Extensión de grupo

En matemáticas , una extensión de grupo es un medio general para describir un grupo en términos de un subgrupo normal y un grupo cociente particulares . Si${\displaystyle Q}$y${\displaystyle N}$son dos grupos, entonces${\displaystyle G}$es una extensión de${\displaystyle Q}$por${\displaystyle N}$si hay una secuencia corta exacta

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

Si${\displaystyle G}$es una extensión de${\displaystyle Q}$por${\displaystyle N}$, entonces${\displaystyle G}$es un grupo,${\displaystyle \iota (N)}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$y el grupo cociente${\displaystyle G/\iota (N)}$es isomorfo al grupo${\displaystyle Q}$Las extensiones de grupo surgen en el contexto del problema de extensión , donde los grupos${\displaystyle Q}$y${\displaystyle N}$son conocidas y las propiedades de${\displaystyle G}$están por determinarse. Tenga en cuenta que la frase "${\displaystyle G}$es una extensión de${\displaystyle N}$por${\displaystyle Q}$" también es utilizado por algunos. ^{[ 1 ]}

Dado que cualquier grupo finito${\displaystyle G}$posee un subgrupo normal máximo${\displaystyle N}$con grupo de factores simple${\displaystyle G/\iota (N)}$Todos los grupos finitos pueden construirse como una serie de extensiones con grupos simples finitos . Este hecho fue una motivación para completar la clasificación de los grupos simples finitos .

Una extensión se denomina extensión central si el subgrupo${\displaystyle N}$se encuentra en el centro de${\displaystyle G}$.

Una extensión, el producto directo , es inmediatamente obvia. Si uno necesita${\displaystyle G}$y${\displaystyle Q}$ser grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismo de extensiones de${\displaystyle Q}$por un grupo (abeliano) determinado${\displaystyle N}$es de hecho un grupo, que es isomorfo a

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

Véase el functor Ext . Se conocen varias otras clases generales de extensiones, pero no existe ninguna teoría que trate todas las extensiones posibles a la vez. La extensión de grupos se suele describir como un problema difícil; se denomina problema de extensión .

Para considerar algunos ejemplos, si${\displaystyle G=K\times H}$, entonces${\displaystyle G}$es una extensión de ambos${\displaystyle H}$y${\displaystyle K}$. De manera más general, si${\displaystyle G}$es un producto semidirecto de${\displaystyle K}$y${\displaystyle H}$, escrito como${\displaystyle G=K\rtimes H}$, entonces${\displaystyle G}$es una extensión de${\displaystyle H}$por${\displaystyle K}$, por lo que productos como la corona decorativa ofrecen más ejemplos de extensiones.

Clasificación de extensiones

Resolver el problema de extensión equivale a clasificar todas las extensiones de${\displaystyle H}$por${\displaystyle K}$O, de forma más práctica, expresando todas esas extensiones en términos de objetos matemáticos más fáciles de comprender y calcular. En general, este problema es muy difícil, y los resultados más útiles clasifican las extensiones que satisfacen alguna condición adicional.

Es importante saber cuándo dos extensiones son equivalentes o congruentes. Decimos que las extensiones

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

y

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo de grupos.${\displaystyle T:G\to G'}$haciendo conmutativo el diagrama siguiente. De hecho, basta con tener un homomorfismo de grupo; debido a la conmutatividad asumida del diagrama, el mapa${\displaystyle T}$se ve obligado a ser un isomorfismo por el lema corto de los cinco .

Advertencia

Puede suceder que las extensiones${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$y${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$son no equivalentes pero${\displaystyle G}$y${\displaystyle G'}$son isomorfos como grupos. Por ejemplo, hay${\displaystyle 8}$extensiones no equivalentes del grupo de cuatro de Klein por${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$, ^{[ 2 ]} pero, salvo isomorfismo de grupo, solo hay cuatro grupos de orden${\displaystyle 8}$que contiene un subgrupo normal de orden${\displaystyle 2}$ con grupo cociente isomorfo al grupo de Klein de cuatro dimensiones .

Extensiones triviales

Una extensión trivial es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

eso es equivalente a la extensión

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$

donde las flechas izquierda y derecha representan respectivamente la inclusión y la proyección de cada factor de${\displaystyle K\times H}$.

Clasificación de las extensiones divididas

Una extensión dividida es una extensión

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

con un homomorfismo${\displaystyle s\colon H\to G}$de tal manera que pasar de${\displaystyle H}$a${\displaystyle G}$por${\displaystyle s}$y luego de vuelta a${\displaystyle H}$mediante el mapa cociente de la secuencia exacta corta induce el mapa identidad en${\displaystyle H}$es decir,${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$En esta situación, se suele decir que${\displaystyle s}$divide la secuencia exacta anterior .

Las extensiones divididas son muy fáciles de clasificar, porque una extensión está dividida si y solo si el grupo${\displaystyle G}$es un producto semidirecto de${\displaystyle K}$y${\displaystyle H}$Los productos semidirectos son fáciles de clasificar, porque están en correspondencia biunívoca con homomorfismos de${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$, dónde${\displaystyle \operatorname {Aut} (K)}$es el grupo de automorfismos de${\displaystyle K}$Para una explicación completa de por qué esto es cierto, consulte el producto semidirecto .

Advertencia sobre la terminología

En general, en matemáticas, una extensión de una estructura${\displaystyle K}$Por lo general, se considera una estructura.${\displaystyle L}$de cuál${\displaystyle K}$es una subestructura. Véase, por ejemplo, extensión de campo . Sin embargo, en teoría de grupos se ha introducido la terminología opuesta, en parte debido a la notación.${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$, que se lee fácilmente como extensiones de${\displaystyle Q}$por${\displaystyle N}$y el enfoque está en el grupo${\displaystyle Q}$.

Un artículo de Ronald Brown y Timothy Porter sobre la teoría de las extensiones no abelianas de Otto Schreier utiliza la terminología de que una extensión de${\displaystyle K}$proporciona una estructura más grande. ^{[ 3 ]}

Una extensión central de un grupo${\displaystyle G}$es una secuencia corta y exacta de grupos

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

de tal manera que${\displaystyle A}$está incluido en${\displaystyle Z(E)}$, el centro del grupo${\displaystyle E}$. El conjunto de clases de isomorfismo de extensiones centrales de${\displaystyle G}$por${\displaystyle A}$está en correspondencia uno a uno con el grupo de cohomología${\displaystyle H^{2}(G,A)}$.

Se pueden construir ejemplos de extensiones centrales tomando cualquier grupo.${\displaystyle G}$y cualquier grupo abeliano${\displaystyle A}$y configuración${\displaystyle E}$ser${\displaystyle A\times G}$. Este tipo de ejemplo de división corresponde al elemento 0 en${\displaystyle H^{2}(G,A)}$bajo la correspondencia anterior. Ejemplos más serios se encuentran en la teoría de las representaciones proyectivas , en casos donde la representación proyectiva no puede elevarse a una representación lineal ordinaria .

En el caso de grupos perfectos finitos , existe una extensión central perfecta universal .

De manera similar, la extensión central de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una secuencia exacta

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$está en el centro de${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$.

Existe una teoría general de extensiones centrales en variedades de Maltsev . ^{[ 4 ]}

• Extensión de álgebra
• Extensión del álgebra de Lie
• Álgebra de Virasoro
• Extensión HNN
• Contracción de grupo
• Extensión de un grupo topológico

• Mac Lane, Saunders (1975), Homología , Clásicos en Matemáticas, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
• Taylor, RL (1954), "Grupos de recubrimiento de grupos topológicos no conexos", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 5 (5): 753– 768, doi : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0
• Brown, R.; Mucuk, O. (1994), "Revisión de los grupos de cobertura de grupos topológicos no conexos", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 115 (1): 97– 110, doi : 10.1017/S0305004100071942