Hélice

La hélice dextrógira $(cos t, sin t, t)$ para $0 \leq t \leq 4π con$ puntas de flecha que muestran la dirección de aumento $de t$

Una hélice ( / ˈ h iː l ɪ k s / ; pl. hélices ) es una forma similar a un resorte helicoidal cilíndrico o a la rosca de un tornillo de máquina . Es un tipo de curva suave y oblicua con líneas tangentes que forman un ángulo constante con un eje fijo. Las hélices son importantes en biología , ya que la molécula de ADN está formada por dos hélices entrelazadas , y muchas proteínas tienen subestructuras helicoidales, conocidas como hélices alfa . La palabra hélice proviene del griego ἕλιξ , «retorcido, curvado». ^[¹^] Una hélice «rellena» —por ejemplo, una rampa «espiral» (helicoidal)— es una superficie llamada helicoide . ^[²^]

Propiedades y tipos

El paso de una hélice es la altura de una vuelta completa de la hélice , medida paralelamente al eje de la misma.

Una doble hélice consta de dos hélices (típicamente congruentes ) con el mismo eje, que difieren en una traslación a lo largo del eje. ^{[ 3 ]}

Una hélice circular (es decir, una con radio constante) tiene una curvatura de banda constante y una torsión constante . La pendiente de una hélice circular se define comúnmente como la relación entre la circunferencia del cilindro circular alrededor del cual se enrolla y su paso (la altura de una vuelta completa de la hélice).

Una hélice cónica , también conocida como espiral cónica , puede definirse como una espiral sobre una superficie cónica, donde la distancia al vértice es una función exponencial del ángulo que indica la dirección desde el eje.

Una curva se denomina hélice general o hélice cilíndrica ^{[ 4 ]} si su tangente forma un ángulo constante con una línea fija en el espacio. Una curva es una hélice general si y solo si la relación entre la curvatura y la torsión es constante. ^{[ 5 ]}

Una curva se denomina hélice oblicua si su normal principal forma un ángulo constante con una línea fija en el espacio. ^{[ 6 ]} Se puede construir aplicando una transformación al sistema de referencia móvil de una hélice general. ^{[ 7 ]}

Para ver curvas espaciales más generales con forma de hélice, consulte espiral espacial ; por ejemplo, espiral esférica .

Lateralidad

Las hélices pueden ser diestras o zurdas. Si, siguiendo el eje de la hélice, un movimiento de giro en el sentido de las agujas del reloj la aleja del observador, se denomina hélice diestra; si la acerca, es una hélice zurda. La quiralidad es una propiedad de la hélice, no de la perspectiva: una hélice diestra no puede girarse para parecer una zurda a menos que se observe en un espejo, y viceversa.

Descripción matemática

En matemáticas , una hélice es una curva en el espacio tridimensional . La siguiente parametrización en coordenadas cartesianas define una hélice particular; ^{[ 8 ]} quizás las ecuaciones más simples para una son

{\begin{aligned}x(t)&=\cos(t),\\y(t)&=\sin(t),\\z(t)&=t.\end{aligned}}

A medida que el parámetro $t$ aumenta, el punto $(x(t),y(t),z(t))$ traza una hélice dextrógira de paso $2π$ (o pendiente 1) y radio 1 alrededor del eje $z , en un sistema$ $de$ coordenadas dextrógiro.

En coordenadas cilíndricas $(r, θ, h)$ , la misma hélice se parametriza mediante:

{\begin{aligned}r(t)&=1,\\\theta (t)&=t,\\h(t)&=t.\end{aligned}}

Una hélice circular de radio $a$ y pendiente $⁠ a / b ⁠$ (o paso $2 πb$ ) se describe mediante la siguiente parametrización:

{\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t),\\y(t)&=a\sin(t),\\z(t)&=bt.\end{aligned}}

Otra forma de construir matemáticamente una hélice es representar gráficamente la función compleja $e xi$ en función del número real $x$ (véase la fórmula de Euler ). El valor de $x$ y las partes real e imaginaria de la función dan a esta gráfica tres dimensiones reales.

Excepto por rotaciones , traslaciones y cambios de escala, todas las hélices dextrógiras son equivalentes a la hélice definida anteriormente. La hélice levógira equivalente se puede construir de varias maneras, la más sencilla de las cuales consiste en negar cualquiera de las componentes $x$ , $y$ o $z$ .

Longitud de arco, curvatura y torsión

Una hélice circular de radio $a>0$ y pendiente $⁠$ $a$ $/$ $b$ $⁠$ (o paso $2$ $πb$ ) expresada en coordenadas cartesianas como la ecuación paramétrica

t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]

tiene una longitud de arco de

A=T\cdot {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},

una curvatura de

{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},

y una torsión de

{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.

Longitud de arco por revolución ( $T=2\pi$ ): $A={\sqrt {(2\pi a)^{2}+(2\pi b)^{2}}}$ o $A={\sqrt {(2\pi a)^{2}+p^{2}}}$ dónde $p=$ paso.

Longitud retorcida por unidad de longitud recta (longitud axial): $A={\frac {\sqrt {(2\pi a)^{2}+p^{2}}}{p}}$

Una hélice tiene una curvatura y torsión constantes y distintas de cero.

Una hélice es la función con valores vectoriales

${\begin{aligned}\mathbf {r} &=a\cos t\mathbf {i} +a\sin t\mathbf {j} +bt\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {v} &=-a\sin t\mathbf {i} +a\cos t\mathbf {j} +b\mathbf {k} \\[6px]\mathbf {a} &=-a\cos t\mathbf {i} -a\sin t\mathbf {j} +0\mathbf {k} \\[6px]|\mathbf {v} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\[6px]|\mathbf {a} |&={\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}}=a\\[6px]s(t)&=\int _{0}^{t}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}d\tau ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\end{aligned}}$

Así pues, una hélice puede ser reparametrizada en función de $s$ , que debe ser velocidad unitaria:

$\mathbf {r} (s)=a\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +a\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {bs}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$

El vector tangente unitario es

${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {T} ={\frac {-a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {k}$

El vector normal es

${\frac {d\mathbf {T} }{ds}}=\kappa \mathbf {N} ={\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +{\frac {-a}{a^{2}+b^{2}}}\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

Su curvatura es

$\kappa =\left|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right|={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}$ .

El vector normal unitario es

$\mathbf {N} =-\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k}$

El vector binormal es

${\begin{aligned}\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} &={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\left(b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} -b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +a\mathbf {k} \right)\\[12px]{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\cos {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {i} +b\sin {\frac {s}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\mathbf {j} +0\mathbf {k} \right)\end{aligned}}$

Su torsión es $\tau =\left|{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}\right|={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}.$

Ejemplos

Un ejemplo de doble hélice en biología molecular es la doble hélice de los ácidos nucleicos .

Un ejemplo de hélice cónica es la montaña rusa Corkscrew en el parque de atracciones Cedar Point .

Algunas curvas que se encuentran en la naturaleza consisten en múltiples hélices de diferente quiralidad unidas entre sí por transiciones conocidas como perversiones de zarcillos .

La mayoría de las roscas de los tornillos son hélices dextrógiras. La hélice alfa en biología, así como las formas A y B del ADN, también son hélices dextrógiras. La forma Z del ADN es levógira.

En música , el espacio tonal se suele modelar con hélices o dobles hélices, que generalmente se extienden a partir de un círculo, como el círculo de quintas , para representar la equivalencia de octavas .

En aviación, el paso geométrico es la distancia que avanzaría un elemento de la hélice de un avión en una revolución si se moviera a lo largo de una hélice con un ángulo igual al que existe entre la cuerda del elemento y un plano perpendicular al eje de la hélice; véase también: ángulo de paso (aviación) .

Estructura cristalina de una hélice molecular plegada reportada por Lehn et al. ^{[ 9 ]}
Una hélice zurda natural, formada por una planta trepadora .
Columnas helicoidales en la fachada de la Basílica de Nuestra Señora de la Merced en Lima
Una partícula cargada en un campo magnético uniforme que sigue una trayectoria helicoidal
Un resorte helicoidal
Una doble hélice de ADN

Véase también

Referencias

↑ ἕλιξ Archivado el 16/10/2012 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , en Perseo
↑ Weisstein, Eric W. "Helicoide" . MathWorld .
↑ " Doble hélice archivada el 30/04/2008 en la Wayback Machine " por Sándor Kabai, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
↑ O'Neill, B. Geometría diferencial elemental, 1961, pág. 72
↑ O'Neill, B. Geometría diferencial elemental, 1961, pág. 74
↑ Izumiya, S. y Takeuchi, N. (2004) Nuevas curvas especiales y superficies desarrollables. Turk J Math Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , 28:153–163.
↑ Menninger, T. (2013), Una parametrización explícita del aparato de Frenet de la hélice inclinada . arXiv:1302.3175 Archivado el 5 de febrero de 2018 en Wayback Machine .
↑ Weisstein, Eric W. "Hélice" . MathWorld .
↑ Schmitt, J.-L.; Stadler, A.-M.; Kyritsakas, N.; Lehn, J.-M. (2003). "Cadenas moleculares codificadas por helicidad: acceso eficiente mediante la ruta de la hidrazona y características estructurales". Helvetica Chimica Acta . 86 (5): 1598– 1624. Bibcode : 2003HChAc..86.1598S . doi : 10.1002/hlca.200390137 .

[1] ἕλιξ Archivado el 16/10/2012 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , en Perseo

[2] Weisstein, Eric W. "Helicoide" . MathWorld .

[3] " Doble hélice archivada el 30/04/2008 en la Wayback Machine " por Sándor Kabai, Proyecto de demostraciones de Wolfram .

[4] O'Neill, B. Geometría diferencial elemental, 1961, pág. 72

[5] O'Neill, B. Geometría diferencial elemental, 1961, pág. 74

[6] Izumiya, S. y Takeuchi, N. (2004) Nuevas curvas especiales y superficies desarrollables. Turk J Math Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , 28:153–163.

[7] Menninger, T. (2013), Una parametrización explícita del aparato de Frenet de la hélice inclinada . arXiv:1302.3175 Archivado el 5 de febrero de 2018 en Wayback Machine .

[8] Weisstein, Eric W. "Hélice" . MathWorld .

[9] Schmitt, J.-L.; Stadler, A.-M.; Kyritsakas, N.; Lehn, J.-M. (2003). "Cadenas moleculares codificadas por helicidad: acceso eficiente mediante la ruta de la hidrazona y características estructurales". Helvetica Chimica Acta . 86 (5): 1598– 1624. Bibcode : 2003HChAc..86.1598S . doi : 10.1002/hlca.200390137 .

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