secuencia de irracionalidad

En matemáticas, una sucesión de enteros positivos a _n se denomina sucesión irracional si tiene la propiedad de que para cada sucesión x _n de enteros positivos, la suma de la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

existe (es decir, converge ) y es un número irracional . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El problema de caracterizar secuencias irracionales fue planteado por Paul Erdős y Ernst G. Straus , quienes originalmente llamaron a la propiedad de ser una secuencia irracional "Propiedad P". ^{[ 3 ]}

Las potencias de dos cuyos exponentes son potencias de dos ,${\displaystyle 2^{2^{n}}}$, forman una secuencia de irracionalidad. Sin embargo, aunque la secuencia de Sylvester

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...

(en la que cada término es uno más que el producto de todos los términos anteriores) también crece exponencialmente dos veces , no forma una secuencia irracional. Porque, dejando${\displaystyle x_{n}=1}$a pesar de${\displaystyle n}$da

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,}$

una serie que converge a un número racional . Asimismo, los factoriales ,${\displaystyle n!}$, no forman una secuencia irracional porque la secuencia dada por${\displaystyle x_{n}=n+2}$a pesar de${\displaystyle n}$conduce a una serie con una suma racional,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1.}$^{[ 1 ]}

Para que cualquier secuencia a _n sea una secuencia irracional, debe crecer a una tasa tal que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \log a_{n}}{n}}\geq \log 2}$. ^{[ 4 ]}

Esto incluye secuencias que crecen a una tasa más que doblemente exponencial, así como algunas secuencias doblemente exponenciales que crecen más rápidamente que las potencias de potencias de dos. ^{[ 1 ]}

Cada secuencia irracional debe crecer lo suficientemente rápido como para que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .}$

Sin embargo, se desconoce si existe tal secuencia en la que el máximo común divisor de cada par de términos sea 1 (a diferencia de las potencias de potencias de dos) y para la cual

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty .}$^{[ 5 ]}

De forma análoga a las secuencias irracionales, Hančl (1996) ha definido una secuencia trascendental como una secuencia entera a _n tal que, para cada secuencia x _n de enteros positivos, la suma de la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

existe y es un número trascendental . ^{[ 6 ]}