Teoría moderna de carteras

La teoría moderna de carteras ( MPT ), o análisis de media-varianza , es un marco matemático para conformar una cartera de activos de manera que se maximice el rendimiento esperado para un nivel de riesgo dado. Es una formalización y extensión de la diversificación en la inversión, la idea de que poseer diferentes tipos de activos financieros es menos arriesgado que poseer solo uno. Su idea clave es que el riesgo y el rendimiento de un activo no deben evaluarse de forma aislada, sino por cómo contribuyen al riesgo y al rendimiento generales de una cartera. La varianza del rendimiento (o su transformación, la desviación estándar ) se utiliza como medida de riesgo, porque es manejable cuando los activos se combinan en carteras. ^{[ 1 ]} A menudo, la varianza y la covarianza históricas de los rendimientos se utilizan como aproximación de las versiones prospectivas de estas cantidades, ^{[ 2 ]} pero existen otros métodos más sofisticados. ^{[ 3 ]}

El economista Harry Markowitz introdujo el marco MPT o de media-varianza más específicamente en un artículo de 1952, ^{[ 1 ]} por el cual posteriormente recibió el Premio Nobel de Economía ; véase el modelo de Markowitz .

En 1940, Bruno de Finetti publicó ^{[ 4 ]} el método de análisis de media-varianza, en el contexto del reaseguro proporcional, bajo un supuesto más estricto. Trabajos posteriores vincularon el riesgo de cartera y el rendimiento esperado con la fijación de precios de los activos en equilibrio. El artículo pasó desapercibido y solo se dio a conocer a los economistas del mundo angloparlante en 2006. ^{[ 5 ]}

La Teoría Moderna de Cartera (MPT) supone que los inversores aversos al riesgo solo aceptarán una mayor volatilidad si esta se compensa con mayores rendimientos esperados. ^{[ 6 ]} El rendimiento de un activo individual se define como el Rendimiento Neto Total . ${\displaystyle R_{i}}$

Dependiendo de la clase de activo, el componente de ingresos y el precio se definen de forma específica: ${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle P}$

• Para acciones: representa dividendos.${\displaystyle D_{t}}$
• Para bonos: representa los pagos de cupones y los precios se tratan como precios sucios (precio limpio + interés acumulado ).${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S=K\cdot {\frac {f}{100}}\cdot {\frac {A}{D}}}$

Para reflejar un rendimiento neto realista, los componentes de la fórmula de retorno se definen de la siguiente manera:

• ${\displaystyle P}$(Precio de mercado): El precio cotizado del activo al final del período ( ) y al principio ( ).${\displaystyle P_{t}}$${\displaystyle P_{t-1}}$
• ${\displaystyle S}$(Intereses acumulados): Calculados como , donde es el valor nominal, es la tasa de cupón y es la fracción del conteo de días. ^{[ 7 ]}$${\displaystyle K\cdot {\frac {f}{100}}\cdot {\frac {A}{D}}}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A/D}$
• ${\displaystyle C_{venta}}$/ (Costos de transacción):${\displaystyle C_{comprar}}$ Incluye comisiones de corretaje, tarifas de cambio, impuestos sobre transacciones financieras y tarifas de custodia prorrateadas durante el período de tenencia. ^{[ 8 ]}
• ${\displaystyle D_{t}}$(Distribuciones): El símbolo universal para los ingresos periódicos, como los dividendos de las acciones o los pagos de cupones de los bonos.

Si bien la estructura matemática de la MPT es idéntica para todos los activos, el cálculo para los bonos debe tener en cuenta el efecto de ajuste al valor nominal y las convenciones de conteo de días. Esto garantiza que las ponderaciones de la cartera reflejen el verdadero valor justo de mercado (precio sucio) de las posiciones en cualquier momento dado . ^{[ 9 ]}${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle t}$

Un inversor puede reducir el riesgo de la cartera (específicamente la desviación estándar de la cartera ) al mantener combinaciones de instrumentos que no estén perfectamente correlacionados positivamente ( ). Esto ocurre porque la varianza de una cartera diversificada depende más de la covarianza entre los activos que de las varianzas individuales de los propios activos. ^{[ 6 ]}${\displaystyle \sigma _{p}}$${\displaystyle \rho _{ij}<1}$

En realidad, la mayoría de los activos tienen una correlación . Markowitz demostró que, siempre que , la desviación estándar de la cartera siempre será menor que el promedio ponderado de las desviaciones estándar de los activos individuales, lo que genera una reducción de riesgo sin sacrificar necesariamente la rentabilidad esperada. ${\displaystyle 0<\rho <1}$${\displaystyle \rho <1}$

La MPT es una teoría de media-varianza que compara el rendimiento esperado (media) de una cartera con la desviación estándar de la misma. La imagen muestra el rendimiento esperado en el eje vertical y la desviación estándar (volatilidad) en el eje horizontal. La volatilidad se describe mediante la desviación estándar y sirve como medida de riesgo. ^{[ 10 ]}

El « espacio de rentabilidad - desviación estándar » se denomina a veces espacio de «rentabilidad esperada frente a riesgo». En este espacio de riesgo-rentabilidad esperada se puede representar gráficamente cualquier combinación posible de activos de riesgo, y el conjunto de todas estas posibles carteras define una región dentro de este espacio.

El límite izquierdo de esta región es hiperbólico, ^{[ 11 ]} y la parte superior del límite hiperbólico es la frontera eficiente en ausencia de un activo libre de riesgo (a veces llamada "la bala de Markowitz"). Las combinaciones a lo largo de este borde superior representan carteras (que no incluyen tenencias del activo libre de riesgo) para las cuales existe el menor riesgo para un nivel dado de rendimiento esperado. De manera equivalente, una cartera que se encuentra en la frontera eficiente representa la combinación que ofrece el mejor rendimiento esperado posible para un nivel de riesgo dado. La tangente a la parte superior del límite hiperbólico es la línea de asignación de capital (CAL) . El vértice de la hipérbola representa la Cartera de Mínima Varianza Global (GMVP) , que es la cartera con el menor riesgo posible entre todas las combinaciones de activos de riesgo.

Se prefieren las matrices para los cálculos de la frontera eficiente.

En forma matricial, para una "tolerancia al riesgo" dada , la frontera eficiente se encuentra minimizando la siguiente expresión: ${\displaystyle q\in [0,\infty )}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w-qR^{T}w}$

dónde

• ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$es un vector de ponderaciones de cartera y (las ponderaciones pueden ser negativas);${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$
• ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$es la matriz de covarianza para los rendimientos de los activos en la cartera;
• ${\displaystyle q\geq 0}$es un factor de "tolerancia al riesgo", donde 0 da como resultado una cartera con riesgo mínimo y da como resultado una cartera infinitamente alejada en la frontera con un rendimiento esperado y un riesgo ilimitados; y${\displaystyle \infty }$
• ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$es un vector de rendimientos esperados.
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$es la varianza del rendimiento de la cartera.
• ${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$es la rentabilidad esperada de la cartera.

La optimización anterior encuentra el punto en la frontera en el que el inverso de la pendiente de la frontera sería q si se representara horizontalmente la varianza del rendimiento de la cartera en lugar de la desviación estándar. La frontera en su totalidad es paramétrica en q .

Harry Markowitz desarrolló un procedimiento específico para resolver el problema anterior, denominado algoritmo de línea crítica ^{[ 12 ]} , que puede manejar restricciones lineales adicionales, límites superiores e inferiores para los activos, y que ha demostrado funcionar con una matriz de covarianza semidefinida positiva. Existen ejemplos de implementación del algoritmo de línea crítica en Visual Basic para Aplicaciones ^{[ 13 ]} , en JavaScript ^{[ 14 ]} y en algunos otros lenguajes.

Además, muchos paquetes de software, incluidos MATLAB , Microsoft Excel , Mathematica y R , proporcionan rutinas de optimización genéricas , por lo que es posible utilizarlas para resolver el problema anterior, con posibles inconvenientes (baja precisión numérica, requisito de que la matriz de covarianza sea definida positiva...).

Un enfoque alternativo para especificar la frontera eficiente es hacerlo paramétricamente sobre el rendimiento esperado de la cartera. Esta versión del problema requiere que minimicemos ${\displaystyle R^{T}w.}$

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

sujeto a

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

y

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

para el parámetro . Este problema se resuelve fácilmente utilizando un multiplicador de Lagrange, lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones lineales: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

Un resultado fundamental del análisis de Markowitz es el teorema de los dos fondos mutuos (también conocido como teorema de separación). ^{[ 15 ]} Este teorema establece matemáticamente que cualquier cartera en la frontera eficiente puede construirse como una combinación lineal de dos carteras distintas que ya se encuentren en la frontera.

Matemáticamente, si y son dos carteras eficientes, entonces cualquier tercera cartera eficiente puede expresarse como: ${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{target}}$

$${\displaystyle P_{target}=\alpha P_{1}+(1-\alpha )P_{2}}$$donde es el factor de ponderación. Debido a que los activos subyacentes en y se valoran en función de su rendimiento neto total (incluidas las ganancias de capital, los dividendos y los intereses, netos de los costos de transacción), la combinación resultante tiene en cuenta inherentemente todos los flujos de ingresos y gastos.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{target}}$

Esto implica que, en ausencia de un activo libre de riesgo, un inversor puede lograr cualquier perfil óptimo de riesgo-rentabilidad utilizando solo dos "fondos mutuos" (las carteras base). La composición depende de la ubicación objetivo en relación con los dos fondos:

• Posiciones largas ( ):${\displaystyle 0<\alpha <1}$ Si la cartera objetivo se encuentra en el segmento frontera entre y , el inversor asigna una fracción positiva al Fondo 1 y al Fondo 2. No se requiere endeudamiento ni venta en corto.${\displaystyle P_{target}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1-\alpha }$
• Venta en corto y apalancamiento: Si el objetivo se encuentra en la curva frontera pero fuera del segmento entre los dos fondos, el inversor debe utilizar la venta en corto :
  • Venta en corto del Fondo 2 ( ):${\displaystyle \alpha >1}$ Para lograr una rentabilidad superior a la de ambos y (suponiendo ), el inversor vende en corto el Fondo 2 (ponderación negativa) e invierte más del 100% de su capital en el Fondo 1.${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle E(R_{1})>E(R_{2})}$
  • Venta en corto del Fondo 1 ( ):${\displaystyle \alpha <0}$ Para lograr una rentabilidad inferior a la de ambos fondos (o para minimizar el riesgo más allá del rango), el inversor vende en corto el Fondo 1 e invierte las ganancias en el Fondo 2.

Este teorema es significativo porque simplifica el complejo problema de optimización: una vez identificada la frontera, un inversor ya no necesita analizar cada activo individual (acciones, bonos, etc.), sino que solo necesita elegir la combinación adecuada de dos carteras frontera para satisfacer su tolerancia al riesgo específica. ^{[ 9 ]}

El activo libre de riesgo es el activo teórico que paga una tasa libre de riesgo determinista . ^{[ 8 ]} En la práctica, los títulos públicos a corto plazo, como las letras del Tesoro de EE. UU. , sirven como sustituto del activo libre de riesgo debido a sus pagos de intereses fijos y su riesgo de impago insignificante . ^{[ 7 ]} Por definición, el activo libre de riesgo tiene una varianza cero en los rendimientos si se mantiene hasta su vencimiento y permanece sin correlación con ningún activo o cartera de riesgo. ^{[ 9 ]} En consecuencia, cuando se combina con una cartera de riesgo, el cambio resultante en el rendimiento esperado está linealmente relacionado con el cambio en el riesgo a medida que varían las proporciones de asignación. ^{[ 16 ]}

La introducción de un activo libre de riesgo transforma la frontera eficiente en una semirrecta lineal tangente a la bala de Markowitz en la cartera con el ratio de Sharpe más alto . ^{[ 8 ]} La intersección vertical de esta línea representa una cartera asignada al 100% al activo libre de riesgo . ^{[ 17 ]} El punto de tangencia denota una cartera con una inversión del 100% en activos de riesgo, mientras que los segmentos entre la intersección y la tangencia representan carteras de préstamo (largas ). ^{[ 9 ]} Los puntos que se extienden más allá del punto de tangencia representan carteras de endeudamiento, donde el inversor apalanca la cartera de tangencia de riesgo vendiendo en corto el activo libre de riesgo. ^{[ 8 ]} Este lugar eficiente se define como la línea de asignación de capital (CAL), expresada por la fórmula: ${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle R_{F}}$

En este contexto, P representa la cartera de tangencia de activos de riesgo, F denota el activo libre de riesgo y C es la cartera combinada. ^{[ 16 ]} La introducción de mejora el conjunto de oportunidades de inversión porque el CAL proporciona un rendimiento esperado más alto para cada nivel de riesgo en comparación con la hipérbola solo de riesgo. ^{[ 8 ]} El principio de que todos los inversores pueden lograr su perfil óptimo de riesgo-rendimiento utilizando solo el activo libre de riesgo y un único fondo de riesgo se conoce como el teorema de separación de fondos mutuos , específicamente el teorema de un solo fondo. ^{[ 17 ]}${\displaystyle R_{F}}$

La frontera eficiente puede representarse como un problema de curvas cuadráticas . ^{[ 15 ]} En el mercado, tenemos los activos . Tenemos algunos fondos, y una cartera es una forma de dividir nuestros fondos en los activos. Cada cartera puede representarse como un vector , tal que , y mantenemos los activos según . ${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$

Dado que deseamos maximizar el rendimiento esperado y minimizar la desviación estándar del rendimiento, debemos resolver un problema de optimización cuadrática: Las carteras son puntos en el espacio euclidiano . La tercera ecuación establece que la cartera debe caer en un plano definido por . La primera ecuación establece que la cartera debe caer en un plano definido por . La segunda condición establece que la cartera debe caer en la superficie de contorno para que esté lo más cerca posible del origen. Dado que la ecuación es cuadrática, cada superficie de contorno es un elipsoide (suponiendo que la matriz de covarianza es invertible). Por lo tanto, podemos resolver la optimización cuadrática gráficamente dibujando contornos elipsoidales en el plano , y luego intersectando los contornos con el plano . A medida que los contornos elipsoidales se reducen, eventualmente uno de ellos se volverá exactamente tangente al plano, antes de que los contornos se vuelvan completamente disjuntos del plano. El punto de tangencia es la cartera óptima para este nivel de rendimiento esperado. $${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$${\displaystyle \rho _{ij}}$${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$

A medida que variamos , el punto de tangencia también varía, pero siempre cae sobre una sola línea (este es el teorema de los dos fondos mutuos ). ${\displaystyle \mu }$

Sea la recta parametrizada como . Encontramos que a lo largo de la recta, lo que da como resultado una hipérbola en el plano. La hipérbola tiene dos ramas, simétricas respecto al eje. Sin embargo, solo la rama con es significativa. Por simetría, las dos asíntotas de la hipérbola se intersecan en un punto del eje. El punto es la altura del extremo izquierdo de la hipérbola y puede interpretarse como el rendimiento esperado de la cartera de mínima varianza global (MVP global). ${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \mu _{MVP}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{mid}}$

La cartera de tangencia existe si y solo si . ${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$

En particular, si la rentabilidad libre de riesgo es mayor o igual a , entonces la cartera tangente no existe . La línea del mercado de capitales (LMC) se vuelve paralela a la asíntota superior de la hipérbola. Los puntos sobre la LMC se vuelven inalcanzables, aunque se puede acceder a ellos desde abajo. ${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Generalmente se asume que la rentabilidad libre de riesgo es menor que la rentabilidad del MVP global, para que exista la cartera de tangencia. Sin embargo, incluso en este caso, a medida que se aproxima desde abajo, la cartera de tangencia diverge hacia una cartera con rentabilidad y varianza infinitas. Dado que solo hay un número finito de activos en el mercado, dicha cartera debe estar vendiendo en corto algunos activos de forma masiva y comprando otros de forma masiva. En la práctica, sería imposible lograr una cartera de tangencia de este tipo, ya que no se puede vender en corto un activo en exceso debido a las restricciones de venta en corto , y también debido al impacto en el precio ; es decir, comprar una gran cantidad de un activo elevaría su precio, rompiendo el supuesto de que los precios de los activos no dependen de la cartera. ${\displaystyle \mu _{RF}}$${\displaystyle \mu _{MVP}}$

Si la matriz de covarianza no es invertible, entonces existe algún vector distinto de cero tal que es una variable aleatoria con varianza cero, es decir, no es aleatoria en absoluto. ${\displaystyle v}$${\displaystyle v^{T}R}$

Supongamos que y , entonces eso significa que uno de los activos puede replicarse exactamente utilizando los otros activos al mismo precio y con la misma rentabilidad. Por lo tanto, no hay ninguna razón para comprar ese activo, y podemos retirarlo del mercado. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$${\displaystyle v^{T}R=0}$

Supongamos que y , entonces eso significa que hay dinero gratis, rompiendo el supuesto de que no hay arbitraje . ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=0}$${\displaystyle v^{T}R\neq 0}$

Supongamos que , entonces podemos escalar el vector a . Esto significa que hemos construido un activo libre de riesgo con rendimiento . Podemos retirar cada uno de estos activos del mercado, construyendo un activo libre de riesgo por cada activo retirado. Bajo el supuesto de ausencia de arbitraje, todas sus tasas de rendimiento son iguales. Para los activos que aún permanecen en el mercado, su matriz de covarianza es invertible. ${\displaystyle \sum _{i}v_{i}\neq 0}$${\displaystyle \sum _{i}v_{i}=1}$${\displaystyle v^{T}R}$

El análisis anterior describe el comportamiento óptimo de un inversor individual. La teoría de valoración de activos se basa en este análisis, lo que permite a la MPT derivar la rentabilidad esperada requerida para un activo correctamente valorado en este contexto.

Intuitivamente, en un mercado perfecto con inversores racionales , si un valor fuera caro en relación con otros —lo que implicaría un riesgo excesivo para su precio— la demanda disminuiría y su precio bajaría. Por el contrario, si un activo fuera barato, la demanda y el precio aumentarían. Este proceso continúa hasta que el mercado alcanza un estado de « equilibrio de mercado ». En este equilibrio, la oferta relativa es igual a la demanda relativa. Dado que todos poseen los activos de riesgo en proporciones idénticas (la cartera de tangencia), los precios y los rendimientos esperados de los activos de riesgo se ajustan hasta que las proporciones en la cartera de tangencia coinciden con las proporciones de los activos ofrecidos al mercado. ^{[ 18 ]}

El riesgo total de un activo individual o cartera se descompone en dos componentes distintos: riesgo específico y riesgo sistemático. ^{[ 19 ]}

• El riesgo específico (también conocido como riesgo diversificable, único o idiosincrásico) está asociado a activos individuales. Dentro de una cartera, estos riesgos pueden mitigarse mediante la diversificación , ya que las fluctuaciones de precios únicas de los activos no correlacionados tienden a compensarse entre sí. ^{[ 20 ]}
• El riesgo sistemático (también conocido como riesgo de mercado o riesgo no diversificable) se refiere al riesgo común a todos los valores en un mercado determinado, impulsado por factores macroeconómicos. ^{[ 21 ]}

Debido a que los inversores racionales pueden eliminar el riesgo único sin costo alguno mediante la diversificación, el mercado solo ofrece una prima de riesgo por asumir el riesgo sistemático. ^{[ 22 ]} Esto implica que el rendimiento esperado de un activo no está determinado por su varianza total, sino específicamente por su covarianza con la cartera de mercado. ^{[ 23 ]} En consecuencia, el precio de equilibrio de un activo debe ajustarse hasta que su rendimiento ajustado al riesgo se alinee con la Línea del Mercado de Valores que se muestra en el diagrama. ^{[ 24 ]} Bajo estos supuestos, los activos con la misma Beta deben ofrecer el mismo rendimiento esperado, independientemente de sus perfiles de riesgo específicos individuales. ^{[ 25 ]} Esta distinción fundamental sirve como base para la gestión moderna de carteras, donde el objetivo es optimizar la exposición a los factores sistemáticos recompensados ​​mientras se neutraliza el ruido idiosincrásico no recompensado. ^{[ 26 ]}

El CAPM deriva el rendimiento esperado teórico requerido para un activo dado el tipo libre de riesgo y el riesgo de mercado en su conjunto. Se define formalmente mediante la Línea del Mercado de Valores (SML) :

La siguiente tabla describe el impacto marginal de agregar un activo a a la cartera de mercado m . En equilibrio, la ganancia marginal en el rendimiento esperado por unidad de riesgo marginal debe ser idéntica para todos los activos. ^{[ 18 ]}

La ecuación CAPM se estima estadísticamente utilizando la Línea Característica de Seguridad (SCL) , que realiza una regresión del rendimiento excedente de una acción frente al rendimiento excedente del mercado:

Una vez establecida la rentabilidad esperada requerida , se utiliza como tasa de descuento para determinar el valor intrínseco del activo en función de los flujos de efectivo futuros (FC): ${\displaystyle E(R_{i})}$

Un activo se considera **infravalorado** si su valor calculado es superior al precio actual de mercado, y **sobrevalorado** si el precio supera este valor intrínseco. ${\displaystyle Value_{0}}$

A pesar de su importancia teórica, los críticos de la MPT cuestionan si es una herramienta de inversión ideal, porque su modelo de mercados financieros no se ajusta al mundo real en muchos aspectos. ^{[ 2 ]}

Las medidas de riesgo, rentabilidad y correlación utilizadas por la MPT se basan en valores esperados , lo que significa que son afirmaciones estadísticas sobre el futuro (el valor esperado de las rentabilidades es explícito en las ecuaciones anteriores e implícito en las definiciones de varianza y covarianza ). Estas medidas a menudo no pueden capturar las verdaderas características estadísticas del riesgo y la rentabilidad, que suelen seguir distribuciones muy asimétricas (por ejemplo, la distribución log-normal ) y pueden dar lugar, además de a una menor volatilidad , a un crecimiento inflado de la rentabilidad. ^{[ 27 ]} En la práctica, los inversores deben sustituir estas predicciones en las ecuaciones por valores basados ​​en mediciones históricas de la rentabilidad y la volatilidad de los activos. Con frecuencia, estos valores esperados no tienen en cuenta las nuevas circunstancias que no existían cuando se generaron los datos históricos. ^{[ 28 ]} Un enfoque óptimo para capturar tendencias, que difiere de la optimización de Markowitz al utilizar propiedades de invariancia, también se deriva de la física. En lugar de transformar las expectativas normalizadas utilizando la inversa de la matriz de correlación, la cartera invariante emplea la inversa de la raíz cuadrada de la matriz de correlación. ^{[ 29 ]} El problema de optimización se resuelve bajo el supuesto de que los valores esperados son inciertos y están correlacionados. ^{[ 30 ]} La solución de Markowitz corresponde solo al caso en que la correlación entre los rendimientos esperados es similar a la correlación entre los rendimientos.

Fundamentalmente, los inversores se ven obligados a estimar parámetros clave a partir de datos históricos del mercado, ya que la Teoría Moderna de la Cartera (MPT) intenta modelar el riesgo en términos de la probabilidad de pérdidas, pero no explica por qué podrían ocurrir. Las mediciones de riesgo utilizadas son de naturaleza probabilística , no estructural. Esta es una diferencia importante en comparación con muchos enfoques de ingeniería para la gestión de riesgos .

La teoría de opciones y la MPT tienen al menos una diferencia conceptual importante con respecto a la evaluación de riesgos probabilística que realizan las centrales nucleares. Un PRA es lo que los economistas llamarían un modelo estructural . Los componentes de un sistema y sus relaciones se modelan en simulaciones de Monte Carlo . Si la válvula X falla, provoca una pérdida de contrapresión en la bomba Y, lo que causa una caída en el flujo hacia el recipiente Z, y así sucesivamente.

Pero en la ecuación de Black-Scholes y la MPT, no se intenta explicar la estructura subyacente a las variaciones de precios. Simplemente se asignan probabilidades a los distintos resultados. Y, a diferencia del PRA, si no hay antecedentes de un evento sistémico específico, como una crisis de liquidez , no hay forma de calcular su probabilidad. Si los ingenieros nucleares gestionaran el riesgo de esta manera, jamás podrían calcular la probabilidad de una fusión del núcleo en una central nuclear concreta hasta que se produjeran varios eventos similares en reactores del mismo diseño.

Las medidas matemáticas de riesgo solo son útiles en la medida en que reflejen las verdaderas preocupaciones de los inversores; no tiene sentido minimizar una variable que, en la práctica, no interesa a nadie. En particular, la varianza es una medida simétrica que considera que los rendimientos anormalmente altos son tan riesgosos como los anormalmente bajos. El fenómeno psicológico de la aversión a las pérdidas se basa en la idea de que los inversores se preocupan más por las pérdidas que por las ganancias, lo que significa que nuestro concepto intuitivo de riesgo es fundamentalmente asimétrico. Existen muchas otras medidas de riesgo (como las medidas de riesgo coherentes ) que podrían reflejar mejor las preferencias reales de los inversores.

La teoría moderna de carteras también ha sido criticada porque asume que los rendimientos siguen una distribución gaussiana . Ya en la década de 1960, Benoit Mandelbrot y Eugene Fama demostraron la insuficiencia de esta suposición y propusieron el uso de distribuciones estables más generales . Stefan Mittnik y Svetlozar Rachev presentaron estrategias para derivar carteras óptimas en tales contextos. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} Más recientemente, Nassim Nicholas Taleb también ha criticado la teoría moderna de carteras por este motivo, escribiendo:

Tras el desplome bursátil de 1987, premiaron a dos teóricos, Harry Markowitz y William Sharpe, quienes construyeron modelos platónicos brillantes sobre una base gaussiana, contribuyendo a lo que se conoce como Teoría Moderna de Carteras. En resumen, si se eliminan sus supuestos gaussianos y se consideran los precios como escalables, lo que queda es pura palabrería. El Comité Nobel podría haber puesto a prueba los modelos de Sharpe y Markowitz —funcionan como remedios milagrosos que se venden por internet—, pero parece que a nadie en Estocolmo se le ocurrió.

Los inversores contrarios y los inversores de valor generalmente no se adhieren a la Teoría Moderna de la Cartera (MPT). ^{[ 34 ]} Una objeción es que la MPT se basa en la hipótesis del mercado eficiente y utiliza las fluctuaciones en el precio de las acciones como sustituto del riesgo. Sir John Templeton creía en la diversificación como concepto y fue uno de los primeros inversores en asignar estratégicamente entre acciones, bonos y efectivo. Sin embargo, Templeton también consideraba que los fundamentos teóricos de la MPT eran cuestionables y concluyó (como lo describe un biógrafo): «la idea de que construir carteras sobre la base de datos estadísticos poco fiables e irrelevantes, como la volatilidad histórica, estaba condenada al fracaso». ^{[ 35 ]}

Daniel Peris afirma que la primera versión de la MPT fue una innovación importante al intentar proporcionar un enfoque sistemático para el riesgo y la construcción de carteras. ^{[ 36 ]} Sin embargo, Peris también cree que la MPT muestra influencia de tendencias intelectuales más amplias de las décadas de 1950 y 1960 que pueden estar desactualizadas, y que ha sido distorsionada mucho más allá de la intención de Markowitz y se ha centrado tanto en las matemáticas avanzadas y los precios de las acciones que pierde de vista el hecho de que las acciones representan la propiedad minoritaria de las empresas. Debido en parte a su formación como historiador antes de trabajar en la industria financiera, Peris también cree que la MPT y muchos otros conceptos importantes son ahistóricos y, además, señala que muchos de los que trabajan en la industria generalmente tienen poco interés en comprender las raíces y el desarrollo de las teorías que sustentan su carrera o en evaluar si los conceptos aún tienen validez.

Algunos estudios han argumentado que la "diversificación ingenua", que consiste en dividir el capital equitativamente entre las opciones de inversión disponibles, podría tener ventajas sobre la MPT en algunas situaciones. ^{[ 37 ]}

Cuando se aplica a ciertos universos de activos, el modelo de Markowitz ha sido identificado por los académicos como inadecuado debido a su susceptibilidad a la inestabilidad del modelo que puede surgir, por ejemplo, entre un universo de activos altamente correlacionados. ^{[ 38 ]}

Desde la introducción de la MPT en 1952, se han realizado numerosos intentos para mejorar el modelo, especialmente mediante el uso de supuestos más realistas.

La teoría de cartera posmoderna extiende la MPT al adoptar medidas de riesgo no distribuidas normalmente, asimétricas y con colas pesadas. ^{[ 39 ]} Esto ayuda con algunos de estos problemas, pero no con otros.

La optimización del modelo Black-Litterman es una extensión de la optimización de Markowitz sin restricciones que incorpora "perspectivas" relativas y absolutas sobre las entradas de riesgo y rendimientos.

El modelo también se extiende al suponer que los rendimientos esperados son inciertos, y la matriz de correlación en este caso puede diferir de la matriz de correlación entre los rendimientos. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

La teoría moderna de carteras es inconsistente con los axiomas principales de la teoría de la elección racional , especialmente con el axioma de monotonicidad, que establece que, si invertir en la cartera X produce, con probabilidad uno, un mayor retorno que invertir en la cartera Y , entonces un inversor racional debería preferir X a Y. En contraste, la teoría moderna de carteras se basa en un axioma diferente, llamado aversión a la varianza, ^{[ 40 ]} y puede recomendar invertir en Y basándose en que tiene menor varianza. Maccheroni et al. ^{[ 41 ]} describieron la teoría de la elección que es la más cercana posible a la teoría moderna de carteras, al tiempo que satisface el axioma de monotonicidad. Alternativamente, el análisis de media-desviación ^{[ 42 ]} es una teoría de elección racional que resulta de reemplazar la varianza por una medida de riesgo de desviación apropiada .

En la década de 1970, conceptos de la Teoría Moderna de la Cartera (MPT) se incorporaron al campo de la ciencia regional . En una serie de trabajos fundamentales, Michael Conroy modeló la fuerza laboral en la economía utilizando métodos de teoría de cartera para examinar el crecimiento y la variabilidad de la misma. A esto le siguió una extensa bibliografía sobre la relación entre el crecimiento económico y la volatilidad. ^{[ 43 ]}

Más recientemente, la teoría moderna de la cartera se ha utilizado para modelar el autoconcepto en psicología social. Cuando los atributos del yo que componen el autoconcepto constituyen una cartera bien diversificada, los resultados psicológicos a nivel individual, como el estado de ánimo y la autoestima, deberían ser más estables que cuando el autoconcepto no está diversificado. Esta predicción se ha confirmado en estudios con sujetos humanos. ^{[ 44 ]}

Recientemente, la teoría moderna de carteras se ha aplicado al modelado de la incertidumbre y la correlación entre documentos en la recuperación de información. Dada una consulta, el objetivo es maximizar la relevancia general de una lista de documentos ordenados y, al mismo tiempo, minimizar la incertidumbre general de dicha lista. ^{[ 45 ]}

Algunos expertos aplican la MPT a carteras de proyectos y otros activos además de instrumentos financieros. ^{[ 46 ] [ 47 ]} Cuando la MPT se aplica fuera de las carteras financieras tradicionales, deben considerarse algunas distinciones entre los diferentes tipos de carteras.

1. En la práctica, los activos de las carteras financieras son divisibles de forma continua, mientras que las carteras de proyectos son discontinuas. Por ejemplo, si bien podemos calcular que la posición óptima de una cartera con tres acciones es, digamos, 44%, 35% y 21%, la posición óptima para una cartera de proyectos puede no permitirnos simplemente modificar la cantidad invertida en un proyecto. Los proyectos pueden ser de todo o nada o, al menos, tener unidades lógicas inseparables. Un método de optimización de carteras tendría que tener en cuenta la naturaleza discreta de los proyectos.
2. Los activos de las carteras financieras son líquidos; pueden evaluarse o reevaluarse en cualquier momento. Sin embargo, las oportunidades para lanzar nuevos proyectos pueden ser limitadas y presentarse en periodos de tiempo reducidos. Los proyectos ya iniciados no pueden abandonarse sin perder los costos hundidos (es decir, un proyecto a medio terminar tiene poco o ningún valor de recuperación).

Ninguna de estas situaciones elimina necesariamente la posibilidad de utilizar la Teoría Moderna de Carteras (MPT) y dichas carteras. Simplemente indican la necesidad de ejecutar la optimización con un conjunto adicional de restricciones expresadas matemáticamente que normalmente no se aplicarían a las carteras financieras.

Además, algunos de los elementos más simples de la Teoría Moderna de Carteras (MPT) son aplicables a prácticamente cualquier tipo de cartera. El concepto de capturar la tolerancia al riesgo de un inversor documentando cuánto riesgo es aceptable para una rentabilidad determinada puede aplicarse a diversos problemas de análisis de decisiones. La MPT utiliza la varianza histórica como medida de riesgo, pero las carteras de activos como los grandes proyectos no tienen una "varianza histórica" ​​bien definida. En este caso, el límite de inversión de la MPT puede expresarse en términos más generales, como "probabilidad de un retorno de la inversión inferior al coste del capital" o "probabilidad de perder más de la mitad de la inversión". Cuando el riesgo se expresa en términos de incertidumbre sobre las previsiones y las posibles pérdidas, el concepto es transferible a diversos tipos de inversión. ^{[ 46 ]}

• Esquema de finanzas § Teoría de la cartera
• Beta (finanzas)
• Índice de sesgo (finanzas)
• Modelo Black-Litterman
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• Gestión del riesgo financiero § Gestión de inversiones
• Elección de cartera intertemporal
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• Dominancia estocástica condicional marginal
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• Teorema de separación de fondos mutuos
• relación Omega
• Teoría de cartera posmoderna
• Índice de Sortino
• Índice de Treynor
• Modelos de decisión de dos momentos
• Algoritmo de cartera universal

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• Análisis macroeconómico de inversiones , Prof. William F. Sharpe , Universidad de Stanford
• Optimización de cartera , Prof. Stephen P. Boyd , Universidad de Stanford
• " Nuevos enfoques para la optimización de carteras: dejando atrás la curva de campana " — Entrevista con el profesor Svetlozar Rachev y el profesor Stefan Mittnik
• " Bruno de Finetti y la selección de cartera media-varianza. Artículo de Mark Rubinstein sobre el descubrimiento de Bruno de Finetti y comentarios de Markowitz."