Potencia de dos

Una potencia de dos es un número de la forma $2ⁿ,$ donde $n$ es un entero , es decir, el resultado de la exponenciación con el número dos como base y el entero $n$ como exponente . En la jerarquía de crecimiento rápido , $2ⁿ$ es exactamente igual a . En la jerarquía de Hardy $, 2ⁿ$ $es$ exactamente $igual$ a . $f_{1}^{n}(1)$ $H_{\omega {n}}(1)$

$Las potencias de$ dos con exponentes no negativos son números enteros: $2⁰ = 1,$ 2¹ $= 2,$ y $2ⁿ$ es dos multiplicado por sí mismo $n$ veces. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Las primeras diez potencias de 2 para valores no negativos de $n$ son:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (secuencia A000079 en el OEIS )

En comparación, las potencias de dos con exponentes negativos son fracciones : para un entero positivo $n$ , $2 - n$ es un medio multiplicado por sí mismo $n$ veces. Por lo tanto, las primeras potencias negativas de 2 son :1/2,1/4,1/8,1/16, etc. A veces se les llama potencias inversas de dos porque cada una es el inverso multiplicativo de una potencia positiva de dos.

Base del sistema numérico binario

Dado que el dos es la base del sistema numérico binario , las potencias de dos son comunes en informática . Escrita en binario, una potencia de dos siempre tiene la forma 100...000 o 0.00...001, al igual que una potencia de 10 en el sistema decimal .

Ciencias de la Computación

$Dos elevado$ a la potencia de $n$ , escrito como $2ⁿ$ , es el número de valores que pueden adoptar los bits de una palabra binaria de longitud $n$ , donde cada bit puede tomar uno de dos valores. Una palabra, interpretada como la representación de un entero en un rango que comienza en cero, denominada "entero sin signo", puede representar valores desde 0 ( $000...000²)$ hasta $2ⁿ - 1$ ( $111...111²)$ inclusive. Una representación alternativa, denominada entero con signo , permite valores positivos, negativos y cero; véase Representaciones de números con signo . En cualquier caso, uno menos que una potencia de dos suele ser el límite superior de un entero en los sistemas binarios. Por consiguiente, los números de esta forma aparecen con frecuencia en el software. Por ejemplo, un videojuego que se ejecuta en un sistema de 8 bits podría limitar la puntuación o la cantidad de objetos que el jugador puede tener a 255, resultado de usar un byte , que tiene 8 bits de longitud , para almacenar el número, lo que permite la representación de 256 valores distintos de $0$ a $2⁸ - 1 = 255.$ Por ejemplo, en el Legend of Zelda original $,$ el personaje principal estaba limitado a llevar 255 rupias (la moneda del juego) en cualquier momento, y el videojuego Pac-Man tiene una pantalla de muerte en el nivel 256.

Las potencias de dos se utilizan a menudo para definir unidades en las que cuantificar el tamaño de la memoria de las computadoras. Un "byte" ahora normalmente se refiere a ocho bits (un octeto ), lo que resulta en la posibilidad de 256 valores (2⁸ ⁾ . (El término byte alguna vez significó (y en algunos casos, todavía significa) una colección de bits que estaba definida por el contexto del hardware, típicamente de 5 a 32 bits, en lugar de solo una unidad de 8 bits). El prefijo kilo , junto con byte , ha sido utilizado por los científicos de la computación para significar1024 (2 ¹⁰ ). Sin embargo, en general, el término kilo se ha utilizado en el Sistema Internacional de Unidades para significar1000 (10 ³ ). Se ha estandarizado una serie de prefijos binarios , incluido kibi (Ki) que significa1024. Casi todos los registros de procesador tienen tamaños que son potencias de dos bits, siendo muy comunes 8, 16, 32 o 64 bits, siendo los dos últimos los más comunes excepto en procesadores muy pequeños.

Las potencias de dos también aparecen en otros lugares. En muchas unidades de disco , al menos uno de los siguientes parámetros (tamaño del sector, número de sectores por pista y número de pistas por superficie) es una potencia de dos. El tamaño del bloque lógico casi siempre es una potencia de dos.

Los números que están estrechamente relacionados con potencias de dos aparecen en varios diseños de hardware informático, como en el número de píxeles en el ancho y alto de las pantallas de vídeo, donde el número de píxeles en cada dirección suele ser el producto de una potencia de dos y un número pequeño. Por ejemplo, $640 = 128 \times 5$ y $480 = 32 \times 15$ .

Números primos de Mersenne y Fermat

Un número primo que es uno menos que una potencia de dos se llama primo de Mersenne . Por ejemplo, el número primo 31 es un primo de Mersenne porque es uno menos que 32 (2⁵ ⁾ . De manera similar, un número primo (como 257 ) que es uno más que una potencia positiva de dos se llama primo de Fermat : el exponente mismo es una potencia de dos. Una fracción cuyo denominador es una potencia de dos se llama racional diádica . Los números que se pueden representar como sumas de enteros positivos consecutivos se llaman números educados ; son precisamente los números que no son potencias de dos.

Elementos de Euclides , Libro IX

La progresión geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (o, en el sistema numérico binario , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) es importante en la teoría de números . El Libro IX, Proposición 36 de Elementos demuestra que si la suma de los primeros $n$ términos de esta progresión es un número primo (y por lo tanto es un primo de Mersenne como se mencionó anteriormente), entonces esta suma multiplicada por el $n$ -ésimo término es un número perfecto . Por ejemplo, la suma de los primeros 5 términos de la serie $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ , que es un número primo. La suma 31 multiplicada por 16 (el quinto término de la serie) es igual a 496, que es un número perfecto.

El Libro IX, Proposición 35, demuestra que en una serie geométrica, si se resta el primer término del segundo y del último término de la secuencia, entonces el exceso del segundo es igual al exceso del último respecto a todos los anteriores. (Esta es una reformulación de nuestra fórmula para series geométricas de arriba). Aplicando esto a la progresión geométrica 31, 62, 124, 248, 496 (que resulta de 1, 2, 4, 8, 16 al multiplicar todos los términos por 31), vemos que 62 menos 31 es a 31 como 496 menos 31 es a la suma de 31, 62, 124, 248. Por lo tanto, los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 y 248 suman 496 y además estos son todos los números que dividen a 496. Porque supongamos que $p$ divide a 496 y no está entre estos números. Supongamos que $pq$ es igual a $16 \times 31$ , o que 31 es a $q$ como $p$ es a 16. Ahora bien , $p$ no puede dividir a 16, ya que estaría entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Por lo tanto, 31 no puede dividir $a q$ . Y como 31 no divide $a q$ y $q$ mide 496, el teorema fundamental de la aritmética implica que $q$ debe dividir a 16 y estar entre los números 1, 2, 4, 8 o 16. Sea $q$ = 4, entonces $p$ debe ser 124, lo cual es imposible ya que, por hipótesis, $p$ no está entre los números 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 o 248.

Las primeras 64 potencias de dos

(secuencia A000079 en el OEIS )

Últimos dígitos

Comenzando con 2, el último dígito es periódico con período 4, con el ciclo 2–4–8–6–, y comenzando con 4, los dos últimos dígitos son periódicos con período 20. Estos patrones son generalmente verdaderos para cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene como punto de partida $2k$ , y el período es el $orden$ multiplicativo de 2 módulo $5k$ , que es $φ ($ $5k$ $) = 4 \times$ $5k$ $-1$ (ver Grupo multiplicativo $de$ enteros módulo n ).

Potencias de 1024

(secuencia A140300 en el OEIS )

Las primeras potencias de 2 ¹⁰ son ligeramente mayores que esas mismas potencias de1000 (10³ ⁾ . Los primeros 11 valores de potencias de ^2¹⁰ se enumeran a continuación:

Se necesitan aproximadamente 17 potencias de 1024 para alcanzar una desviación del 50% y aproximadamente 29 potencias de 1024 para alcanzar una desviación del 100% de las mismas potencias de 1000. ^{[ 3 ]} Véase también Prefijos binarios e IEEE 1541-2002 .

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos.

Debido a que los datos (específicamente los números enteros) y las direcciones de los datos se almacenan utilizando el mismo hardware, y los datos se almacenan en uno o más octetos ( $2³$ $)$ , las exponenciales dobles de dos son comunes en la informática. Las primeras 21 de ellas son:

Véase también Número de Fermat , Tetración e Hiperoperación § Hiperoperaciones inferiores .

Últimos dígitos para potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos.

Todos estos números mayores que 4 terminan con el dígito 6. A partir de 16, los dos últimos dígitos son periódicos con periodo 4, con el ciclo 16–56–36–96–, y a partir de 16, los tres últimos dígitos son periódicos con periodo 20. Estos patrones generalmente ocurren con cualquier potencia, con respecto a cualquier base . El patrón continúa donde cada patrón tiene un punto de partida $2k$ , y el periodo es el $orden$ multiplicativo de 2 módulo $5k$ , que es $φ (5k$ $)$ $= 4 \times$ $5k$ $-1$ (ver Grupo multiplicativo de enteros módulo n $)$ .

Datos sobre potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos.

En relación con los nimbers , estos números a menudo se denominan potencias de Fermat 2 .

Los números forman una secuencia irracional : para cada secuencia de enteros positivos , la serie $2^{2^{n}}$ $x_{i}$

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

converge a un número irracional . A pesar del rápido crecimiento de esta secuencia, es la secuencia de irracionalidad de crecimiento más lento conocida. ^{[ 4 ]}

Potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos en informática

Dado que es común que los tipos de datos informáticos tengan un tamaño que sea potencia de dos, estos números cuentan la cantidad de valores representables de ese tipo. Por ejemplo, una palabra $de$ 32 bits que consta de 4 bytes puede representar $2³²$ valores distintos, que pueden considerarse simples patrones de bits, o bien interpretarse más comúnmente como los números sin signo de 0 a $2³² - 1$ , o como el rango de números con signo entre $-2³¹$ y $2³¹$ $- 1. Para$ $obtener más información sobre la representación de números con signo$ $,$ consulte $el$ complemento a dos .

Potencias de dos seleccionadas

2 ² =4: El número que es el cuadrado de dos. También la primera potencia de dos, la tetración de dos.
2 ⁸ =256: El número de valores representados por los 8 bits de un byte , más específicamente denominado octeto . (El término byte se define a menudo como una colección de bits en lugar de la definición estricta de una cantidad de 8 bits, como lo demuestra el término kilobyte ).
2 ¹⁰ =1024: La aproximación binaria del kilo- , oMultiplicador de 1000 , que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo:1024 bytes = 1 kilobyte ^{[ 5 ]} (o kibibyte ).
2 ¹² =4096: El tamaño de página de hardware de un procesador compatible con Intel x86 .
2 ¹⁵ =32 768: El número de valores no negativos para un entero con signo de 16 bits.
2 ¹⁶ =65 536

Número de valores distintos que se pueden representar en una sola palabra en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales . ^{[ 6 ]}; El rango máximo de una variable entera corta en los lenguajes de programación C# , Java y SQL . El rango máximo de una variable Word o Smallint en el lenguaje de programación Pascal .; El número de relaciones binarias en un conjunto de 4 elementos.
2 ²⁰ =1 048 576: La aproximación binaria del mega- , oMultiplicador de 1 000 000 , que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo:1 048 576 bytes = 1 megabyte ^{[ 5 ]} (o mebibyte ).
2 ²⁴ =16 777 216: El número de colores únicos que se pueden mostrar en color verdadero , que es el formato que utilizan los monitores de ordenador comunes .; Este número es el resultado de usar el sistema RGB de tres canales , donde los colores se definen por tres valores (rojo, verde y azul) que van independientemente de 0 ( 00) a 255 ( FF) inclusive. Esto da 8 bits para cada canal, o 24 bits en total; por ejemplo, el negro puro es #000000, el blanco puro es #FFFFFF. El espacio de todos los colores posibles,16 777 216 , se puede determinar mediante 16 ⁶ (6 dígitos con 16 valores posibles para cada uno), 256 ³ (3 canales con 256 valores posibles para cada uno) o 2 ²⁴ (24 bits con 2 valores posibles para cada uno).; El tamaño del entero sin signo o dirección más grande en computadoras con registros o buses de datos de 24 bits .
2 ³⁰ =1 073 741 824: La aproximación binaria del giga- , o1 000 000 000 multiplicador, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo,1 073 741 824 bytes = 1 gigabyte ^{[ 5 ]} (o gibibyte ).
2 ³¹ =2 147 483 648: El número de valores no negativos para un entero con signo de 32 bits. Dado que el tiempo Unix se mide en segundos desde el 1 de enero de 1970, se agotará en2 147 483 647 segundos o 03:14:07 UTC del martes 19 de enero de 2038 en computadoras de 32 bits que ejecutan Unix, un problema conocido como el problema del año 2038 .
2 ³² =4 294 967 296

Número de valores distintos que se pueden representar en una sola palabra en un procesador de 32 bits . ^{[ 7 ]} O bien, número de valores que se pueden representar en una palabra doble en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales . ^{[ 6 ]}; El rango de una intvariable en los lenguajes de programación Java , C# y SQL .; El rango de una Cardinalvariable Integeren el lenguaje de programación Pascal .; El rango mínimo de una variable entera larga en los lenguajes de programación C y C++ .; El número total de direcciones IP bajo IPv4 . Aunque parezca una cifra elevada, el número de direcciones IPv4 de 32 bits disponibles se ha agotado (pero no para las direcciones IPv6 ).; El número de operaciones binarias con dominio igual a cualquier conjunto de 4 elementos, como GF (4).
2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776: La aproximación binaria del tera- , o1 000 000 000 000 multiplicador, que provoca un cambio de prefijo. Por ejemplo,1 099 511 627 776 bytes = 1 terabyte ^{[ 5 ]} o tebibyte.
2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624: La aproximación binaria del peta- , o1 000 000 000 000 000 multiplicador.1 125 899 906 842 624 bytes = 1 petabyte ^{[ 5 ]} o pebibyte.
2 ⁵³ =9 007 199 254 740 992: El número hasta el cual todos los valores enteros pueden representarse exactamente en formato de punto flotante de doble precisión IEEE . También es la primera potencia de 2 que comienza con el dígito 9 en decimal.
2 ⁵⁶ =72 057 594 037 927 936: El número de claves diferentes posibles en el cifrado simétrico DES de 56 bits, ya obsoleto.
2 ⁶⁰ =1 152 921 504 606 846 976: La aproximación binaria del exa- , o1 000 000 000 000 000 000 multiplicador. 1 152 921 504 606 846 976 bytes = 1 exabyte ^{[ 5 ]} o exbibyte.
2 ⁶³ =9 223 372 036 854 775 808: El número de valores no negativos para un entero con signo de 64 bits.; 2 ⁶³ − 1, un valor máximo común (equivalente al número de valores positivos) para un entero con signo de 64 bits en lenguajes de programación.
2 ⁶⁴ =18 446 744 073 709 551 616: El número de valores distintos que se pueden representar en una sola palabra en un procesador de 64 bits . O bien, el número de valores que se pueden representar en una palabra doble en un procesador de 32 bits . O bien, el número de valores que se pueden representar en una palabra cuádruple en un procesador de 16 bits , como los procesadores x86 originales . ^{[ 6 ]}; El rango de una variable larga en los lenguajes de programación Java y C# .; El rango de una variable Int64 o QWord en el lenguaje de programación Pascal .; El número total de direcciones IPv6 que generalmente se asignan a una única LAN o subred.; 2 ⁶⁴ − 1, el número de granos de arroz en un tablero de ajedrez, según la antigua leyenda , donde la primera casilla contiene un grano de arroz y cada casilla siguiente el doble que la anterior. Por esta razón, a este número se le conoce a veces como el "número de ajedrez".; 2 ⁶⁴ − 1 es también el número de movimientos necesarios para completar la legendaria versión de 64 discos de la Torre de Hanoi .
2 ⁶⁸ =295 147 905 179 352 825 856: La primera potencia de 2 que contiene todos los dígitos decimales. (secuencia A137214 en el OEIS )
2 ⁷⁰ =1 180 591 620 717 411 303 424: La aproximación binaria de la zetta- , o1 000 000 000 000 000 000 000 multiplicador.1 180 591 620 717 411 303 424 bytes = 1 zettabyte ^{[ 5 ]} (o zebibyte ).
2 ⁸⁰ =1 208 925 819 614 629 174 706 176: La aproximación binaria del yotta- , o1 000 000 000 000 000 000 000 000 multiplicador.1 208 925 819 614 629 174 706 176 bytes = 1 yottabyte ^{[ 5 ]} (o yobibyte ).
2 ⁸⁶ =77 371 252 455 336 267 181 195 264: Se conjetura ^{que 2⁸⁶} es la mayor potencia de dos que no contiene un cero en decimal. ^[⁸^]
2 ⁹⁶ =79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: El número total de direcciones IPv6 que generalmente se asignan a un registro local de Internet . En notación CIDR , a los ISP se les asigna un / 32 , lo que significa que 128 − 32 = 96 bits están disponibles para direcciones (a diferencia de la designación de red). Por lo tanto, 2 ⁹⁶ direcciones.
2 ¹⁰⁸ = 324 ‍ 518 ‍ 553 ‍ 658 ‍ 426 ‍ 726 ‍ 783 ‍ 156 ‍ 020 ‍ 576 ‍ 256: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un 9 en decimal. (secuencia A035064 en la OEIS )
2 ¹²⁶ = 85 ‍ 070 ‍ 591 ‍ 730 ‍ 234 ‍ 615 ‍ 865 ‍ 843 ‍ 651 ‍ 857 ‍ 942 ‍ 052 ‍ 864: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene un par de dígitos iguales consecutivos. (secuencia A050723 en la OEIS )
2 ¹²⁸ = 340 ‍ 282 ‍ 366 ‍ 920 ‍ 938 ‍ 463 ‍ 463 ‍ 374 ‍ 607 ‍ 431 ‍ 768 ‍ 211 ‍ 456: El número total de direcciones IP disponibles bajo IPv6 , el número de identificadores universalmente únicos (UUID) distintos, el número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión simple IEEE de 32 bits y el número total de claves posibles diferentes en el espacio de claves AES de 128 bits (cifrado simétrico).
2 ¹⁶⁸ = 374 ‍ 144 ‍ 419 ‍ 156 ‍ 711 ‍ 147 ‍ 060 ‍ 143 ‍ 317 ‍ 175 ‍ 368 ‍ 453 ‍ 031 ‍ 918 ‍ 731 ‍ 001 ‍ 856: La mayor potencia conocida de 2 que no contiene todos los dígitos decimales (en este caso falta el dígito 2). (secuencia A137214 en la OEIS )
2 ¹⁹² = 6 ‍ 277 ‍ 101 ‍ 735 ‍ 386 ‍ 680 ‍ 763 ‍ 835 ‍ 789 ‍ 423 ‍ 207 ‍ 666 ‍ 416 ‍ 102 ‍ 355 ‍ 444 ‍ 464 ‍ 034 ‍ 512 ‍ 896: El número total de claves diferentes posibles en el espacio de claves AES de 192 bits (cifrado simétrico).
2 ²²⁹ = 862 718 293 348 820 473 429 344 482 784 628 181 556 388 621 521 298 319 395 315 527 974 912: 2²²⁹ es la mayor potencia de dos conocida que contiene el menor número de ceros en relación con su potencia. Metin Sariyar conjetura que cada dígito del 0 al 9 tiende a aparecer un número igual de veces en la expansión decimal de una potencia de dos a medida que aumenta la potencia. (Secuencia ^A330024en la OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115 ‍ 792 ‍ 089 ‍ 237 ‍ 316 ‍ 195 ‍ 423 ‍ 570 ‍ 985 ‍ 008 ‍ 687 ‍ 907 ‍ 853 ‍ 269 ‍ 984 ‍ 665 ‍ 640 ‍ 564 ‍ 039 ‍ 457 ‍ 584 ‍ 007 ‍ 913 ‍ 129 ‍ 639 ‍ 936: El número total de claves diferentes posibles en el espacio de claves AES de 256 bits (cifrado simétrico).
2¹⁰²⁴ = 179‍ 769 ‍ 313 ‍ 486 ‍ 231 ‍ 590 ‍ 772 ‍ 930 ‍ ... ‍ 304 ‍ 835 ‍ 356 ‍ 329 ‍ 624 ‍ 224 ‍ 137‍ 216 (309 dígitos): El número máximo que cabe en un formato de punto flotante de doble precisión IEEE de 64 bits (por lo tanto, el número máximo que pueden representar muchos programas, por ejemplo, Microsoft Excel ).
2^{16 384} = 1‍ 189 ‍ 731 ‍ 495 ‍ 357 ‍ 231 ‍ 765 ‍ 085‍ 75 ...‍ 460 ‍ 447 ‍ 027 ‍ 290 ‍ 669 ‍ 964 ‍ 066‍ 816 (4933 dígitos): El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión cuádruple IEEE de 128 bits.
2^{65 536} = 2‍ 003 ‍ 529 ‍ 930 ‍ 406 ‍ 846 ‍ 464 ‍ 979‍ 07 ...‍ 339 ‍ 445 ‍ 587 ‍ 895 ‍ 905 ‍ 719 ‍ 156‍ 736 (19 729 dígitos): La quinta iteración de 2 bajo tetración .
2^{262 144} = 16‍ 113 ‍ 257 ‍ 174 ‍ 857 ‍ 604 ‍ 736 ‍ 195‍ 7 ...‍ 753 ‍ 862 ‍ 605 ‍ 349 ‍ 934 ‍ 298 ‍ 300‍ 416 (78 914 dígitos): El número máximo que puede caber en un formato de punto flotante de precisión óctuple IEEE de 256 bits.
2^{136 279 841} = 8‍ 816 ‍ 943 ‍ 275 ‍ 038 ‍ 332 ‍ 655 ‍ 539‍ 39 ...‍ 665 ‍ 555 ‍ 076 ‍ 706 ‍ 219 ‍ 486 ‍ 871‍ 552 (41 024 320 dígitos): Uno más que el mayor número primo conocido hasta octubre de 2024. ^{[ 9 ]}

Potencias de dos en teoría musical

En notación musical , todas las notas sin modificar tienen una duración igual a una redonda dividida por una potencia de dos; por ejemplo, una blanca (1/2), una negra (1/4), una corchea (1/8) y una semicorchea (1/16). Las notas con puntillo o modificadas tienen duraciones diferentes. En las indicaciones de compás , el numeral inferior, la unidad de pulso , que puede considerarse como el denominador de una fracción, es casi siempre una potencia de dos.

Si la relación de frecuencias de dos tonos es una potencia de dos, entonces el intervalo entre esos tonos es de octavas completas . En este caso, las notas correspondientes tienen el mismo nombre.

La coincidencia matemática , de , relaciona estrechamente el intervalo de 7 semitonos en temperamento igual con una quinta justa de entonación justa : , correcta con una precisión de aproximadamente el 0,1 %. La quinta justa es la base de la afinación pitagórica ; la diferencia entre doce quintas justas y siete octavas es la coma pitagórica . ^[¹⁰^] $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\approx 3/2$

Otras propiedades

La suma de todos los coeficientes binomiales $de n$ -elecciones es igual a $2ⁿ$ . Consideremos el conjunto de todos $los$ enteros binarios $de n dígitos. Su$ cardinalidad es $2ⁿ$ $.$ También es la suma de las cardinalidades de ciertos subconjuntos: el subconjunto de enteros sin 1 (que consta de un solo número, escrito como $n$ 0), el subconjunto con un solo 1, el subconjunto con dos 1, y así sucesivamente hasta el subconjunto con $n$ 1 (que consta del número escrito como $n$ 1). Cada uno de estos es a su vez igual al coeficiente binomial indexado por $n$ y la cantidad de 1 que se está considerando (por ejemplo, hay números binarios de 10-elecciones-3 con diez dígitos que incluyen exactamente tres 1).

Actualmente, las potencias de dos son los únicos números casi perfectos que se conocen .

La cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto $a$ es siempre $2 | a |$ , donde $| a |$ es la cardinalidad de $a$ .

El número de vértices de un hipercubo $n$ -dimensional es $2$ $n$ . De manera similar, el número de $($ $n$ $- 1)$ -caras de un politopo cruzado $n$ - dimensional también es $2$ $n$ y la fórmula para el número de $x-$ caras que tiene un politopo cruzado $n -dimensional es$ $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

La suma de las primeras potencias de dos (a partir de ) viene dada por $n$ $1=2^{0}$

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

por ser cualquier número entero positivo. $n$

Por lo tanto, la suma de las potencias

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

se puede calcular simplemente evaluando: (que es el "número de ajedrez"). $2^{64}-1$

La suma de los recíprocos de las potencias de dos es 1. La suma de los recíprocos de las potencias cuadradas de dos (potencias de cuatro) es 1/3.

La potencia natural más pequeña de dos cuya representación decimal comienza con 7 es ^{[ 11 ].}

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Cada potencia de 2 (excepto 1) se puede escribir como la suma de cuatro números cuadrados de 24 maneras . Las potencias de 2 son los números naturales mayores que 1 que se pueden escribir como la suma de cuatro números cuadrados de la menor cantidad de maneras.

Como polinomio real , a ⁿ + b ⁿ es irreducible si y solo si n es una potencia de dos. (Si n es impar, entonces a ⁿ + b ⁿ es divisible por a + b , y si n es par pero no una potencia de 2, entonces n se puede escribir como n = mp , donde m es impar, y por lo tanto , que es divisible por a ^p + b ^p .) Pero en el dominio de los números complejos , el polinomio (donde n ≥ 1) siempre se puede factorizar como , incluso si n es una potencia de dos. $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{2n}+b^{2n}$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$

Las únicas potencias conocidas de 2 con todos los dígitos pares son 2 ¹ = 2, 2 ² = 4, 2 ³ = 8, 2 ⁶ = 64 y 2 ¹¹ =2048 . ^{[ 12 ]} Las primeras 3 potencias de 2 con todos los dígitos impares excepto el último son 2 ⁴ = 16, 2 ⁵ = 32 y 2 ⁹ = 512. La siguiente potencia de 2 de la forma 2 ⁿ debe tener n de al menos 6 dígitos. Las únicas potencias de 2 con todos los dígitos distintos son 2 ⁰ = 1 a 2 ¹⁵ =32 768 , 2 ²⁰ =1 048 576 y 2 ²⁹ =536 870 912 .

Potencias negativas de dos

Los códigos de Huffman proporcionan una compresión de datos sin pérdidas óptima cuando las probabilidades de los símbolos fuente son todas potencias negativas de dos. ^{[ 13 ]}

Véase también

Referencias

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Sammes, Tony; Jenkinson, Brian (2007). "Comprensión de la información". Computación forense (2ª ed.). Londres: Springer. págs. 7– 48. doi : 10.1007/978-1-84628-732-9_2 . ISBN 978-1-84628-397-0Hoy en día , el byte se utiliza como medida básica del tamaño de la memoria, [...]. A medida que la memoria de las computadoras y el tamaño de los discos se han vuelto mucho mayores, el byte se ha convertido en una unidad relativamente pequeña, y ahora se utilizan varias potencias de dos para calificarlo: un kilobyte es 2 ¹⁰ =1024 bytes; un megabyte es ^2²⁰ =1 048 576 bytes; un gigabyte es 2 ³⁰ =1 073 741 824 bytes; un terabyte es 2 ⁴⁰ =1 099 511 627 776 bytes; y un petabyte es 2 ⁵⁰ =1 125 899 906 842 624 bytes. Esta secuencia de unidades de potencias de 2 continúa con exabyte, zettabyte y yottabyte. Tradicionalmente, los científicos informáticos siempre han basado sus unidades de memoria en potencias de 2 en lugar de en potencias de 10, aunque esto es un tema de cierta controversia dentro de la comunidad de estándares. [Nota al pie: La cuestión es si los prefijos kilo, mega, giga, etc., deben elevarse a potencias de dos como lo implementa tradicionalmente la comunidad informática o a potencias de diez como decretó la Conferencia General de Pesas y Medidas para las unidades del SI. Si se cambiaran a potencias de diez, kilo se convertiría en ^10³ =1000 y mega se convertirían en10 ⁶ =1 000 000 .]
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[1] Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Sewell, Michael J. (1997). Clases magistrales de matemáticas . Oxford: Oxford University Press. pág . 78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3.ª ed.), Springer-Verlag , p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001 , archivado del original el 28-04-2016

[kilobyte-5] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Fortner, Brand (1995). "Byte Numbers". The Data Handbook (2.ª ed.). Nueva York: Springer; TELOS. Cap. 2, § "Kilobytes y Megabytes", pág. 25. doi : 10.1007/978-1-4612-2538-6_3 . ISBN 978-1-4612-7572-5El tamaño de los archivos de disco a menudo se expresa en kilobytes y megabytes . Un archivo puede aparecer listado como de 32 kilobytes o 32K bytes. Esto no significa exactamente 32.000 bytes. Un kilobyte se define como 2 ¹⁰ , o1024 bytes. Entonces, 32K bytes es en realidad igual a 32 ×1024 o32 768 bytes. Un megabyte se define correspondientemente como ^2²⁰ , o 1.048.576 bytes. Por lo tanto, 32 megabytes (32M bytes) equivalen a33 554 432 bytes.
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[iword-6] Aunque varían en tamaño de palabra, todos los procesadores x86 usan el término "palabra" para referirse a 16 bits; por lo tanto, un procesador x86 de 32 bits se refiere a su tamaño de palabra nativo como dword.

[7] "Tabla de potencias de 2 – Resúmenes de Vaughn" . www.vaughns-1-pagers.com . Archivado del original el 12 de agosto de 2015.

[8] Weisstein, Eric W. "Cero". De MathWorld. "Cero" . Archivado del original el 1 de junio de 2013. Recuperado el 29 de mayo de 2013 .

[9] "Mersenne Prime Discovery – 2 ^136279841 −1 es primo!" . www.mersenne.org .

[schroeder-10] Manfred Robert Schroeder (2008). Teoría de números en la ciencia y la comunicación (2.ª ed.). Springer. págs. 26–28 . ISBN 978-3-540-85297-1.

[o_potegach_dwojki-11] Paweł Strzelecki (1994). "O potęgach dwójki (Sobre potencias de dos)" (en polaco). Delta. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2016.

[12] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A068994 (Potencias de 2 con todos los dígitos pares)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.

[13] Codificación Huffman , de: Compresión de datos fundamental , 2006

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