de una representación unitaria ordinaria de${\displaystyle {\tilde {G}}}$mediante el procedimiento mencionado al comienzo de esta sección.

Específicamente, dado que la representación del álgebra de Lie fue desproyectivizada al elegir un representante de traza cero, toda representación unitaria proyectiva de dimensión finita de${\displaystyle G}$surge de una representación unitaria ordinaria de determinante uno de${\displaystyle {\tilde {G}}}$(es decir, uno en el que cada elemento de${\displaystyle {\tilde {G}}}$actúa como un operador con determinante uno). Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple, entonces cada elemento de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una combinación lineal de conmutadores, en cuyo caso toda representación de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es mediante operadores con traza cero. En el caso semisimple, entonces, la representación lineal asociada de${\displaystyle {\tilde {G}}}$es único.

Por el contrario, si${\displaystyle \rho }$es una representación unitaria irreductible de la cobertura universal${\displaystyle {\tilde {G}}}$de${\displaystyle G}$, entonces por el lema de Schur , el centro de${\displaystyle {\tilde {G}}}$actúa como múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto, a nivel proyectivo,${\displaystyle \rho }$desciende a una representación proyectiva del grupo original.${\displaystyle G}$. Por lo tanto, existe una correspondencia natural uno a uno entre las representaciones proyectivas irreducibles de${\displaystyle G}$y las representaciones ordinarias irreducibles de determinante uno de${\displaystyle {\tilde {G}}}$. (En el caso semisimple, se puede omitir el calificador "determinante-uno", porque en ese caso, toda representación de${\displaystyle {\tilde {G}}}$es automáticamente determinante uno.)

Un ejemplo importante es el caso de SO(3) , cuyo recubrimiento universal es SU(2) . Ahora, el álgebra de Lie${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$es semisimple. Además, dado que SU(2) es un grupo compacto , toda representación de dimensión finita del mismo admite un producto interno con respecto al cual la representación es unitaria. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, las representaciones proyectivas irreducibles de SO(3) están en correspondencia biunívoca con las representaciones ordinarias irreducibles de SU(2).

Los resultados de la subsección anterior no se mantienen en el caso de dimensión infinita, simplemente porque la traza de${\displaystyle \rho _{*}(X)}$Por lo general, no está bien definido. De hecho, el resultado falla: Considérese, por ejemplo, las traslaciones en el espacio de posición y en el espacio de momento para una partícula cuántica que se mueve en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, actuando sobre el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$. ^{[ 7 ]} Estos operadores se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

a pesar de${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$Estos operadores son simplemente versiones continuas de los operadores.${\displaystyle T_{a}}$y${\displaystyle S_{a}}$descrito en la sección "Primer ejemplo" anterior. Como en esa sección, podemos definir una representación unitaria proyectiva.${\displaystyle \rho }$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$:

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

porque los operadores conmutan salvo un factor de fase . Pero ninguna elección de los factores de fase dará lugar a una representación unitaria ordinaria, puesto que las traslaciones en posición no conmutan con las traslaciones en momento (y multiplicar por una constante distinta de cero no cambiará esto). Sin embargo, estos operadores provienen de una representación unitaria ordinaria del grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. ^{[ 8 ]} (Véase también el teorema de Stone-von Neumann .)

Por otro lado, el teorema de Bargmann establece que si el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es trivial, entonces toda representación unitaria proyectiva de${\displaystyle G}$puede desproyectizarse después de pasar a la cubierta universal. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Más precisamente, supongamos que comenzamos con una representación unitaria proyectiva${\displaystyle \rho }$de un grupo de mentiras${\displaystyle G}$Entonces el teorema establece que${\displaystyle \rho }$puede elevarse a una representación unitaria ordinaria${\displaystyle {\hat {\rho }}}$de la cubierta universal${\displaystyle {\hat {G}}}$de${\displaystyle G}$Esto significa que${\displaystyle {\hat {\rho }}}$asigna a cada elemento del núcleo del mapa de recubrimiento un múltiplo escalar de la identidad, de modo que en el nivel proyectivo,${\displaystyle {\hat {\rho }}}$desciende a${\displaystyle G}$—y que la representación proyectiva asociada de${\displaystyle G}$es igual a${\displaystyle \rho }$.

El teorema no se aplica al grupo${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$—como muestra el ejemplo anterior— porque el segundo grupo de cohomología del álgebra de Lie conmutativa asociada no es trivial. Entre los ejemplos donde se aplica este resultado se incluyen los grupos semisimples (por ejemplo, SL(2,R) ) y el grupo de Poincaré . Este último resultado es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones unitarias proyectivas del grupo de Poincaré.

La demostración del teorema de Bargmann se realiza considerando una extensión central.${\displaystyle H}$de${\displaystyle G}$, construido de manera similar a la sección anterior sobre representaciones lineales y representaciones proyectivas, como un subgrupo del grupo de producto directo${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es el espacio de Hilbert en el que${\displaystyle \rho }$actos y${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$es el grupo de operadores unitarios en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$El grupo${\displaystyle H}$se define como

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

Como en la sección anterior, el mapa${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$dado por${\displaystyle \phi (g,U)=g}$es un homomorfismo sobreyectivo cuyo núcleo es${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$de modo que${\displaystyle H}$es una extensión central de${\displaystyle G}$. De nuevo, como en la sección anterior, podemos definir una representación lineal.${\displaystyle \sigma }$de${\displaystyle H}$al establecer${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$. Entonces${\displaystyle \sigma }$es un ascensor de${\displaystyle \rho }$en el sentido de que${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$, dónde${\displaystyle \pi }$es el mapa cociente de${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$a${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$.

Un punto técnico clave es demostrar que${\displaystyle H}$es un grupo mentiroso . (Esta afirmación no es tan obvia, porque si${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es de dimensión infinita, el grupo${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$es un grupo topológico de dimensión infinita . Una vez establecido este resultado, vemos que${\displaystyle H}$es una extensión central de grupo de Lie unidimensional de${\displaystyle G}$, de modo que el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de${\displaystyle H}$es también una extensión central unidimensional de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(tenga en cuenta aquí que el adjetivo "unidimensional" no se refiere a${\displaystyle H}$y${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, sino más bien al núcleo del mapa de proyección de esos objetos en${\displaystyle G}$y${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$respectivamente). Pero el grupo de cohomología${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$puede identificarse con el espacio de extensiones centrales unidimensionales (de nuevo, en el sentido antes mencionado) de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; si${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$es trivial entonces toda extensión central unidimensional de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es trivial. En ese caso,${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es simplemente la suma directa de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con una copia de la línea real. De ello se deduce que la portada universal${\displaystyle {\tilde {H}}}$de${\displaystyle H}$debe ser simplemente un producto directo de la cobertura universal de${\displaystyle G}$con una copia de la línea real. Entonces podemos levantar${\displaystyle \sigma }$de${\displaystyle H}$a${\displaystyle {\tilde {H}}}$(componiendo con el mapa de cobertura) y finalmente restringir este levantamiento a la cobertura universal${\displaystyle {\tilde {G}}}$de${\displaystyle G}$.