cinco lemas cortos

En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y otras aplicaciones de la teoría de categorías abelianas , el lema cinco corto es un caso especial del lema cinco . Afirma que para el siguiente diagrama conmutativo (en cualquier categoría abeliana o en la categoría de grupos ), si las filas son secuencias exactas cortas y si g y h son isomorfismos , entonces f también es un isomorfismo.

Se deduce inmediatamente del lema cinco .

La esencia del lema se puede resumir de la siguiente manera: si existe un homomorfismo f de un objeto B a un objeto B ′ , y este homomorfismo induce un isomorfismo de un subobjeto A de B a un subobjeto A ′ de B ′ y también un isomorfismo del objeto factor B / A a B ′ / A ′ , entonces f mismo es un isomorfismo. Sin embargo, cabe señalar que la existencia de f (de tal manera que el diagrama conmuta) debe asumirse desde el principio; dos objetos B y B ′ que simplemente tienen subobjetos y objetos factor isomorfos no tienen por qué ser isomorfos entre sí (por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos , B podría ser el grupo cíclico de orden cuatro y B ′ el grupo de Klein de orden cuatro ).

• Hungerford, Thomas W. (2003) [1980]. Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  73. Berlín: Springer-Verlag . pág.  176. ISBN 0-387-90518-9. Zbl 0442.00002 . 
• Pedicchio, Maria Cristina ; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Vol.  97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .