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Articulo de referencia

Euclidean planes in three-dimensional space

Plane equation in normal form In Euclidean geometry , a plane is a flat two- dimensional surface that extends indefinitely. Euclidean planes often arise as subspaces of three-di...

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Plane equation in normal form

In Euclidean geometry, a plane is a flat two-dimensionalsurface that extends indefinitely. Euclidean planes often arise as subspaces of three-dimensional spaceR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. A prototypical example is one of a room's walls, infinitely extended and assumed infinitesimally thin. While a pair of real numbers R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} suffices to describe points on a plane, the relationship with out-of-plane points requires special consideration for their embedding in the ambient spaceR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Derived concepts

A plane segment or planar region (or simply "plane", in lay use) is a planar surface region; it is analogous to a line segment. A bivector is an oriented plane segment, analogous to directed line segments.[a] A face is a plane segment bounding a solid object.[1] A slab is a region bounded by two parallel planes. A parallelepiped is a region bounded by three pairs of parallel planes.

Background

Euclid set forth the first great landmark of mathematical thought, an axiomatic treatment of geometry.[2] He selected a small core of undefined terms (called common notions) and postulates (or axioms) which he then used to prove various geometrical statements. Although the plane in its modern sense is not directly given a definition anywhere in the Elements, it may be thought of as part of the common notions.[3] Euclid never used numbers to measure length, angle, or area. The Euclidean plane equipped with a chosen Cartesian coordinate system is called a Cartesian plane; a non-Cartesian Euclidean plane equipped with a polar coordinate system would be called a polar plane.

Three parallel planes

A plane is a ruled surface.

Euclidean plane

Bi-dimensional Cartesian coordinate system

In mathematics, a Euclidean plane is a Euclidean space of dimension two, denoted E2{\displaystyle {\textbf {E}}^{2}} or E2{\displaystyle \mathbb {E} ^{2}}Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye, en particular, el concepto de líneas paralelas . También posee propiedades métricas inducidas por la distancia , lo que permite definir círculos y medir ángulos .

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se llama plano cartesiano . El conjuntoR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}El plano de coordenadas reales , dotado del producto escalar , se denomina a menudo plano euclidiano o plano euclidiano estándar , puesto que todo plano euclidiano es isomorfo a él.

Representación

Esta sección se ocupa exclusivamente de planos incrustados en tres dimensiones: específicamente, en R 3 .

Determinación mediante puntos y líneas contenidos

En un espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones, un plano queda determinado de forma única por cualquiera de las siguientes condiciones:

  • Tres puntos no colineales (puntos que no se encuentran en una misma línea).
  • Una línea y un punto que no está sobre esa línea.
  • Dos líneas distintas pero que se cruzan.
  • Dos líneas distintas pero paralelas .

Propiedades

Las siguientes afirmaciones son válidas en el espacio euclidiano tridimensional, pero no en dimensiones superiores, aunque tienen análogos en dimensiones superiores:

  • Dos planos distintos son paralelos o se intersecan en una línea .
  • Una línea es paralela a un plano, lo interseca en un único punto o está contenida en el plano.
  • Dos líneas distintas perpendiculares al mismo plano deben ser paralelas entre sí.
  • Dos planos distintos perpendiculares a la misma línea deben ser paralelos entre sí.

Forma normal puntual y forma general de la ecuación de un plano.

De manera análoga a como se describen las líneas en un espacio bidimensional utilizando una forma de punto-pendiente para sus ecuaciones, los planos en un espacio tridimensional tienen una descripción natural utilizando un punto en el plano y un vector ortogonal a él (el vector normal ) para indicar su "inclinación".

Específicamente, sea r 0 el vector de posición de un punto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , y sea n = ( a , b , c ) un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto P 0 y el vector n consta de aquellos puntos P , con vector de posición r , tales que el vector trazado desde P 0 hasta P es perpendicular a n . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos r tales que norte⋅(r−r0)=0.{\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.} El punto aquí significa un producto escalar . Expandido se convierte en a(incógnita−incógnita0)+b(y−y0)+do(z−z0)=0,{\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,} que es la forma normal puntual de la ecuación de un plano. [ 4 ] Esta es simplemente una ecuación lineal.aincógnita+by+doz+d=0,{\displaystyle ax+by+cz+d=0,} dónde d=−(aincógnita0+by0+doz0),{\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),} que es la forma ampliada de−norte⋅r0.{\displaystyle -{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.}

En matemáticas, es una convención común expresar la normal como un vector unitario , pero el argumento anterior es válido para un vector normal de cualquier longitud distinta de cero.

Por el contrario, se demuestra fácilmente que si a , b , c y d son constantes y a , b y c no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación aincógnita+by+doz+d=0,{\displaystyle ax+by+cz+d=0,} es un plano que tiene como vector normal el vector n = ( a , b , c ) . [ 5 ] Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano o simplemente la ecuación del plano . [ 6 ]

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma y = d + ax + cz (con b = −1 ) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describir un plano con un punto y dos vectores que se encuentran sobre él.

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma r=r0+sv+tw,{\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},}

Descripción vectorial de un plano

donde s y t abarcan todos los números reales, v y w son vectores linealmente independientes que definen el plano, y r₀ es el vector que representa la posición de un punto arbitrario (pero fijo) en el plano. Los vectores v y w pueden visualizarse como vectores que parten de r₀ y apuntan en direcciones diferentes a lo largo del plano. Los vectores v y w pueden ser perpendiculares , pero no paralelos.

Describir un plano a través de tres puntos

Sean p 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , p 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , y p 3 = ( x 3 , y 3 , z 3 ) puntos no colineales.

Método 1

El plano que pasa por p 1 , p 2 , y p 3 puede describirse como el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) que satisfacen las siguientes ecuaciones determinantes : |incógnita−incógnita1y−y1z−z1incógnita2−incógnita1y2−y1z2−z1incógnita3−incógnita1y3−y1z3−z1|=|incógnita−incógnita1y−y1z−z1incógnita−incógnita2y−y2z−z2incógnita−incógnita3y−y3z−z3|=0.{\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}

Método 2

Describir el plano mediante una ecuación de la formaaincógnita+by+doz+d=0{\displaystyle ax+by+cz+d=0}Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: aincógnita1+by1+doz1+d=0{\displaystyle ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}aincógnita2+by2+doz2+d=0{\displaystyle ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}aincógnita3+by3+doz3+d=0.{\displaystyle ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}

Este sistema se puede resolver utilizando la regla de Cramer y manipulaciones matriciales básicas. D=|incógnita1y1z1incógnita2y2z2incógnita3y3z3|.{\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.}

Si D es distinto de cero (es decir, para planos que no pasan por el origen), los valores de a , b y c se pueden calcular de la siguiente manera: a=−dD|1y1z11y2z21y3z3|{\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}b=−dD|incógnita11z1incógnita21z2incógnita31z3|{\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}}do=−dD|incógnita1y11incógnita2y21incógnita3y31|.{\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}

Estas ecuaciones son paramétricas en d . Si se establece d igual a cualquier número distinto de cero y se sustituye en estas ecuaciones, se obtendrá un conjunto de soluciones.

Método 3

Este plano también puede describirse mediante la forma punto  -normal y la forma general de la ecuación de una prescripción de plano anterior. Un vector normal adecuado viene dado por el producto vectorial.norte=(pag2−pag1)×(pag3−pag1),{\displaystyle {\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),} y el punto r 0 puede tomarse como cualquiera de los puntos dados p 1 , p 2 o p 3 [ 7 ] (o cualquier otro punto en el plano).

Operaciones

Distancia desde un punto a un plano

En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal sobre el plano, es decir, la distancia perpendicular al punto más cercano en el plano.

Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para que coincida con el punto dado y luego encontrando el punto en el plano desplazado.aincógnita+by+doz=d{\displaystyle ax+by+cz=d}que está más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas.(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}:

incógnita=ada2+b2+do2,y=bda2+b2+do2,z=doda2+b2+do2{\displaystyle \displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

La distancia entre el origen y el punto(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}esincógnita2+y2+z2{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.

intersección línea-plano

Las tres posibles relaciones plano-línea en tres dimensiones (en cada caso se muestra solo una porción del plano, que se extiende infinitamente).

En geometría , la intersección de una recta y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío , un punto o la propia recta. Es la recta completa si esta se encuentra dentro del plano, y es el conjunto vacío si la recta es paralela al plano pero se encuentra fuera de él. En caso contrario, la recta corta el plano en un único punto.

La distinción entre estos casos y la determinación de ecuaciones para el punto y la línea en los últimos casos resultan útiles en gráficos por computadora , planificación de movimiento y detección de colisiones .

Línea de intersección entre dos planos

Dos planos que se intersecan en el espacio tridimensional

En geometría , la intersección de dos planos en el espacio tridimensional es una línea o el conjunto vacío para planos paralelos.

Intersección esfera-plano

Cuando la intersección de una esfera y un plano no es un punto vacío o único, es un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Sea S una esfera con centro O , P un plano que interseca a S. Dibujemos OE perpendicular a P y que interseca a P en E. Sean A y B dos puntos cualesquiera en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y hipotenusas AO y BO iguales. Por lo tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto prueba que todos los puntos en la intersección están a la misma distancia del punto E en el plano P , en otras palabras , todos los puntos en la intersección se encuentran en una circunferencia C con centro E. [ 8 ] Esto prueba que la intersección de P y S está contenida en C. Nótese que OE es el eje de la circunferencia.

Consideremos ahora un punto D de la circunferencia C. Como C pertenece al triángulo P , D también pertenece a él . Por otro lado, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y catetos EA y ED iguales. Por lo tanto , las hipotenusas AO y DO son iguales, e iguales al radio de S , de modo que D pertenece a S. Esto demuestra que C está contenido en la intersección de P y S.

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que puede trazarse a través de tres puntos dados. [ 9 ]

La demostración puede extenderse para mostrar que los puntos de un círculo están todos a una distancia angular común de uno de sus polos. [ 10 ]

Compárese también con las secciones cónicas , que pueden producir óvalos .

Ocurrencia en la naturaleza

Los frentes de onda de una onda plana que viaja en el espacio tridimensional.

Un plano sirve como modelo matemático para muchos fenómenos físicos, como la reflexión especular en un espejo plano o los frentes de onda en una onda plana viajera . La superficie libre de líquidos no perturbados tiende a ser casi plana (véase planitud ). La superficie más plana jamás fabricada es un espejo atómico estabilizado cuánticamente. [ 11 ] En astronomía, se utilizan varios planos de referencia para definir posiciones en órbita. Los planos anatómicos pueden ser laterales ("sagitales"), frontales ("coronales") o transversales. En geología, los estratos (capas de sedimentos) a menudo son planos. Los planos están involucrados en diferentes formas de imagen , como el plano focal , el plano de imagen y el plano de imagen .

Lechos de roca sedimentaria en el Parque Geológico do Varvito, Itu, São Paulo , Brasil

Índices de Miller

Planos con diferentes índices de Miller en cristales cúbicos

La actitud de un plano reticular es la orientación de la línea normal al plano, [ 12 ] y se describe mediante los índices de Miller del plano . En el espacio tridimensional, una familia de planos (una serie de planos paralelos) puede denotarse mediante sus índices de Miller ( hkl ), [ 13 ] [ 14 ] de modo que la familia de planos tiene una actitud común a todos sus planos constituyentes.

Golpear y bajar

Línea de rumbo e inclinación de un plano que describen su actitud con respecto a un plano horizontal y un plano vertical perpendicular a la línea de rumbo.

Muchas características observadas en geología son planos o líneas, y su orientación se conoce comúnmente como su actitud . Estas actitudes se especifican con dos ángulos.

Para una línea, estos ángulos se denominan tendencia y caída . La tendencia es la dirección de la línea en la brújula, y la caída es el ángulo descendente que forma con un plano horizontal. [ 15 ]

En un plano, los dos ángulos se denominan rumbo (ángulo) e inclinación (ángulo) . El rumbo es la intersección de un plano horizontal con la característica plana observada (y, por lo tanto, una línea horizontal), y el ángulo de rumbo es la orientación de esta línea (es decir, con respecto al norte geográfico o al norte magnético ). La inclinación es el ángulo entre un plano horizontal y la característica plana observada, tal como se observa en un tercer plano vertical perpendicular al rumbo.

Véase también

Notas

Notas explicativas

  1. ↑ Más precisamente, una entidad algebraica análoga a una clase de equivalencia de segmentos planos orientados.

Citas

  1. ↑ Diccionario colegiado de Merriam-Webster (undécima  edición). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.
  2. ↑ Eves 1963 , pág. 19
  3. ↑ Joyce, DE (1996), Elementos de Euclides, Libro I, Definición 7 , Universidad Clark , consultado el 8 de agosto de 2009.
  4. ↑ Anton 1994 , pág. 155
  5. ↑ Anton 1994 , pág. 156
  6. ↑ Weisstein, Eric W. (2009), "Plane" , MathWorld--A Wolfram Web Resource , consultado el 8 de agosto de 2009.
  7. ↑ Dawkins, Paul, "Ecuaciones de planos" , Cálculo III
  8. ↑ La demostración sigue a Hobbs, Proposición 304.
  9. ↑ Hobbs, Proposición 308
  10. ↑ Hobbs, Proposición 310
  11. ↑ Evans, Jon (22 de agosto de 2008). "La superficie más lisa jamás vista es un espejo para los átomos" . New Scientist . Consultado el 5 de marzo de 2023 .
  12. ↑ William Anthony Granville (1904). "§178 Línea normal a una superficie". Elementos del cálculo diferencial e integral . Ginn & Company. pág. 275 . 
  13. ↑ Augustus Edward Hough Love (1892). Tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad . Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 79 y ss .  
  14. ↑ Marcus Frederick Charles Ladd; Rex Alfred Palmer (2003). "§2.3 Familias de planos y espaciamientos interplanares" . Determinación de la estructura mediante cristalografía de rayos X (4.ª ed.). Springer. pág. 62 y ss . ISBN   0-306-47454-9.
  15. ↑ Stephen Mark Rowland; Ernest M. Duebendorfer; Ilsa M. Schiefelbein (2007). «Actitudes de líneas y planos» . Análisis y síntesis estructural: Un curso práctico de geología estructural (3.ª ed.). Wiley-Blackwell. pág. 1 y ss . ISBN   978-1-4051-1652-7.

Referencias

  • Anton, Howard (1994), Álgebra lineal elemental (7.ª  ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
  • Eves, Howard (1963), Un estudio de la geometría , vol.  I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.
  • Hobbs, Charles Austen (1921). Geometría sólida . Cambridge, GH Kent. págs. 396-400 . LCCN 21016427 .  
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