Espacio de juego

En teoría musical , los espacios de altura modelan las relaciones entre alturas . Estos modelos suelen usar la distancia para modelar el grado de relación, colocando las alturas estrechamente relacionadas cerca unas de otras y las menos relacionadas más separadas. Dependiendo de la complejidad de las relaciones consideradas, los modelos pueden ser multidimensionales . Los modelos de espacio de altura suelen ser grafos , grupos , retículos o figuras geométricas como hélices. Los espacios de altura distinguen las alturas relacionadas con la octava . Cuando no se distinguen las alturas relacionadas con la octava, tenemos en su lugar espacios de clases de altura , que representan relaciones entre clases de altura . (Algunos de estos modelos se discuten en la entrada sobre espacio modulatorio , aunque se debe advertir a los lectores que el término "espacio modulatorio" no es un término estándar en teoría musical). Los espacios de acordes modelan las relaciones entre acordes.

El modelo más simple del espacio de tono es la recta real. Una frecuencia fundamental f se asigna a un número real p según la ecuación

${\displaystyle p=69+12\cdot \log _{2}{(f/440)}\,}$

Esto crea un espacio lineal en el que las octavas tienen un tamaño de 12, los semitonos (la distancia entre teclas adyacentes en el teclado del piano) tienen un tamaño de 1, y al Do central se le asigna el número 60, como en MIDI . 440 Hz es la frecuencia estándar del La de concierto, que es la nota 9 semitonos por encima del Do central. La distancia en este espacio corresponde a la distancia física en los instrumentos de teclado, la distancia ortográfica en la notación musical occidental y la distancia psicológica medida en experimentos psicológicos y concebida por los músicos. El sistema es lo suficientemente flexible como para incluir microtonos que no se encuentran en los teclados de piano estándar. Por ejemplo, la altura que se encuentra a medio camino entre Do (60) y Do# (61) puede etiquetarse como 60,5.

Un problema del espacio de alturas lineal es que no modela la relación especial entre alturas relacionadas con la octava, o alturas que comparten la misma clase de altura . Esto ha llevado a teóricos como Moritz Wilhelm Drobisch (1846) y Roger Shepard (1982) a modelar las relaciones de alturas mediante una hélice. En estos modelos, el espacio de alturas lineal se envuelve alrededor de un cilindro, de modo que todas las alturas relacionadas con la octava se sitúan a lo largo de una sola línea. Es necesario tener cuidado al interpretar estos modelos, ya que no está claro cómo interpretar la "distancia" en el espacio tridimensional que contiene la hélice, ni cómo interpretar los puntos en el espacio tridimensional que no están contenidos en la propia hélice.

Otros teóricos, como Leonhard Euler (1739), Hermann von Helmholtz (1863/1885), Arthur von Oettingen (1866), Hugo Riemann (que no debe confundirse con el matemático Bernhard Riemann ) y Christopher Longuet-Higgins (1978), modelaron las relaciones de altura utilizando retículas bidimensionales (o de dimensiones superiores) , bajo el nombre de Tonnetz . En estos modelos, una dimensión suele corresponder a quintas perfectas acústicamente puras, mientras que la otra corresponde a terceras mayores. (Existen variaciones en las que un eje corresponde a terceras menores acústicamente puras). Se pueden usar dimensiones adicionales para representar otros intervalos, incluyendo —generalmente— la octava.

Todos estos modelos intentan capturar el hecho de que los intervalos separados por intervalos acústicamente puros, como octavas, quintas justas y terceras mayores, se consideran perceptualmente muy relacionados. Sin embargo, la proximidad en estos espacios no necesariamente representa la proximidad física en los instrumentos musicales: al mover las manos una distancia muy corta sobre una cuerda de violín, uno puede desplazarse arbitrariamente lejos en estos modelos multidimensionales. Por esta razón, es difícil evaluar la relevancia psicológica de la distancia medida por estas redes.

La idea del espacio tonal se remonta al menos a los antiguos teóricos musicales griegos conocidos como los armonistas. Citando a uno de ellos, Baco: «¿Y qué es un diagrama? Una representación de un sistema musical. Y usamos un diagrama para que, a los estudiantes de la materia, les resulten evidentes los conceptos difíciles de comprender al oír» (Baco, en Franklin, Música diatónica en la antigua Grecia ). Los armonistas dibujaban figuras geométricas para poder comparar visualmente los intervalos de las distintas escalas; de este modo, ubicaban los intervalos en un espacio tonal.

Los espacios de alturas de dimensiones superiores también se han investigado durante mucho tiempo. Euler (1739) propuso el uso de una retícula para modelar la entonación justa utilizando un eje de quintas perfectas y otro de terceras mayores. Modelos similares fueron objeto de intensa investigación en el siglo XIX, principalmente por teóricos como Oettingen y Riemann (Cohn 1997). Teóricos contemporáneos como James Tenney (1983) ^{[ 1 ]} y W. A. ​​Mathieu (1997) continúan esta tradición.

Moritz Wilhelm Drobisch (1846) fue el primero en sugerir una hélice (es decir, la espiral de quintas) para representar la equivalencia y recurrencia de octavas (Lerdahl, 2001), y por lo tanto, para dar un modelo del espacio de alturas. Roger Shepard (1982) regulariza la hélice de Drobisch y la extiende a una doble hélice de dos escalas de tonos enteros sobre un círculo de quintas que él llama el "mapa melódico" (Lerdahl, 2001). Michael Tenzer sugiere su uso para la música gamelan balinesa ya que las octavas no son 2:1 y por lo tanto hay incluso menos equivalencia de octavas que en la música tonal occidental (Tenzer, 2000). Véase también círculo cromático .

Desde el siglo XIX se han realizado numerosos intentos de diseñar teclados isomorfos basados ​​en espacios de tono. Los únicos que han tenido éxito hasta ahora son varios diseños de acordeón .

• Tonelada
• Modelo de matriz en espiral
• Teoría de conjuntos diatónicos
• Emancipación de la disonancia
• Campo unificado
• Espacio vocálico
• Espacio de color

• Cohn, Richard. (1997). Operaciones neoriemannianas, tricordios parsimoniosos y sus representaciones "tonnetas". Journal of Music Theory , 41.1: 1-66.
• Franklin, John Curtis, (2002). Música diatónica en la antigua Grecia: una reevaluación de su antigüedad, Memenosyne , 56.1 (2002), 669–702.
• Lerdahl, Fred (2001). Espacio tonal de alturas , págs. 42-43. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-505834-8.
• Mathieu, WA (1997). Experiencia armónica: la armonía tonal desde sus orígenes naturales hasta su expresión moderna . Inner Traditions Intl Ltd. ISBN 0-89281-560-4.
• Tenney, James (1983). John Cage y la teoría de la armonía.
• Tenzer, Michael (2000). Gamelan Gong Kebyar: El arte de la música balinesa del siglo XX . Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-79281-1.

• Straus, Joseph. (2004) Introducción a la teoría postonal. Prentice Hall. ISBN 0-13-189890-6.
• Wannamaker, Robert. La música de James Tenney, volumen 1: contextos y paradigmas (University of Illinois Press, 2021).

• Siete retículos límite
• Espacio Tenney
• Espacio Kees
• Über die mathematische Bestimmung der musikalischen Intervalle, por MW Drobisch