Teorema fundamental de la aritmética

En *Disquisitiones Arithmeticae* (1801), Gauss demostró el teorema de factorización única ^{[ 1 ]} y lo utilizó para demostrar la ley de reciprocidad cuadrática . ^{[ 2 ]}

En matemáticas , el teorema fundamental de la aritmética , también llamado teorema de factorización única y teorema de factorización prima , establece que todo entero mayor que 1 es primo o puede representarse de forma única como un producto de números primos , hasta el orden de los factores. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Por ejemplo,

1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot (5\cdot 5)=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=\ldots

El teorema dice dos cosas sobre este ejemplo: primero, que 1200 se puede representar como un producto de números primos, y segundo, que no importa cómo se haga, siempre habrá exactamente cuatro 2, un 3, dos 5 y ningún otro número primo en el producto.

Es necesario el requisito de que los factores sean primos: las factorizaciones que contienen números compuestos pueden no ser únicas (por ejemplo, $12=2\cdot 6=3\cdot 4$ ).

Utilizando las convenciones estándar para el producto de una secuencia (el valor del producto vacío es1 y el producto de un solo factor es el factor mismo), el teorema se suele enunciar como: todo entero positivo puede representarse de forma única como un producto de números primos, hasta el orden de los factores .

Este teorema es una de las principales razones por las que 1 no se considera un número primo : si 1 fuera primo, entonces la factorización en primos no sería única; por ejemplo, $2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots$

El teorema se generaliza a otras estructuras algebraicas llamadas dominios de factorización única , que incluyen dominios de ideales principales , dominios euclidianos y anillos de polinomios sobre un cuerpo . Sin embargo, el teorema no se cumple para los enteros algebraicos . ^{[ a ]} Este fallo de la factorización única es una de las razones de la dificultad de la demostración del Último Teorema de Fermat . El uso implícito de la factorización única en anillos de enteros algebraicos está detrás del error de muchas de las numerosas demostraciones falsas que se han escrito durante los 358 años transcurridos entre el enunciado de Fermat y la demostración de Wiles .

Historia

El teorema fundamental se puede derivar del Libro VII, proposiciones 30, 31 y 32, y del Libro IX, proposición 14 de los Elementos de Euclides .

Si al multiplicar dos números entre sí se obtiene otro número, y el producto es un número primo, también medirá uno de los números originales.

— Euclides, Elementos, Libro VII , Proposición 30

(En terminología moderna: si un número primo p divide al producto ab , entonces p divide a a , b o a ambos). La proposición 30 se conoce como el lema de Euclides y es clave en la demostración del teorema fundamental de la aritmética.

Cualquier número compuesto se mide mediante algún número primo.

— Euclides, Elementos, Libro VII , Proposición 31

(En terminología moderna: todo entero mayor que uno es divisible exactamente por algún número primo). La proposición 31 se demuestra directamente por descenso infinito .

Cualquier número es primo o se mide mediante algún número primo.

— Euclides, Elementos, Libro VII , Proposición 32

La proposición 32 se deriva de la proposición 31 y demuestra que la descomposición es posible.

Si un número es el menor que se puede medir con números primos, no se podrá medir con ningún otro número primo excepto con aquellos que lo midieron originalmente.

— Euclides, Elementos, Libro IX , Proposición 14

(En terminología moderna: el mínimo común múltiplo de varios números primos no es múltiplo de ningún otro número primo). La proposición 14 del Libro IX se deriva de la proposición 30 del Libro VII y prueba parcialmente que la descomposición es única, un punto que André Weil señaló críticamente . ^{[ b ]} En efecto, en esta proposición todos los exponentes son iguales a uno, por lo que no se dice nada para el caso general.

Mientras que Euclides dio el primer paso hacia la existencia de la factorización prima, Kamāl al-Dīn al-Fārisī dio el paso final ^{[ c ]} y enunció por primera vez el teorema fundamental de la aritmética. ^{[ d ]}

El artículo 16 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss parece ser la primera prueba de la parte de unicidad del teorema. ^[¹^]

Aplicaciones

Representación canónica de un número entero positivo

Todo entero positivo $n > 1$ puede representarse de una única manera como producto de potencias de números primos.

n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},

donde $p 1 < p 2 < ... < p k$ son primos y los $n i$ son enteros positivos. Esta representación se extiende comúnmente a todos los enteros positivos, incluido el 1, mediante la convención de que el producto vacío es igual a 1 (el producto vacío corresponde a $k = 0$ ).

Esta representación se denomina representación canónica ^{[ 6 ]} de $n$ , o forma estándar ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} de n . Por ejemplo,

999 = 3 ³ ×37,

1000 = 2 ³ ×5 ³ ,

1001 = 7×11×13.

Los factores $p 0 = 1$ pueden insertarse sin cambiar el valor de $n$ (por ejemplo, $1000 = 2 3 \times3 0 \times5 3$ ). De hecho, cualquier entero positivo puede representarse de forma única como un producto infinito tomado sobre todos los números primos positivos, como

n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},

donde un número finito de los $n i$ son enteros positivos, y los demás son cero.

Permitir exponentes negativos proporciona una forma canónica para los números racionales positivos .

Operaciones aritméticas

Las representaciones canónicas del producto, el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos números a y b pueden expresarse simplemente en términos de las representaciones canónicas de a y b mismos:

{\begin{alignedat}{2}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&=\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\gcd(a,b)&=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}

Sin embargo, la factorización de números enteros , especialmente de números grandes, es mucho más difícil que calcular productos, máximos comunes divisores o mínimos comunes múltiplos, por lo que estas fórmulas tienen un uso limitado en la práctica.

Funciones aritméticas

Muchas funciones aritméticas se definen mediante la representación canónica. En particular, los valores de las funciones aditivas y multiplicativas se determinan por sus valores en potencias de números primos.

Prueba

La prueba de unicidad utiliza el lema de Euclides ( Elementos VII, 30): Si un número primo divide el producto de dos enteros, entonces debe dividir al menos a uno de estos enteros.

Existencia

Debe demostrarse que todo entero mayor que $1$ es primo o producto de primos. Sea $n$ un entero mayor que $1$ y hagamos la suposición inductiva de que todo entero mayor que $1$ y menor que $n$ es primo o producto de primos. Si $n$ es primo, no hay nada más que demostrar. De lo contrario, hay enteros $a$ y $b$ , donde $n = ab$ , y $1 < a \leq b < n$ . Por la hipótesis inductiva, $a = p 1 p 2 \cdot\cdot\cdot p j$ y $b = q 1 q 2 \cdot\cdot\cdot q k$ son productos de primos. Pero entonces $n = ab = p 1 p 2 \cdot\cdot\cdot p j q 1 q 2 \cdot\cdot\cdot q k$ es un producto de primos.

Unicidad

Supongamos, por el contrario, que hay un entero que tiene dos factorizaciones primas distintas. Sea $n$ el menor de estos enteros y escribamos $n = p 1 p 2 ... p j = q 1 q 2 ... q k$ , donde cada $p i$ y $q i$ es primo. Vemos que $p 1$ divide $a q 1 q 2 ... q k$ , por lo que $p 1$ divide a algún $q i$ por el lema de Euclides . Sin pérdida de generalidad, digamos que $p 1$ divide $a q 1$ . Como $p 1$ y $q 1$ son ambos primos, se deduce que $p 1 = q 1$ . Volviendo a nuestras factorizaciones de $n$ , podemos cancelar estos dos factores para concluir que $p 2 ... p j = q 2 ... q k$ . Ahora tenemos dos factorizaciones primas distintas de algún entero estrictamente menor que $n$ , lo que contradice la minimalidad de $n$ .

Unicidad sin el lema de Euclides

El teorema fundamental de la aritmética también puede demostrarse sin utilizar el lema de Euclides. ^{[ 9 ]} La demostración que sigue está inspirada en la versión original de Euclides del algoritmo euclidiano .

Supongamos que $s$ es el entero positivo más pequeño que es el producto de números primos de dos maneras diferentes. Casualmente, esto implica que $s$ , si existe, debe ser un número compuesto mayor que $1$ Ahora, dime.

{\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}

Cada $p_{i}$ debe ser distinto de cada $q_{j}.$ De lo contrario, si dices $p_{i}=q_{j},$ entonces existiría algún número entero positivo $t=s/p_{i}=s/q_{j}$ que es menor que $s$ y tiene dos factorizaciones primas distintas. También se puede suponer que $p_{1}<q_{1},$ intercambiando las dos factorizaciones, si fuera necesario.

Configuración $P=p_{2}\cdots p_{m}$ y $Q=q_{2}\cdots q_{n},$ uno tiene $s=p_{1}P=q_{1}Q.$ Además, dado que $p_{1}<q_{1},$ uno tiene $Q<P.$ De ello se deduce que

s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(PQ)<s.

Como se ha supuesto que los enteros positivos menores que $s$ tienen una factorización prima única, $p_{1}$ debe ocurrir en la factorización de cualquiera de los dos $q_{1}-p_{1}$ o $Q.$ Este último caso es imposible, ya que $Q$ , al ser menor que $s$ , debe tener una única factorización prima, y $p_{1}$ difiere de cada uno $q_{j}.$ El primer caso también es imposible, ya que, si $p_{1}$ es un divisor de $q_{1}-p_{1},$ También debe ser un divisor de $q_{1},$ lo cual es imposible como $p_{1}$ y $q_{1}$ son números primos distintos.

Por lo tanto, no puede existir un entero más pequeño con más de una única factorización prima distinta. Todo entero positivo debe ser un número primo en sí mismo, que se factorizaría de forma única, o un compuesto que también se factoriza de forma única en números primos, o en el caso del entero $1$ , no influye en ningún factor primo.

Generalizaciones

La primera generalización del teorema se encuentra en la segunda monografía de Gauss (1832) sobre la reciprocidad bicuadrática . Este artículo introdujo lo que ahora se denomina el anillo de enteros gaussianos , el conjunto de todos los números complejos a + bi donde a y b son enteros. Ahora se denota por $\mathbb {Z} [i].$ Demostró que este anillo tiene las cuatro unidades ±1 y ± i , que los números distintos de cero y de unidades se dividen en dos clases: primos y compuestos, y que los compuestos tienen una factorización única como producto de primos ( salvo el orden y la multiplicación por unidades). ^{[ 10 ]}

De manera similar, en 1844, mientras trabajaba en la reciprocidad cúbica , Eisenstein introdujo el anillo $\mathbb {Z} [\omega ]$ , dónde ${\textstyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$ es una raíz cúbica de la unidad (es decir, $\omega ^{3}=1$ ). Este es el anillo de enteros de Eisenstein , y él demostró que tiene las seis unidades $\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}$ y que tiene factorización única.

Sin embargo, también se descubrió que la factorización única no siempre se cumple. Un ejemplo lo proporciona $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ . En este anillo se tiene ^{[ 11 ]}

6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).

Ejemplos como este provocaron que se modificara la noción de "primo". $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ Se puede demostrar que si alguno de los factores anteriores se puede representar como un producto, por ejemplo, 2 = ab , entonces uno de a o b debe ser una unidad. Esta es la definición tradicional de "primo". También se puede demostrar que ninguno de estos factores obedece el lema de Euclides; por ejemplo, 2 no divide a ninguno. $(1+{\sqrt {-5}})$ ni $(1-{\sqrt {-5}})$ aunque divide su producto 6. En teoría algebraica de números, 2 se llama irreducible en $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ (solo divisible por sí mismo o por una unidad) pero no primo en $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ (si divide un producto, debe dividir uno de los factores). La mención de $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ es necesario porque 2 es primo e irreducible en $\mathbb {Z} .$ Utilizando estas definiciones se puede demostrar que en cualquier dominio de integridad un primo debe ser irreducible. El lema clásico de Euclides se puede reformular como "en el anillo de los enteros $\mathbb {Z}$ "Todo irreducible es primo". Esto también es cierto en $\mathbb {Z} [i]$ y $\mathbb {Z} [\omega ],$ pero no en $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].$

Los anillos en los que la factorización en irreducibles es esencialmente única se denominan dominios de factorización única . Ejemplos importantes son los anillos de polinomios sobre los números enteros o sobre un cuerpo , los dominios euclidianos y los dominios de ideales principales .

En 1843, Kummer introdujo el concepto de número ideal , que Dedekind desarrolló posteriormente (1876) en la teoría moderna de los ideales , subconjuntos especiales de anillos. La multiplicación está definida para los ideales, y los anillos en los que tienen factorización única se denominan dominios de Dedekind .

Existe una versión de factorización única para ordinales , aunque requiere algunas condiciones adicionales para garantizar la unicidad.

Todo monoide de Möbius conmutativo satisface un teorema de factorización única y, por lo tanto, posee propiedades aritméticas similares a las del semigrupo multiplicativo de los enteros positivos. El Teorema Fundamental de la Aritmética es, de hecho, un caso particular del teorema de factorización única en monoides de Möbius conmutativos.

Véase también

Factorización de enteros
Lista de teoremas llamados fundamentales
Firma prima , una caracterización de cuántos números primos dividen a un número dado.

Notas

↑ En un anillo de enteros algebraicos , la factorización en elementos primos puede no ser única, pero se puede recuperar una factorización única si se factoriza en ideales .
↑ Weil (2007 , p. 5): "Incluso en Euclides, no encontramos una afirmación general sobre la unicidad de la factorización de un entero en primos; seguramente pudo haber sido consciente de ello, pero todo lo que tiene es una afirmación (Eucl.IX.I4) sobre el mcm de cualquier número de primos dados."
↑ A. Goksel Agargun y E. Mehmet Özkan. "Un estudio histórico del teorema fundamental de la aritmética" (PDF) . Historia Mathematica : 209. Se podría decir que Euclides da el primer paso hacia la existencia de la factorización prima, y al-Farisi da el paso final al demostrar la existencia de una factorización prima finita en su primera proposición.
↑ Rashed, Roshdi (11 de septiembre de 2002). Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe . Routledge. pág. 385. ISBN 9781134977246El célebre físico y matemático Kamal al-Din al-Farisi elaboró un trabajo en el que se propuso demostrar deliberadamente el teorema de Ibn Qurra mediante un método algebraico. Esto lo obligó a comprender las primeras funciones aritméticas y a realizar una preparación exhaustiva que le permitió enunciar por primera vez el teorema fundamental de la aritmética.

Citas

1 2 Gauss (1986 , art. 16)
↑ Gauss (1986 , art. 131)
↑ Long (1972 , pág. 44)
↑ Pettofrezzo y Byrkit (1970 , pág. 53)
↑ Hardy y Wright (2008 , Teorema 2)
↑ Long (1972 , pág. 45)
↑ Pettofrezzo y Byrkit (1970 , pág. 55)
↑ Hardy y Wright (2008 , § 1.2)
↑ Dawson, John W. (2015), ¿ Por qué volver a demostrarlo? Demostraciones alternativas en la práctica matemática. , Springer, p. 45, ISBN 9783319173689
↑ Gauss, BQ, §§ 31–34
↑ Hardy y Wright (2008 , § 14.6)

Referencias

Las Disquisitiones Arithmeticae han sido traducidas del latín al inglés y al alemán. La edición alemana incluye todos sus trabajos sobre teoría de números: todas las demostraciones de la reciprocidad cuadrática, la determinación del signo de la suma de Gauss, las investigaciones sobre la reciprocidad bicuadrática y notas inéditas.

Gauss, Carl Friedrich (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Segunda edición corregida) , traducido por Clarke, Arthur A., Nueva York: Springer , ISBN 978-0-387-96254-2
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (Segunda edición) (en alemán), traducido por Maser, H., Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Las dos monografías que Gauss publicó sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene los §§ 1–23 y la segunda los §§ 24–76. Las notas al pie que hacen referencia a estas tienen el formato «Gauss, BQ, § n ». Las notas al pie que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen el formato «Gauss, DA, Art. n ».

Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 6
Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: Comentario. Soc. ciencia regiae, Gotinga 7

Estos se encuentran en Gauss's Werke , Vol. II, pp. 65–92 y 93–148; las traducciones al alemán están en las pp. 511–533 y 534–586 de la edición alemana de las Disquisitiones .

Euclides (1956), Los trece libros de los Elementos , vol. 2 (Libros III-IX), Traducido por Thomas Little Heath (Segunda edición, edición íntegra), Nueva York: Dover , ISBN 978-0-486-60089-5{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938], Introducción a la teoría de los números , revisada por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243 , Zbl 1159.11001
Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2.ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN 77-171950 .
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN 77-81766 .
Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos para la factorización (segunda edición) , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
Weil, André (2007) [1984], Teoría de los números: Un acercamiento a través de la historia desde Hammurabi hasta Legendre , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6

Enlaces externos

¿Por qué el teorema fundamental de la aritmética no es obvio?
MCD y el Teorema Fundamental de la Aritmética en cut-the-knot .
PlanetMath: Demostración del teorema fundamental de la aritmética
Blog sobre el Último Teorema de Fermat: Factorización Única , un blog que abarca la historia del Último Teorema de Fermat, desde Diofanto de Alejandría hasta la demostración de Andrew Wiles .
"Teorema fundamental de la aritmética" de Hector Zenil, Proyecto de demostraciones de Wolfram , 2007.
Grime, James (3 de febrero de 2012), "1 y los números primos" , Numberphile , Brady Haran , archivado del original el 11 de diciembre de 2021.
Teorema fundamental de la aritmética

[6] En un anillo de enteros algebraicos , la factorización en elementos primos puede no ser única, pero se puede recuperar una factorización única si se factoriza en ideales .

[7] Weil (2007 , p. 5): "Incluso en Euclides, no encontramos una afirmación general sobre la unicidad de la factorización de un entero en primos; seguramente pudo haber sido consciente de ello, pero todo lo que tiene es una afirmación (Eucl.IX.I4) sobre el mcm de cualquier número de primos dados."

[8] A. Goksel Agargun y E. Mehmet Özkan. "Un estudio histórico del teorema fundamental de la aritmética" (PDF) . Historia Mathematica : 209. Se podría decir que Euclides da el primer paso hacia la existencia de la factorización prima, y al-Farisi da el paso final al demostrar la existencia de una factorización prima finita en su primera proposición.

[9] Rashed, Roshdi (11 de septiembre de 2002). Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe . Routledge. pág. 385. ISBN 9781134977246El célebre físico y matemático Kamal al-Din al-Farisi elaboró un trabajo en el que se propuso demostrar deliberadamente el teorema de Ibn Qurra mediante un método algebraico. Esto lo obligó a comprender las primeras funciones aritméticas y a realizar una preparación exhaustiva que le permitió enunciar por primera vez el teorema fundamental de la aritmética.

[Gauss1801.loc=16-1] 1 2 Gauss (1986 , art. 16)

[2] Gauss (1986 , art. 131)

[3] Long (1972 , pág. 44)

[4] Pettofrezzo y Byrkit (1970 , pág. 53)

[5] Hardy y Wright (2008 , Teorema 2)

[10] Long (1972 , pág. 45)

[11] Pettofrezzo y Byrkit (1970 , pág. 55)

[12] Hardy y Wright (2008 , § 1.2)

[13] Dawson, John W. (2015), ¿ Por qué volver a demostrarlo? Demostraciones alternativas en la práctica matemática. , Springer, p. 45, ISBN 9783319173689

[14] Gauss, BQ, §§ 31–34

[15] Hardy y Wright (2008 , § 14.6)

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