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En matemáticas , un politopo abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que captura ciertas propiedades combinatorias de un politopo tradicional sin especificar propiedades puramente geométricas como la posición de los vértices. [ 1 ]
Se dice que un politopo geométrico es una realización de un politopo abstracto en algún espacio real n- dimensional , típicamente euclidiano . Esta definición abstracta permite estructuras combinatorias más generales que las definiciones tradicionales de politopo, lo que posibilita la creación de nuevos objetos que no tienen equivalente en la teoría tradicional.
Principios
politopos tradicionales versus politopos abstractos
En geometría euclidiana, dos figuras que no son similares pueden, sin embargo, compartir una estructura común. Por ejemplo, un cuadrado y un trapecio están formados por una cadena alternada de cuatro vértices y cuatro lados, lo que los convierte en cuadriláteros . Se dice que son isomorfos o que conservan su estructura.
Esta estructura común puede representarse mediante un politopo abstracto subyacente, un conjunto parcialmente ordenado puramente algebraico que captura el patrón de conexiones (o incidencias) entre los distintos elementos estructurales. Las propiedades medibles de los politopos tradicionales, como ángulos, longitudes de aristas, asimetría, rectitud y convexidad, carecen de significado para un politopo abstracto.
Lo que es cierto para los politopos tradicionales (también llamados politopos clásicos o geométricos) puede no serlo para los abstractos, y viceversa. Por ejemplo, un politopo tradicional es regular si todas sus facetas y figuras de vértices son regulares , pero esto no es necesariamente cierto para un politopo abstracto. [ 2 ]
Realizaciones
Se dice que un politopo tradicional es una realización del politopo abstracto asociado. Una realización es una proyección o inyección del objeto abstracto en un espacio real, típicamente euclidiano , para construir un politopo tradicional como una figura geométrica real.
Los seis cuadriláteros mostrados son realizaciones distintas del cuadrilátero abstracto, cada una con propiedades geométricas diferentes. Algunos no se ajustan a las definiciones tradicionales de cuadrilátero y se consideran realizaciones no fieles . Un politopo convencional es una realización fiel.
Rostros, rangos y ordenamiento
En un politopo abstracto, cada elemento estructural (vértice, arista, celda, etc.) se asocia con un miembro correspondiente del conjunto. El término cara se utiliza para referirse a cualquiera de estos elementos, por ejemplo, un vértice (cara 0), una arista (cara 1) o una cara k general , y no solo a una cara poligonal 2.
Las caras se clasifican según su dimensión real asociada: los vértices tienen rango 0, las aristas rango 1, y así sucesivamente.
Las caras incidentes de diferentes rangos, por ejemplo, un vértice F de una arista G, se ordenan según la relación F < G. Se dice que F es una subcara de G.
Se dice que F y G son incidentes si F = G, F < G o G < F. Este uso de "incidencia" también se da en la geometría finita , aunque difiere de la geometría tradicional y de otras áreas de las matemáticas. Se entiende en términos de los nodos y vértices en el diagrama de Hasse del politopo, no en su representación geométrica. Por ejemplo, en el cuadrado ABCD , las aristas AB y BC no son incidentes en abstracto, como se puede observar en el diagrama de Hasse anterior (aunque ambas son incidentes, en sentido geométrico, con el vértice B en la representación geométrica).
Un politopo se define entonces como un conjunto de caras P con una relación de orden < . Formalmente, P (con < ) será un conjunto parcialmente ordenado (estricto) , o poset .
Los rostros más pequeños y más grandes
Así como el número cero es necesario en matemáticas, también todo conjunto tiene el conjunto vacío ∅ como subconjunto. En un politopo abstracto, ∅ se identifica por convención como la cara menor o nula y es una subcara de todas las demás. Dado que la cara menor está un nivel por debajo de los vértices o caras 0, su rango es −1 y puede denotarse como F −1 . Por lo tanto, F −1 ≡ ∅ y el politopo abstracto también contiene el conjunto vacío como un elemento. [ 3 ] Por lo general no se realiza, aunque la falta de su realización podría interpretarse como que se realiza como el conjunto que no contiene puntos, el conjunto vacío.
También existe una única cara de la cual todas las demás son subcaras. Esta se denomina cara principal . En un politopo n -dimensional, la cara principal tiene rango = n y se puede denotar como F n . A veces se representa como el interior de la figura geométrica.
Estas caras, la más pequeña y la más grande, a veces se denominan caras impropias , mientras que todas las demás son caras apropiadas . [ 4 ]
Un ejemplo sencillo
Las caras del cuadrilátero o cuadrado abstracto se muestran en la tabla siguiente:
La relación < comprende un conjunto de pares, que aquí incluyen
- F −1 < a , ... , F −1 <X, ... , F −1 <G, ... , b <Y, ... , c <G, ... , Z<G.
Las relaciones de orden son transitivas , es decir, F < G y G < H implica que F < H. Por lo tanto, para especificar la jerarquía de caras, no es necesario dar todos los casos de F < H, solo los pares donde uno es sucesor del otro, es decir, donde F < H y ningún G satisface F < G < H.
Los bordes W, X, Y y Z a veces se escriben como ab , ad , bc y cd respectivamente, pero dicha notación no siempre es apropiada.
Los cuatro lados son estructuralmente similares, al igual que los vértices. Por lo tanto, la figura posee la simetría de un cuadrado y suele denominarse simplemente cuadrado.
El diagrama de Hasse
Los conjuntos parcialmente ordenados más pequeños, y en particular los politopos, suelen visualizarse mejor en un diagrama de Hasse , como se muestra. Por convención, las caras de igual rango se colocan en el mismo nivel vertical. Cada "línea" entre caras, por ejemplo F y G, indica una relación de orden < tal que F < G, donde F está debajo de G en el diagrama.
El diagrama de Hasse define el conjunto parcialmente ordenado único y, por lo tanto, captura completamente la estructura del politopo. Los politopos isomorfos dan lugar a diagramas de Hasse isomorfos, y viceversa. Esto no suele ser cierto para la representación gráfica de los politopos.
Rango
El rango de una cara F se define como ( m − 2), donde m es el número máximo de caras en cualquier cadena (F', F", ... , F) que satisface F' < F" < ... < F. F' es siempre la cara más pequeña, F −1 .
El rango de un politopo abstracto P es el rango máximo n de cualquier cara. Siempre es el rango de la cara más grande F n .
En la teoría tradicional , el rango de una cara o politopo suele corresponder a la dimensión de su contraparte.
Para algunos rangos, sus tipos de rostro se nombran en la siguiente tabla.
† Tradicionalmente, "cara" se refería a una cara de rango 2 o 2-cara. En teoría abstracta, el término "cara" denota una cara de cualquier rango.
Banderas
En geometría, una bandera es una cadena máxima de caras, es decir, un conjunto (totalmente) ordenado Ψ de caras, cada una subcara de la siguiente (si la hay), y tal que Ψ no es un subconjunto de ninguna cadena mayor. Dadas dos caras distintas F y G en una bandera, se cumple que F < G o F > G.
Por ejemplo, { ø , a , ab , abc } es una bandera en el triángulo abc .
Para un politopo dado, todas las banderas contienen el mismo número de caras. Otros conjuntos parcialmente ordenados, en general, no cumplen este requisito.
Secciones
Cualquier subconjunto P' de un poset P es un poset (con la misma relación <, restringida a P').
En un politopo abstracto, dadas dos caras cualesquiera F y H de P tales que F ≤ H , el conjunto { G | F ≤ G ≤ H } se denomina sección de P y se denota H / F. (En teoría del orden, una sección se denomina intervalo cerrado del conjunto parcialmente ordenado y se denota [ F , H ].)
Por ejemplo, en el prisma abcxyz (ver diagrama), la sección xyz / ø (resaltada en verde) es el triángulo.
- { ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.
Una k -sección es una sección de rango k .
P es, por lo tanto, una sección de sí mismo.
Este concepto de sección no tiene el mismo significado que en la geometría tradicional.
Facetas
La faceta para una cara j dada F es la sección ( j − 1 ) F /∅, donde F j es la cara más grande.
Por ejemplo, en el triángulo abc , la faceta en ab es ab / ∅ = { ∅, a, b, ab }, que es un segmento de línea.
La distinción entre F y F /∅ no suele ser significativa y a menudo se las trata como idénticas.
Figuras de vértice
La figura del vértice en un vértice V dado es la sección ( n − 1) F n / V , donde F n es la cara más grande.
Por ejemplo, en el triángulo abc , el vértice en b es abc / b = { b, ab, bc, abc }, que es un segmento de línea. Los vértices de un cubo son triángulos.
Conexión
Un poset P es conexo si P tiene rango ≤ 1, o, dadas dos caras propias cualesquiera F y G, existe una secuencia de caras propias.
- H 1 , H 2 , ... ,H k
de tal manera que F = H 1 , G = H k , y cada H i , i < k, es incidente con su sucesor.
La condición anterior garantiza que un par de triángulos disjuntos abc y xyz no sea un politopo (único).
Un conjunto parcialmente ordenado P es fuertemente conexo si cada sección de P (incluido P mismo) es conexa.
Con este requisito adicional, también se excluyen dos pirámides que comparten solo un vértice. Sin embargo, dos pirámides cuadradas, por ejemplo, pueden unirse por sus caras cuadradas, formando un octaedro. En ese caso, la cara común no es una cara del octaedro.
Definición formal
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado , cuyos elementos llamamos caras , que satisface los 4 axiomas: [ 1 ]
- Tiene solo una cara menos importante y una cara más importante .
- Todas las banderas contienen el mismo número de caras.
- Está fuertemente conectado .
- Si los rangos de dos caras a > b difieren en 2, entonces hay exactamente 2 caras que se encuentran estrictamente entre a y b .
Un n -politopo es un politopo de rango n . El politopo abstracto asociado a un politopo convexo real también se denomina su retículo de caras . [ 5 ]
Los politopos más simples
Rango < 1
Existe un único conjunto parcialmente ordenado para cada rango -1 y 0. Estos son, respectivamente, la cara nula y el punto. No siempre se consideran politopos abstractos válidos.
Rango 1: el segmento de línea
Solo existe un politopo de rango 1, que es el segmento de línea. Tiene una cara mínima, dos caras de rango 0 y una cara máxima, por ejemplo {ø, a, b, ab }. De ello se deduce que los vértices a y b tienen rango 0, y que la cara máxima ab , y por lo tanto el conjunto parcialmente ordenado, tienen rango 1.
Rango 2: polígonos
Para cada p , 3 ≤ p <, tenemos (el equivalente abstracto de) el polígono tradicional con p vértices y p aristas, o un p -gono. Para p = 3, 4, 5, ... tenemos el triángulo, el cuadrado, el pentágono, ....
Para p = 2, tenemos el digon , y p =obtenemos el apeirogon .
El digon
Un digon es un polígono con solo dos aristas. A diferencia de cualquier otro polígono, ambas aristas tienen los mismos dos vértices. Por esta razón, es degenerado en el plano euclidiano .
A veces, las caras se describen utilizando la "notación de vértices", por ejemplo, { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } para el triángulo abc . Este método tiene la ventaja de implicar la relación < .
Con el digon no se puede utilizar esta notación de vértice . Es necesario dar a las caras símbolos individuales y especificar los pares de subcaras F < G.
Así, un digon se define como un conjunto { ø , a , b , E', E", G} con la relación < dada por
- { ø < a , ø < b , a <E', a <E", b <E', b <E", E'<G, E"<G}
donde E' y E" son los dos bordes, y G la cara más grande.
Esta necesidad de identificar cada elemento del politopo con un símbolo único se aplica a muchos otros politopos abstractos y, por lo tanto, es una práctica común.
Un politopo solo puede describirse completamente mediante la notación de vértices si cada cara incide en un conjunto único de vértices . Un politopo que posee esta propiedad se denomina atomístico .
Ejemplos de rango superior
El conjunto de j -caras (−1 ≤ j ≤ n ) de un n -politopo tradicional forman un n- politopo abstracto.
El concepto de politopo abstracto es más general y también incluye:
- Apeirotopos o politopos infinitos, que incluyen teselaciones (recubrimientos).
- Descomposiciones propias de variedades no acotadas como el toro o el plano proyectivo real .
- Muchos otros objetos, como el de 11 celdas y el de 57 celdas , no pueden representarse fielmente en espacios euclidianos.
Hosoedros y hosótopos
El digon se generaliza mediante el hosoedro y los hosótopos de dimensiones superiores, que pueden representarse como poliedros esféricos ; estos teselan la esfera.
politopos proyectivos
Cuatro ejemplos de poliedros abstractos no tradicionales son el hemicubo (mostrado), el hemioctaedro , el hemidodecaedro y el hemiicosaedro . Estos son los equivalentes proyectivos de los sólidos platónicos y pueden representarse como poliedros proyectivos (globales) , ya que teselan el plano proyectivo real .
El hemicubo es otro ejemplo de un caso en el que no se puede utilizar la notación de vértices para definir un politopo: todas las caras de 2 lados y la cara de 3 lados tienen el mismo conjunto de vértices.
Dualidad
Todo politopo geométrico tiene un dual . En abstracto, el dual es el mismo politopo, pero con el orden invertido: el diagrama de Hasse solo difiere en sus anotaciones. En un n -politopo, cada una de las k caras originales se corresponde con una cara ( n − k − 1) en el dual. Así, por ejemplo, la cara n se corresponde con la cara (−1). El dual de un dual es isomorfo al original.
Un politopo es autodual si es idéntico a su dual, es decir, isomorfo a él. Por lo tanto, el diagrama de Hasse de un politopo autodual debe ser simétrico respecto al eje horizontal situado a medio camino entre la parte superior e inferior. La pirámide cuadrada del ejemplo anterior es autodual.
La figura del vértice en un vértice V es el dual de la faceta a la que V se corresponde en el politopo dual.
politopos regulares abstractos
Formalmente, un politopo abstracto se define como "regular" si su grupo de automorfismos actúa transitivamente sobre el conjunto de sus banderas. En particular, cualesquiera dos k -caras F y G de un n -politopo son "iguales", es decir, existe un automorfismo que mapea F a G. Cuando un politopo abstracto es regular, su grupo de automorfismos es isomorfo a un cociente de un grupo de Coxeter .
Todos los politopos de rango ≤ 2 son regulares. Los poliedros regulares más conocidos son los cinco sólidos platónicos. El hemicubo (que se muestra) también es regular.
De manera informal, para cada rango k , esto significa que no hay forma de distinguir una cara k de otra: las caras deben ser idénticas, deben tener vecinos idénticos, etc. Por ejemplo, un cubo es regular porque todas sus caras son cuadrados, los vértices de cada cuadrado están unidos a tres cuadrados, y cada uno de estos cuadrados está unido a disposiciones idénticas de otras caras, aristas y vértices, y así sucesivamente.
Esta condición por sí sola es suficiente para garantizar que cualquier politopo abstracto regular tenga caras regulares isomorfas ( n − 1) y figuras de vértices regulares isomorfas.
Esta condición es más débil que la de regularidad para los politopos tradicionales, ya que se refiere al grupo de automorfismos (combinatorios), no al grupo de simetría (geométrico). Por ejemplo, cualquier polígono abstracto es regular, puesto que los ángulos, las longitudes de los bordes, la curvatura de los bordes, la asimetría, etc., no existen para los politopos abstractos.
Existen otros conceptos más débiles, algunos aún no completamente estandarizados, como semirregular , cuasiregular , uniforme , quiral y arquimediano , que se aplican a politopos que tienen algunas, pero no todas, sus caras equivalentes en cada rango.
Realización
Un conjunto de puntos V en un espacio euclidiano dotado de una sobreyección del conjunto de vértices de un politopo abstracto P, tal que los automorfismos de P inducen permutaciones isométricas de V, se denomina realización de un politopo abstracto. [ 6 ] [ 7 ] Dos realizaciones se denominan congruentes si la biyección natural entre sus conjuntos de vértices está inducida por una isometría de sus espacios euclidianos ambiente. [ 8 ] [ 9 ]
Si un politopo abstracto de dimensión n se realiza en un espacio de dimensión n , de manera que su disposición geométrica no infrinja ninguna regla de los politopos tradicionales (como caras curvas o aristas de tamaño cero), se dice que dicha realización es fiel . En general, solo un conjunto restringido de politopos abstractos de rango n puede realizarse fielmente en un espacio de dimensión n dado . La caracterización de este efecto constituye un problema pendiente.
Para un politopo abstracto regular, si los automorfismos combinatorios del politopo abstracto se realizan mediante simetrías geométricas, entonces la figura geométrica será un politopo regular.
Espacio de módulos
El grupo G de simetrías de una realización V de un politopo abstracto P se genera mediante dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. [ 10 ] [ 11 ] El producto de las dos reflexiones puede descomponerse como un producto de una traslación no nula, un número finito de rotaciones y posiblemente una reflexión trivial. [ 12 ] [ 11 ]
En general, el espacio de módulos de realizaciones de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. [ 13 ] [ 14 ] El cono de realización del politopo abstracto tiene una dimensión algebraica infinita no numerable y no puede cerrarse en la topología euclidiana . [ 12 ] [ 15 ]
El problema de la amalgamación y los politopos universales
Una cuestión importante en la teoría de los politopos abstractos es el problema de la amalgama . Se trata de una serie de preguntas como:
- Dados dos politopos abstractos K y L , ¿existe algún politopo P cuyas facetas sean K y cuyas figuras de vértices sean L ?
- Si es así, ¿son todos finitos ?
- ¿Cuáles son los finitos que existen ?
Por ejemplo, si K es el cuadrado y L es el triángulo, las respuestas a estas preguntas son:
- Sí, existen politopos P con caras cuadradas, unidas de tres en tres por vértice (es decir, existen politopos de tipo {4,3}).
- Sí, todos son finitos, específicamente,
- Existe el cubo , con seis caras cuadradas, doce aristas y ocho vértices, y el hemicubo , con tres caras, seis aristas y cuatro vértices.
Se sabe que si la respuesta a la primera pregunta es "Sí" para algunos K y L regulares , entonces existe un politopo único cuyas facetas son K y cuyas figuras de vértice son L , llamado politopo universal con estas facetas y figuras de vértice, que abarca todos los demás politopos de este tipo. Es decir, supongamos que P es el politopo universal con facetas K y figuras de vértice L. Entonces cualquier otro politopo Q con estas facetas y figuras de vértice se puede escribir como Q = P / N , donde
- N es un subgrupo del grupo de automorfismos de P y
- P / N es la colección de órbitas de elementos de P bajo la acción de N , con el orden parcial inducido por el de P.
Q = P / N se llama cociente de P , y decimos que P cubre Q.
Dado este hecho, la búsqueda de politopos con facetas y figuras de vértices particulares generalmente se realiza de la siguiente manera:
- Intentar encontrar el politopo universal aplicable
- Intenta clasificar sus cocientes.
Estos dos problemas son, en general, muy difíciles.
Retomando el ejemplo anterior, si K es el cuadrado y L es el triángulo, el politopo universal { K , L } es el cubo (también escrito {4,3}). El hemicubo es el cociente {4,3}/ N , donde N es un grupo de simetrías (automorfismos) del cubo con solo dos elementos: la identidad y la simetría que asigna a cada vértice (o arista o cara) su opuesto.
Si L es, en cambio, también un cuadrado, el politopo universal { K , L } (es decir, {4,4}) es la teselación del plano euclidiano mediante cuadrados. Esta teselación tiene infinitos cocientes con caras cuadradas, cuatro por vértice, algunos regulares y otros no. Excepto el propio politopo universal, todos corresponden a diversas maneras de teselar un toro o un cilindro infinitamente largo con cuadrados.
La de 11 células y la de 57 células
La celda unicameral , descubierta independientemente por HSM Coxeter y Branko Grünbaum , es un politopo abstracto de dimensión 4. Sus facetas son hemiicosaedros. Dado que sus facetas son, topológicamente, planos proyectivos en lugar de esferas, la celda unicameral no es una teselación de ninguna variedad en el sentido habitual. En cambio, la celda unicameral es un politopo localmente proyectivo. Es autodual y universal: es el único politopo con facetas hemiicosaédricas y figuras de vértice hemidodecaédricas.
La celda 57 también es autodual, con facetas hemidodecaédricas. Fue descubierta por HSM Coxeter poco después del descubrimiento de la celda 11. Al igual que la celda 11, también es universal, siendo el único politopo con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértice hemiicosaédricas. Por otro lado, existen muchos otros politopos con facetas hemidodecaédricas y tipo Schläfli {5,3,5}. El politopo universal con facetas hemidodecaédricas y figuras de vértice icosaédricas (no hemiicosaédricas) es finito, pero muy grande, con 10006920 facetas y la mitad de vértices.
Topología local
El problema de la amalgamación se ha abordado históricamente según la topología local . Es decir, en lugar de restringir K y L a politopos particulares, se les permite ser cualquier politopo con una topología dada , es decir, cualquier politopo que tesele una variedad dada . Si K y L son esféricos (es decir, teselaciones de una esfera topológica ), entonces P se denomina localmente esférico y corresponde a una teselación de alguna variedad. Por ejemplo, si K y L son cuadrados (y, por lo tanto, topológicamente iguales a círculos), P será una teselación del plano, el toro o la botella de Klein mediante cuadrados. Una teselación de una variedad n -dimensional es en realidad un politopo de rango n + 1. Esto concuerda con la intuición común de que los sólidos platónicos son tridimensionales, aunque pueden considerarse teselaciones de la superficie bidimensional de una bola.
En general, un politopo abstracto se denomina localmente X si sus facetas y figuras de vértice son, topológicamente, esferas o X , pero no ambas. Los politopos de 11 y 57 celdas son ejemplos de politopos localmente proyectivos de rango 4 (es decir, de cuatro dimensiones) , ya que sus facetas y figuras de vértice son teselaciones de planos proyectivos reales . Sin embargo, esta terminología presenta una limitación. No permite describir fácilmente un politopo cuyas facetas sean toros y cuyas figuras de vértice sean planos proyectivos, por ejemplo. Peor aún si las diferentes facetas tienen topologías distintas, o ninguna topología bien definida. No obstante, se ha avanzado mucho en la clasificación completa de los politopos regulares localmente toroidales [ 16 ].
Intercambio de mapas
Sea Ψ una bandera de un n- politopo abstracto, y sea −1 < i < n . A partir de la definición de un politopo abstracto, se puede demostrar que existe una bandera única que difiere de Ψ en un elemento de rango i , y la misma en los demás casos. Si llamamos a esta bandera Ψ ( i ) , entonces esto define una colección de aplicaciones sobre las banderas del politopo, digamos φi . Estas aplicaciones se llaman aplicaciones de intercambio , ya que intercambian pares de banderas: ( Ψφi ) φi = Ψ siempre . Algunas otras propiedades de las aplicaciones de intercambio :
- φ i 2 es el mapa identidad
- Los φ i generan un grupo . (La acción de este grupo sobre las banderas del politopo es un ejemplo de lo que se denomina acción de bandera del grupo sobre el politopo).
- Si | yo - j | > 1, φ yo φ j = φ j φ yo
- Si α es un automorfismo del politopo, entonces αφ i = φ i α
- Si el politopo es regular, el grupo generado por el φ i es isomorfo al grupo de automorfismos; de lo contrario, es estrictamente mayor.
Los mapas de intercambio y, en particular, la acción de la bandera, pueden utilizarse para demostrar que cualquier politopo abstracto es un cociente de algún politopo regular.
Matrices de incidencia
Un politopo también puede representarse tabulando sus incidencias .
La siguiente matriz de incidencia corresponde a un triángulo:
La tabla muestra un 1 dondequiera que una cara sea una subcara de otra, o viceversa (por lo que la tabla es simétrica con respecto a la diagonal); de hecho, la tabla tiene información redundante ; bastaría con mostrar solo un 1 cuando la cara de la fila sea menor o igual que la cara de la columna.
Dado que tanto el cuerpo como el conjunto vacío son incidentes con todos los demás elementos, la primera fila y columna, así como la última fila y columna, son triviales y pueden omitirse convenientemente.
Pirámide cuadrada
Se obtiene información adicional al contar cada ocurrencia. Este uso numérico permite una agrupación simétrica , como en el diagrama de Hasse de la pirámide cuadrada : si los vértices B, C, D y E se consideran simétricamente equivalentes dentro del politopo abstracto, entonces las aristas f, g, h y j se agruparán, al igual que las aristas k, l, m y n, y finalmente también los triángulos P , Q , R y S. Por lo tanto, la matriz de incidencia correspondiente de este politopo abstracto se puede mostrar como:
En esta representación de matriz de incidencia acumulada, las entradas de la diagonal representan el recuento total de cada tipo de elemento.
Los elementos de diferente tipo del mismo rango claramente nunca son incidentes, por lo que el valor siempre será 0; sin embargo, para ayudar a distinguir tales relaciones, se utiliza un asterisco (*) en lugar de 0.
Las entradas subdiagonales de cada fila representan los recuentos de incidencia de los subelementos relevantes, mientras que las entradas superdiagonales representan los recuentos de elementos respectivos de la figura de vértice, arista o cualquier otra.
Esta sencilla pirámide cuadrada ya muestra que las matrices de incidencia acumuladas por simetría ya no son simétricas. Pero aún existe una relación de entidades simple (además de las fórmulas generalizadas de Euler para la diagonal, respectivamente las entidades subdiagonales de cada fila, respectivamente los elementos superdiagonales de cada fila, al menos cuando no se consideran agujeros o estrellas, etc.), como para cualquier matriz de incidencia de este tipo.contiene:
Historia
En la década de 1960, Branko Grünbaum hizo un llamamiento a la comunidad geométrica para que considerara generalizaciones del concepto de politopos regulares, a los que denominó poliestromas . Desarrolló una teoría de los poliestromas, mostrando ejemplos de nuevos objetos, incluido el poliestroma de 11 celdas .
La 11-celda es un 4-politopo autodual cuyas facetas no son icosaedros , sino " hemi-icosaedros " ; es decir, tienen la forma que se obtiene al considerar las caras opuestas de los icosaedros como si fueran la misma cara (Grünbaum, 1977). Unos años después del descubrimiento de la 11-celda por Grünbaum , HSM Coxeter descubrió un politopo similar, la 57-celda (Coxeter, 1982, 1984), y posteriormente redescubrió independientemente la 11-celda.
Tras los trabajos previos de Branko Grünbaum , HSM Coxeter y Jacques Tits, que sentaron las bases, la teoría fundamental de las estructuras combinatorias conocidas como politopos abstractos fue descrita por primera vez por Egon Schulte en su tesis doctoral de 1980. En ella, definió los "complejos de incidencia regular" y los "politopos de incidencia regular". Posteriormente, él y Peter McMullen desarrollaron los fundamentos de la teoría en una serie de artículos de investigación que más tarde se recopilaron en un libro. Desde entonces, numerosos investigadores han realizado sus propias contribuciones, y los pioneros iniciales (incluido Grünbaum) también han aceptado la definición de Schulte como la "correcta".
Desde entonces, la investigación en la teoría de politopos abstractos se ha centrado principalmente en politopos regulares , es decir, aquellos cuyos grupos de automorfismos actúan transitivamente sobre el conjunto de banderas del politopo.
Véase también
Notas
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 21-25
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 31
- ↑ McMullen y Schulte 2002
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 23
- ↑ Kaibel, Volker; Schwartz, Alexander (2003). "Sobre la complejidad de los problemas de isomorfismo de politopos" . Graphs and Combinatorics . 19 (2): 215– 230. arXiv : math/0106093 . doi : 10.1007/s00373-002-0503-y . S2CID 179936. Archivado del original el 21 de julio de 2015.
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 121
- ↑ McMullen 1994 , pág. 225.
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 126.
- ↑ McMullen 1994 , pág. 229.
- ^ McMullen y Schulte 2002 , págs. 140-141.
- 1 2 McMullen 1994 , pág. 231.
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 141.
- ^ McMullen y Schulte 2002 , pág. 127.
- ↑ McMullen 1994 , págs. 229–230.
- ↑ McMullen 1994 , pág. 232.
- ↑ McMullen y Schulte 2002 .
Referencias
- McMullen, Peter (1994), "Realizaciones de apeirotopos regulares", Aequationes Mathematicae , 47 ( 2– 3): 223– 239, doi : 10.1007/BF01832961 , MR 1268033 , S2CID 121616949
- McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0
- El mundo de Jaron: formas en otras dimensiones , revista Discover , abril de 2007
- Dr. Richard Klitzing, Matrices de incidencia
- Schulte, E.; "Simetría de politopos y poliedros", Manual de geometría discreta y computacional , editado por Goodman, JE y O'Rourke, J., 2.ª ed., Chapman & Hall, 2004.
- Topología algebraica
- Geometría de incidencia
- politopos
