Modelo de matriz en espiral

En teoría musical , el modelo de matriz espiral es un tipo extendido de espacio de alturas . Un modelo matemático que involucra hélices concéntricas (una "matriz de espirales "), representa las percepciones humanas de alturas , acordes y tonalidades en el mismo espacio geométrico . Fue propuesto en 2000 por Elaine Chew en su tesis doctoral del MIT Toward a Mathematical Model of Tonality . ^{[ 1 ]} Investigaciones posteriores de Chew y otros han producido modificaciones del modelo de matriz espiral y lo han aplicado a varios problemas en teoría y práctica musical, como la búsqueda de tonalidades (simbólica y auditiva ^{[ 2 ] [ 3 ]} ), la ortografía de alturas, ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} segmentación tonal, ^{[ 8 ] [ 9 ]} evaluación de similitud, ^{[ 10 ]} y humor musical. ^{[ 11 ]} Las extensiones y aplicaciones se describen en Mathematical and Computational Modeling of Tonality: Theory and Applications . ^{[ 12 ]}

El modelo de matriz espiral puede considerarse como una tonnetz generalizada , que asigna tonos a una estructura reticular bidimensional (matriz). La matriz espiral envuelve la tonnetz bidimensional en una red tridimensional y modela estructuras de orden superior, como acordes y tonalidades, en el interior del espacio reticular. Esto permite que el modelo de matriz espiral produzca interpretaciones geométricas de las relaciones entre estructuras de bajo y alto nivel. Por ejemplo, es posible modelar y medir geométricamente la distancia entre un tono y una tonalidad específicos, ambos representados como puntos en el espacio de la matriz espiral. Para preservar la notación de los tonos, dado que musicalmente La# ≠ Sib en su función y uso, la matriz espiral no asume la equivalencia enarmónica , es decir, no se pliega en un toroide. Las relaciones espaciales entre tonos, acordes y tonalidades coinciden con las de otras representaciones del espacio tonal. ^{[ 13 ]}

El modelo y sus algoritmos en tiempo real se han implementado en el software de visualización tonal MuSA.RT ^{[ 14 ] [ 15 ]} (Music on the Spiral Array . Real-Time) y en una aplicación gratuita, MuSA_RT, ^{[ 16 ]} ambas utilizadas en vídeos de educación musical ^{[ 17 ] [ 18 ]} y en actuaciones en directo. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

El modelo propuesto abarca tonos básicos, acordes mayores, acordes menores, tonalidades mayores y menores, representados en cinco hélices concéntricas. Partiendo de una formulación de la hélice de tonos, las hélices internas se generan como combinaciones convexas de puntos en las externas. Por ejemplo, los tonos C, E y G se representan como los puntos cartesianos P (0), P (1) y P (4) (véanse las definiciones en la siguiente sección), que forman un triángulo. La combinación convexa de estos tres puntos es un punto dentro del triángulo y representa su centro de efecto ( ce ). Este punto interior, C _M (0), representa el acorde de C mayor en el modelo de matriz espiral. De manera similar, las tonalidades se pueden construir a partir de los centros de efecto de sus acordes I, IV y V.

• La hélice exterior representa las clases de alturas. Las clases de alturas vecinas están separadas por un intervalo musical de quinta justa y, espacialmente, por un cuarto de rotación. El orden de las clases de alturas se puede determinar mediante la línea de quintas. Por ejemplo, a C le seguiría G (C y G están separados por una quinta justa), a este le seguiría D (G y D están separados por una quinta justa), etc. Como resultado de esta estructura, y una de las propiedades importantes que llevaron a su selección, los vecinos verticales están separados por un intervalo musical de tercera mayor . Por lo tanto, los vecinos más cercanos de una clase de altura y ella misma forman intervalos de quinta justa y tercera mayor.
• Tomando cada tríada consecutiva a lo largo de la hélice y conectando sus centros de efecto, se forma una segunda hélice dentro de la hélice de alturas, que representa los acordes mayores.
• De manera similar, al tomar las tríadas menores adecuadas y conectar sus centros de efecto, se forma una tercera hélice que representa los acordes menores.
• La hélice de la tonalidad mayor está formada por los centros de efecto de los centros de efecto de los acordes I, IV y V.
• La hélice en tonalidad menor se forma conectando combinaciones similares de los acordes i, iv/IV y V/v.

En el modelo de Chew, la hélice de clase de paso, P , se representa en forma paramétrica mediante:

${\displaystyle P(k)={\begin{bmatrix}x_{k}\\y_{k}\\z_{k}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin(k\cdot \pi /2)\\r\cos(k\cdot \pi /2)\\kh\end{bmatrix}}}$ donde k es un número entero que representa la distancia del tono desde C a lo largo de la línea de quintas, r es el radio de la espiral y h es la "elevación" de la espiral.

La hélice del acorde mayor, C _M, está representada por:

${\displaystyle C_{M}(k)=w_{1}\cdot P(k)+w_{2}\cdot P(k+1)+w_{3}\cdot P(k+4)}$

dónde${\displaystyle w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}>0}$y${\textstyle \sum _ {i=1}^{3}w_ {i}=1}$.

Los pesos "w" afectan la proximidad del centro de efecto a la fundamental, la tercera mayor y la quinta justa del acorde. Al modificar los valores relativos de estos pesos, el modelo de matriz espiral controla la proximidad del acorde resultante a las tres notas constituyentes. Generalmente, en la música occidental, la fundamental recibe el mayor peso para identificar el acorde (w1), seguida de la quinta (w2) y, por último, la tercera (w3).

La hélice del acorde menor, C _m, se representa mediante:

${\displaystyle C_{m}(k)=u_{1}\cdot P(k)+u_{2}\cdot P(k+1)+u_{3}\cdot P(k-3)}$

dónde${\displaystyle u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}>0}$y${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}u_{i}=1.}$

Los pesos "u" funcionan de forma similar a los acordes mayores.

La hélice clave principal, T _M, está representada por:

${\displaystyle T_{M}(k)=\omega _{1}\cdot C_{M}(k)+\omega _{2}\cdot C_{M}(k+1)+\omega _{3}\cdot C_{M}(k-1)}$

dónde${\displaystyle \omega _{1}\geq \omega _{2}\geq \omega _{3}>0}$y${\textstyle \sum _{i=1}^{3}\omega _{i}=1}$.

De forma similar a los pesos que controlan cuán cerca están las alturas constituyentes del centro de efecto del acorde que producen, los pesos${\displaystyle \omega }$controlar el efecto relativo de los acordes I, IV y V para determinar qué tan cerca están de la tonalidad resultante.

La hélice de clave menor, T _m, está representada por:

${\displaystyle T_{m}(k)=\nu _{1}\cdot C_{m}(k)+\nu _{2}\cdot (\alpha \cdot C_{M}(k+1)+(1-\alpha )\cdot C_{m}(k+1))+\nu _{3}\cdot (\beta *C_{m}(k-1)+(1-\beta )\cdot C_{M}(k-1)).}$

dónde${\displaystyle \nu _{1}\geq \nu _{2}\geq \nu _{3}>0}$y${\displaystyle \nu _{1}+\nu _{2}+\nu _{3}=1}$y${\displaystyle 0\geq \alpha \geq 1}$y${\displaystyle \beta \geq 1}$.

• Chew, Elaine (2014). Modelado matemático y computacional de la tonalidad: teoría y aplicaciones . Serie internacional en investigación operativa y ciencias de la gestión. Springer. ISBN 978-1-4614-9474-4.
• Chew, Elaine (2000). Hacia un modelo matemático de la tonalidad (Ph.D.). Instituto Tecnológico de Massachusetts. hdl : 1721.1/9139 .
• Megan Swan (12 de diciembre de 2014). See What You Hear . Minuto 3:41. Inside the Music. Filarmónica de Los Ángeles.
• Eric Mankin (20 de enero de 2010). La ingeniera y pianista Elaine Chew habla sobre el uso de herramientas matemáticas y de software para analizar la música . Minuto 5:49. Viterbi. Universidad del Sur de California.
• François, Alexandre (2012). "MuSA_RT" . iTunes ., una aplicación gratuita para Mac que implementa y anima el modelo de matriz en espiral para entrada MIDI.