sistema de coordenadas cartesianas

Ilustración de un plano de coordenadas cartesianas. Se marcan cuatro puntos con sus coordenadas: (2, 3) en verde, (−3, 1) en rojo, (−1,5, −2,5) en azul y el origen (0, 0) en morado.

En geometría , un sistema de coordenadas cartesianas ( UK : / kɑːrˈtiːzjən / , US : / kɑːrˈtiːʒən / ) en un plano es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única mediante un par de números reales llamados coordenadas , que son las distancias con signo al punto desde dos líneas perpendiculares fijas orientadas , llamadas líneas de coordenadas , ejes de coordenadas o simplemente ejes ( plural de eje ) del sistema. El punto donde se encuentran los ejes se llama origen y tiene $(0, 0)$ como coordenadas. Las direcciones de los ejes representan una base ortogonal . La combinación del origen y la base forma un marco de coordenadas llamado marco cartesiano .

De manera similar, la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional se puede especificar mediante tres coordenadas cartesianas , que son las distancias con signo desde el punto a tres planos mutuamente perpendiculares. De forma más general, $n$ coordenadas cartesianas especifican el punto en un espacio euclidiano $n$ -dimensional para cualquier dimensión $n$ . Estas coordenadas son las distancias con signo desde el punto a $n$ hiperplanos fijos mutuamente perpendiculares .

Sistema de coordenadas cartesianas con un círculo de radio 2 centrado en el origen, marcado en rojo. La ecuación de un círculo es ( x − a ) ² + ( y − b ) ² = r ² donde a y b son las coordenadas del centro ( a , b ) y r es el radio.

Las coordenadas cartesianas reciben su nombre de René Descartes , cuya invención en el siglo XVII revolucionó las matemáticas al permitir expresar problemas de geometría en términos de álgebra y cálculo . Mediante el sistema de coordenadas cartesianas, las figuras geométricas (como las curvas ) pueden describirse mediante ecuaciones que involucran las $coordenadas$ de los puntos de la figura. Por ejemplo, un círculo de radio 2, centrado en el origen del plano, puede describirse como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x² + y² = 4$ ; el área , el $perímetro$ y la recta tangente en cualquier punto pueden calcularse a partir de esta ecuación mediante integrales y derivadas , de una manera que puede aplicarse a cualquier curva.

Las coordenadas cartesianas son la base de la geometría analítica y proporcionan interpretaciones geométricas esclarecedoras para muchas otras ramas de las matemáticas, como el álgebra lineal , el análisis complejo , la geometría diferencial , el cálculo multivariable , la teoría de grupos y más. Un ejemplo conocido es el concepto de la gráfica de una función . Las coordenadas cartesianas también son herramientas esenciales para la mayoría de las disciplinas aplicadas que se ocupan de la geometría, incluyendo la astronomía , la física , la ingeniería y muchas más. Son el sistema de coordenadas más común utilizado en gráficos por computadora , diseño geométrico asistido por computadora y otros procesos de datos relacionados con la geometría .

Historia

El adjetivo cartesiano hace referencia al matemático y filósofo francés René Descartes , quien publicó esta idea en 1637 mientras residía en los Países Bajos. Fue descubierta independientemente por Pierre de Fermat , quien también trabajaba en tres dimensiones, aunque Fermat no publicó el descubrimiento. ^{[ 1 ]} El clérigo francés Nicole Oresme utilizó construcciones similares a las coordenadas cartesianas mucho antes de la época de Descartes y Fermat. ^{[ 2 ]}

Tanto Descartes como Fermat utilizaron un único eje en sus tratamientos y emplearon una longitud variable medida con respecto a este eje. ^{[ 3 ]} El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo posteriormente, tras la traducción al latín de La Géométrie de Descartes en 1649 por Frans van Schooten y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron diversos conceptos al intentar clarificar las ideas contenidas en la obra de Descartes. ^{[ 4 ]}

El desarrollo del sistema de coordenadas cartesianas desempeñó un papel fundamental en el desarrollo del cálculo por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz . ^{[ 5 ]} La descripción del plano en dos coordenadas se generalizó posteriormente en el concepto de espacios vectoriales . ^{[ 6 ]}

Desde la época de Descartes se han desarrollado muchos otros sistemas de coordenadas, como las coordenadas polares para el plano y las coordenadas esféricas y cilíndricas para el espacio tridimensional.

Descripción

Una dimensión

Una recta afín con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se llama recta numérica . Cada punto de la recta tiene una coordenada real, y cada número real representa algún punto de la recta.

Hay dos grados de libertad en la elección del sistema de coordenadas cartesianas para una línea, que se pueden especificar eligiendo dos puntos distintos a lo largo de la línea y asignándoles dos números reales distintos (generalmente cero y uno). Otros puntos se pueden asignar de forma única a números mediante interpolación lineal . De forma equivalente, se puede asignar un punto a un número real específico, por ejemplo, un punto de origen correspondiente a cero, y se puede elegir una longitud orientada a lo largo de la línea como unidad, donde la orientación indica la correspondencia entre las direcciones a lo largo de la línea y los números positivos o negativos. ^{[ a ]} Cada punto corresponde a su distancia con signo desde el origen (un número con un valor absoluto igual a la distancia y un signo $+$ o $-$ elegido según la dirección).

Una transformación geométrica de la línea puede representarse mediante una función de una variable real ; por ejemplo, la traslación de la línea corresponde a la suma y el escalado de la línea corresponde a la multiplicación. Cualquier par de sistemas de coordenadas cartesianas en la línea pueden relacionarse entre sí mediante una función lineal (función de la forma $x\mapsto ax+b$ ) tomar la coordenada de un punto específico en un sistema a su coordenada en el otro sistema. Elegir un sistema de coordenadas para cada una de dos líneas diferentes establece una transformación afín de una línea a la otra, tomando cada punto de una línea al punto de la otra línea con la misma coordenada.

Dos dimensiones

Un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones (también llamado sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas ortogonales cartesianas ^{[ 7 ]} ) se define mediante un par ordenado de líneas perpendiculares (ejes), una unidad de longitud para cada eje y una orientación para cada uno. El punto donde se cruzan los ejes se toma como origen para ambos, convirtiendo así cada eje en una recta numérica . Para cualquier punto P , se traza una línea que pasa por P y es perpendicular a cada eje, y la posición donde se cruza con el eje se interpreta como un número. Los dos números, en ese orden, son las coordenadas cartesianas de P. La construcción inversa permite determinar el punto P a partir de sus coordenadas.

La primera y la segunda coordenada se denominan abscisa y ordenada de P , respectivamente; y el punto donde se cruzan los ejes se denomina origen del sistema de coordenadas. Las coordenadas se suelen escribir como dos números entre paréntesis, en ese orden, separados por una coma, como en (3, −10.5) . Así, el origen tiene coordenadas (0, 0) , y los puntos en los semiejes positivos, a una unidad del origen, tienen coordenadas (1, 0) y (0, 1) .

En matemáticas, física e ingeniería, el primer eje se define o representa generalmente como horizontal y orientado hacia la derecha, y el segundo eje es vertical y orientado hacia arriba. (Sin embargo, en algunos contextos de gráficos por computadora , el eje de ordenadas puede estar orientado hacia abajo). El origen suele etiquetarse como O , y las dos coordenadas se suelen denotar con las letras X e Y , o x e y . Los ejes pueden denominarse entonces eje X y eje Y. La elección de las letras proviene de la convención original, que consiste en usar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. La primera parte del alfabeto se usaba para designar valores conocidos.

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se llama plano euclidiano.Plano cartesiano . En un plano cartesiano, se pueden definir representantes canónicos de ciertas figuras geométricas, como elcírculo unitario(con radio igual a la unidad de longitud y centro en el origen), elcuadrado unitario(cuya diagonal tiene extremos en(0, 0)y(1, 1)), lahipérbola unitaria, etc.

Los dos ejes dividen el plano en cuatro ángulos rectos , llamados cuadrantes . Los cuadrantes pueden ser nombrados o numerados de diversas maneras, pero el cuadrante donde todas las coordenadas son positivas generalmente se denomina primer cuadrante .

Si las coordenadas de un punto son ( x , y ) , entonces sus distancias al eje X y al eje Y son | y | y | x | , respectivamente; donde | · | denota el valor absoluto de un número.

Tres dimensiones

Un sistema de coordenadas cartesianas para un espacio tridimensional consta de una terna ordenada de rectas (los ejes ) que pasan por un punto común (el origen ) y son perpendiculares entre sí; una orientación para cada eje; y una unidad de longitud para los tres ejes. Al igual que en el caso bidimensional, cada eje se convierte en una recta numérica. Para cualquier punto P del espacio, se considera un plano que pasa por P y es perpendicular a cada eje de coordenadas, y se interpreta el punto donde dicho plano corta el eje como un número. Las coordenadas cartesianas de P son esos tres números, en el orden elegido. La construcción inversa determina el punto P a partir de sus tres coordenadas.

Alternativamente, cada coordenada de un punto P puede tomarse como la distancia desde P al plano definido por los otros dos ejes, con el signo determinado por la orientación del eje correspondiente.

Cada par de ejes define un plano de coordenadas . Estos planos dividen el espacio en ocho octantes . Los octantes son:

${\begin{alineado}(+x,+y,+z)&&(-x,+y,+z)&&(+x,-y,+z)&&(+x,+y,-z)\\(+x,-y,-z)&&(-x,+y,-z)&&(-x,-y,+z)&&(-x,-y,-z)\end{aligned}}$

Las coordenadas se suelen escribir como tres números (o fórmulas algebraicas) entre paréntesis y separados por comas, como en $(3, -2.5, 1)$ o $(t, u + v, π /2)$ . Así, el origen tiene coordenadas $(0, 0, 0)$ , y los puntos unitarios en los tres ejes son $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ , y $(0, 0, 1)$ .

Los nombres estándar para las coordenadas en los tres ejes son abscisa , ordenada y aplicada . ^{[ 8 ]} Las coordenadas se suelen denotar con las letras x , y y z . Los ejes se denominan eje x , eje y y eje z , respectivamente. Los planos de coordenadas se denominan plano xy , plano yz y plano xz .

En matemáticas, física e ingeniería, los dos primeros ejes suelen definirse o representarse como horizontales, con el tercer eje apuntando hacia arriba. En ese caso, la tercera coordenada se denomina altura o altitud . La orientación se elige generalmente de forma que el ángulo de 90 grados entre el primer y el segundo eje parezca girar en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde el punto $(0, 0, 1)$ ; una convención conocida como la regla de la mano derecha .

Dimensiones superiores

Dado que las coordenadas cartesianas son únicas y no ambiguas, los puntos de un plano cartesiano pueden identificarse con pares de números reales ; es decir, con el producto cartesiano. $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , dónde $\mathbb {R}$ es el conjunto de todos los números reales. De la misma manera, los puntos en cualquier espacio euclidiano de dimensión n se pueden identificar con las tuplas (listas) de n números reales; es decir, con el producto cartesiano. $\mathbb {R} ^{n}$ .

Generalizaciones

El concepto de coordenadas cartesianas se generaliza para permitir ejes que no son perpendiculares entre sí y/o unidades diferentes a lo largo de cada eje. En ese caso, cada coordenada se obtiene proyectando el punto sobre un eje en una dirección paralela al otro eje (o, en general, al hiperplano definido por todos los demás ejes). En un sistema de coordenadas oblicuas como este , los cálculos de distancias y ángulos deben modificarse con respecto a los sistemas cartesianos estándar, y muchas fórmulas estándar (como la fórmula pitagórica para la distancia) no son válidas (véase plano afín ).

Notaciones y convenciones

Las coordenadas cartesianas de un punto se suelen escribir entre paréntesis y separadas por comas, como en (10, 5) o (3, 5, 7) . El origen se suele indicar con la letra mayúscula O. En geometría analítica, las coordenadas desconocidas o genéricas se suelen denotar con las letras ( x , y ) en el plano y ( x , y , z ) en el espacio tridimensional. Esta convención proviene del álgebra, que utiliza letras cercanas al final del alfabeto para valores desconocidos (como las coordenadas de puntos en muchos problemas geométricos) y letras cercanas al principio para cantidades conocidas.

Estos nombres convencionales se utilizan a menudo en otros campos, como la física y la ingeniería, aunque también pueden emplearse otras letras. Por ejemplo, en un gráfico que muestra cómo varía la presión con el tiempo , las coordenadas del gráfico pueden denotarse como p y t . Cada eje suele recibir el nombre de la coordenada que se mide a lo largo de él; así, se habla del eje x , el eje y , el eje t , etc.

Otra convención común para nombrar coordenadas es usar subíndices, como ( x₁ _,x₂ _, ... , xₙ ₎ para las n coordenadas en un espacio n -dimensional, especialmente cuando n es mayor que 3 o no está especificado . Algunos autores prefieren la numeración ( x₀ _,x₁ , ..., xₙ₋₁ ). Estas notaciones son particularmente ventajosas en _la programación informática : al almacenar _las coordenadas de un punto como una matriz , en lugar de un registro , el subíndice puede servir para indexar las coordenadas _.

En las ilustraciones matemáticas de los sistemas cartesianos bidimensionales, la primera coordenada (tradicionalmente llamada abscisa ) se mide a lo largo de un eje horizontal , orientado de izquierda a derecha. La segunda coordenada (la ordenada ) se mide a lo largo de un eje vertical , generalmente orientado de abajo hacia arriba. Los niños pequeños que aprenden el sistema cartesiano suelen aprender el orden para leer los valores antes de afianzar los conceptos de los ejes x , y y z , comenzando con mnemotecnias bidimensionales (por ejemplo, "Camina por el pasillo y luego sube las escaleras", similar a ir en línea recta a lo largo del eje x y luego subir verticalmente a lo largo del eje y ).

Sin embargo, los gráficos por computadora y el procesamiento de imágenes suelen usar un sistema de coordenadas con el eje Y orientado hacia abajo en la pantalla. Esta convención se desarrolló en la década de 1960 (o antes) a partir de la forma en que las imágenes se almacenaban originalmente en los búferes de visualización .

Para sistemas tridimensionales, la convención es representar el plano xy horizontalmente, añadiendo el eje z para representar la altura (positivo hacia arriba). Además, existe la convención de orientar el eje x hacia el observador, con una ligera inclinación hacia la derecha o hacia la izquierda. Si un diagrama ( proyección 3D o dibujo en perspectiva 2D ) muestra los ejes x e y horizontal y verticalmente, respectivamente, entonces el eje z debe mostrarse apuntando "fuera de la página" hacia el observador o la cámara. En un diagrama 2D de un sistema de coordenadas 3D, el eje z aparecería como una línea o rayo que apunta hacia abajo y a la izquierda o hacia abajo y a la derecha, según la perspectiva del observador o la cámara . En cualquier diagrama o representación gráfica, la orientación de los tres ejes, en su conjunto, es arbitraria. Sin embargo, la orientación de los ejes entre sí siempre debe cumplir con la regla de la mano derecha , a menos que se indique lo contrario. Todas las leyes de la física y las matemáticas asumen esta quiralidad , lo que garantiza la coherencia.

En diagramas 3D, los términos «abscisa» y «ordenada» rara vez se usan para referirse a x e y , respectivamente. Cuando se usan, la coordenada z a veces se denomina eje y. Los términos «abscisa» , «ordenada» y «eje y» se utilizan a veces para referirse a los ejes de coordenadas en lugar de a los valores de las coordenadas. ^{[ 7 ]}

Cuadrantes y octantes

Los ejes de un sistema cartesiano bidimensional dividen el plano en cuatro regiones infinitas, llamadas cuadrantes , ^{[ 7 ]} cada una delimitada por dos semiejes. Estos suelen numerarse del 1.º al 4.º y se denotan con números romanos : I (donde ambas coordenadas tienen signo positivo), II (donde la abscisa es negativa − y la ordenada es positiva +), III (donde tanto la abscisa como la ordenada son −) y IV (abscisa +, ordenada −). Cuando los ejes se dibujan según la convención matemática, la numeración va en sentido contrario a las agujas del reloj comenzando desde el cuadrante superior derecho ("noreste").

De manera similar, un sistema cartesiano tridimensional define una división del espacio en ocho regiones u octantes , ^{[ 7 ]} según los signos de las coordenadas de los puntos. La convención utilizada para nombrar un octante específico consiste en enumerar sus signos; por ejemplo, (+ + +) o (− + −) . La generalización del cuadrante y el octante a un número arbitrario de dimensiones es el ortante , y se aplica un sistema de nomenclatura similar.

Fórmulas cartesianas para el plano

Distancia entre dos puntos

La distancia euclidiana entre dos puntos del plano con coordenadas cartesianas. $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ es

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

Esta es la versión cartesiana del teorema de Pitágoras . En el espacio tridimensional, la distancia entre puntos ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ y ${\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ es

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},$

que se puede obtener mediante dos aplicaciones consecutivas del teorema de Pitágoras. ^{[ 9 ]}

transformaciones euclidianas

Las transformaciones euclidianas o movimientos euclidianos son las aplicaciones ( biyectivas ) de puntos del plano euclidiano sobre sí mismos que preservan las distancias entre puntos. Existen cuatro tipos de estas aplicaciones (también llamadas isometrías): traslaciones , rotaciones , reflexiones y reflexiones con deslizamiento . ^{[ 10 ]}

Traducción

Trasladar un conjunto de puntos del plano, conservando las distancias y direcciones entre ellos, equivale a sumar un par fijo de números ( a , b ) a las coordenadas cartesianas de cada punto del conjunto. Es decir, si las coordenadas originales de un punto son ( x , y ) , después de la traslación serán

$(x',y')=(x+a,y+b).$

Rotación

Para rotar una figura en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen un cierto ángulo $\theta$ es equivalente a reemplazar cada punto con coordenadas ( x , y ) por el punto con coordenadas ( x ' , y ' ), donde

${\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}$

De este modo:

$(x',y')=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).$

Reflexión

Si ( x , y ) son las coordenadas cartesianas de un punto, entonces (−x , y ) son las coordenadas de su reflexión respecto al segundo eje de coordenadas (el eje y), como si esa línea fuera un espejo. De igual modo, ( x , −y ) son las coordenadas de su reflexión respecto al primer eje de coordenadas (el eje x). En términos más generales, la reflexión respecto a una línea que pasa por el origen forma un ángulo $\theta$ con el eje x, es equivalente a reemplazar cada punto con coordenadas ( x , y ) por el punto con coordenadas ( x ′, y ′) , donde

${\begin{aligned}x'&=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \\y'&=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .\end{aligned}}$

De este modo: $(x',y')=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).$

Reflexión de deslizamiento

Una reflexión con deslizamiento es la composición de una reflexión respecto a una línea, seguida de una traslación en la dirección de esa línea. Se puede observar que el orden de estas operaciones no importa (la traslación puede ir primero, seguida de la reflexión).

Forma matricial general de las transformaciones

Todas las transformaciones afines del plano pueden describirse de manera uniforme mediante el uso de matrices. Para ello, se utilizan las coordenadas. $(x,y)$ Los datos de un punto se representan comúnmente como una matriz columna. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$ El resultado $(x',y')$ de aplicar una transformación afín a un punto $(x,y)$ viene dado por la fórmula ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+b,$ dónde $A={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{pmatrix}}$ es una matriz de 2×2 y $b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ es una matriz columna. ^{[ 11 ]} Es decir, ${\begin{aligned}x'&=xA_{1,1}+yA_{1,1}+b_{1}\\y'&=xA_{2,1}+yA_{2,2}+b_{2}.\end{aligned}}$

Entre las transformaciones afines, las transformaciones euclidianas se caracterizan por el hecho de que la matriz $A$ es ortogonal ; es decir, sus columnas son vectores ortogonales de norma euclidiana uno, o, explícitamente, $A_{1,1}A_{1,2}+A_{2,1}A_{2,2}=0$ y $A_{1,1}^{2}+A_{2,1}^{2}=A_{1,2}^{2}+A_{2,2}^{2}=1.$

Esto equivale a decir que $A$ multiplicada por su transpuesta es la matriz identidad . Si estas condiciones no se cumplen, la fórmula describe una transformación afín más general .

La transformación es una traslación si y solo si $A$ es la matriz identidad . La transformación es una rotación alrededor de algún punto si y solo si $A$ es una matriz de rotación , lo que significa que es ortogonal y $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=1.$

Se obtiene una reflexión o reflexión deslizante cuando, $A_{1,1}A_{2,2}-A_{2,1}A_{1,2}=-1.$

Suponiendo que no se utilicen traducciones (es decir, $b_{1}=b_{2}=0$ Las transformaciones se pueden componer simplemente multiplicando las matrices de transformación asociadas. En el caso general, es útil utilizar la matriz aumentada de la transformación; es decir, reescribir la fórmula de transformación. ${\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}=A'{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}},$ dónde $A'={\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}&b_{1}\\A_{2,1}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}.$ Con este truco, la composición de transformaciones afines se obtiene multiplicando las matrices aumentadas.

transformación afín

Las transformaciones afines del plano euclidiano son transformaciones que mapean líneas en líneas, pero pueden cambiar distancias y ángulos. Como se mencionó en la sección anterior, pueden representarse con matrices aumentadas: ${\begin{pmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&b_{1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix}}.$

Las transformaciones euclidianas son transformaciones afines tales que la matriz de 2×2 de la $A_{i,j}$ es ortogonal .

La matriz aumentada que representa la composición de dos transformaciones afines se obtiene multiplicando sus matrices aumentadas.

Algunas transformaciones afines que no son transformaciones euclidianas han recibido nombres específicos.

Escalada

Un ejemplo de transformación afín que no es euclidiana lo proporciona el escalado. Hacer una figura más grande o más pequeña equivale a multiplicar las coordenadas cartesianas de cada punto por el mismo número positivo m . Si ( x , y ) son las coordenadas de un punto en la figura original, el punto correspondiente en la figura escalada tiene coordenadas

$(x',y')=(mx,my).$

Si m es mayor que 1, la figura se hace más grande; si m está entre 0 y 1, se hace más pequeña.

Cizallamiento

Una transformación de cizallamiento desplaza la parte superior de un cuadrado lateralmente para formar un paralelogramo . El cizallamiento horizontal se define por:

$(x',y')=(x+ys,y)$

El corte también puede aplicarse verticalmente:

$(x',y')=(x,xs+y)$

Orientación y lateralidad

En dos dimensiones

Al fijar o elegir el eje x, se determina el eje y, salvo por una dirección específica. Es decir, el eje y es necesariamente la perpendicular al eje x que pasa por el punto marcado como 0 en dicho eje . Sin embargo, se puede elegir cuál de las dos semirrectas de la perpendicular se designará como positiva y cuál como negativa. Cada una de estas dos elecciones determina una orientación diferente (también llamada quiralidad ) del plano cartesiano.

La forma habitual de orientar el plano, con el eje x positivo apuntando hacia la derecha y el eje y positivo apuntando hacia arriba (siendo el eje x el "primer" eje y el eje y el "segundo"), se considera la orientación positiva o estándar , también llamada orientación diestra .

Una regla mnemotécnica comúnmente utilizada para definir la orientación positiva es la regla de la mano derecha . Al colocar la mano derecha ligeramente cerrada sobre el plano con el pulgar apuntando hacia arriba, los dedos apuntan desde el eje x hacia el eje y , en un sistema de coordenadas con orientación positiva.

La otra forma de orientar el plano es siguiendo la regla de la mano izquierda , colocando la mano izquierda sobre el plano con el pulgar apuntando hacia arriba.

Al apuntar con el pulgar alejándolo del origen a lo largo de un eje en dirección positiva, la curvatura de los dedos indica una rotación positiva a lo largo de ese eje.

Independientemente de la regla utilizada para orientar el plano, al rotar el sistema de coordenadas se conservará la orientación. Al cambiar la orientación de un solo eje, esta se invertirá, pero al cambiar la de ambos ejes, la orientación permanecerá inalterada.

En tres dimensiones

Una vez especificados los ejes x e y , estos determinan la línea a lo largo de la cual debe ubicarse el eje z , pero existen dos posibles orientaciones para esta línea. Los dos posibles sistemas de coordenadas resultantes se denominan "diestro" y "zurdo". ^{[ 12 ]} La orientación estándar, donde el plano xy es horizontal y el eje z apunta hacia arriba (y los ejes x e y forman un sistema de coordenadas bidimensional con orientación positiva en el plano xy si se observa desde arriba del plano xy ) se denomina diestro o positivo .

El nombre deriva de la regla de la mano derecha . Si el dedo índice de la mano derecha apunta hacia adelante, el dedo medio se dobla hacia adentro formando un ángulo recto con él, y el pulgar se coloca perpendicularmente a ambos, los tres dedos indican la orientación relativa de los ejes x , y y z en un sistema de coordenadas diestro . El pulgar indica el eje x , el índice el eje y y el dedo medio el eje z . Por el contrario, si se realiza la misma operación con la mano izquierda, se obtiene un sistema de coordenadas zurdo.

La figura 7 muestra un sistema de coordenadas para diestros y otro para zurdos. Debido a que un objeto tridimensional se representa en una pantalla bidimensional, se producen distorsiones y ambigüedades. El eje que apunta hacia abajo (y a la derecha) apunta hacia el observador, mientras que el eje central apunta en dirección opuesta . El círculo rojo es paralelo al plano horizontal xy e indica una rotación del eje x al eje y (en ambos casos). Por lo tanto, la flecha roja pasa por delante del eje z .

La figura 8 es otro intento de representar un sistema de coordenadas diestro. Nuevamente, surge una ambigüedad al proyectar el sistema de coordenadas tridimensional en el plano. Muchos observadores perciben la figura 8 como una figura que alterna entre un cubo convexo y una esquina cóncava . Esto corresponde a las dos posibles orientaciones del espacio. Al ver la figura como convexa, se obtiene un sistema de coordenadas zurdo. Por lo tanto, la forma correcta de interpretar la figura 8 es imaginar que el eje x apunta hacia el observador, percibiendo así una esquina cóncava.

Representación de un vector en la base estándar.

Un punto en el espacio en un sistema de coordenadas cartesianas también puede representarse mediante un vector de posición , que puede pensarse como una flecha que apunta desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto. ^{[ 13 ]} Si las coordenadas representan posiciones espaciales (desplazamientos), es común representar el vector desde el origen hasta el punto de interés como $\mathbf {r}$ En dos dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas (x, y) se puede escribir como:

$\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j},$

dónde $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ y $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ son vectores unitarios en la dirección del eje x y del eje y respectivamente, generalmente denominados base estándar (en algunas áreas de aplicación también pueden denominarse versores ). De manera similar, en tres dimensiones, el vector desde el origen hasta el punto con coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ se puede escribir como: ^{[ 14 ]} $\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,$

dónde $\mathbf {i} ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},$ $\mathbf {j} ={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},$ y $\mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

No existe una interpretación natural de la multiplicación de vectores para obtener otro vector que funcione en todas las dimensiones; sin embargo, existe una manera de utilizar números complejos para proporcionar dicha multiplicación. En un plano cartesiano bidimensional, identifique el punto con coordenadas ( x , y ) con el número complejo z = x + iy . Aquí, i es la unidad imaginaria y se identifica con el punto con coordenadas (0, 1) , por lo que no es el vector unitario en la dirección del eje x . Dado que los números complejos se pueden multiplicar dando como resultado otro número complejo, esta identificación proporciona un medio para "multiplicar" vectores. En un espacio cartesiano tridimensional, se puede realizar una identificación similar con un subconjunto de los cuaterniones .

Véase también

robot de coordenadas cartesianas
Horizontal y vertical
Diagrama de Jones , que representa cuatro variables en lugar de dos.
Coordenadas ortogonales , un tipo de sistema de coordenadas curvilíneas.
Sistema de coordenadas polares
cuadrícula regular
Sistema de coordenadas esféricas

Notas

↑ Consideremos los dos rayos o semirrectas que resultan de dividir la línea en el origen. A una de las semirrectas se le pueden asignar números positivos y a la otra, números negativos.

Citas

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Referencias generales y citadas

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Kent, Alexander J.; Vujakovic, Peter (4 de octubre de 2017). The Routledge Handbook of Mapping and Cartography . Routledge. ISBN 9781317568216.
Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.ª ed.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5
Anton, Howard; Bivens, Irl C.; Davis, Stephen (2021). Cálculo: Multivariable . John Wiley & Sons . pág. 657. ISBN 978-1-119-77798-4.

Lecturas adicionales

Descartes, René (2001). Discurso del método, óptica, geometría y meteorología . Traducido por Paul J. Oscamp ( Edición revisada). Indianápolis, IN: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3OCLC 488633510
Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros (1.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 55–79 . LCCN 59-14456 . OCLC 19959906 .
Margenau H , Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. LCCN 55-10911 .
Moon P, Spencer DE (1988). «Coordenadas rectangulares (x, y, z)». Manual de teoría de campos, incluyendo sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª y 3.ª edición corregida ). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 9-11 (Tabla 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
Morse PM , Feshbach H (1969). Métodos de física teórica, Parte I (1.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN 52-11515 .
Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. LCCN 67-25285 .

Enlaces externos

Sistema de coordenadas cartesianas
Weisstein, Eric W. "Coordenadas cartesianas" . MathWorld .
Convertidor de coordenadas: convierte entre coordenadas polares, cartesianas y esféricas.
Coordenadas de un punto : herramienta interactiva para explorar las coordenadas de un punto.
Clase JavaScript de código abierto para la manipulación de sistemas de coordenadas cartesianas 2D/3D

[7] Consideremos los dos rayos o semirrectas que resultan de dividir la línea en el origen. A una de las semirrectas se le pueden asignar números positivos y a la otra, números negativos.

[1] Bix, Robert A.; D'Souza, Harry J. "Geometría analítica" . Encyclopædia Britannica . Consultado el 6 de agosto de 2017 .

[2] Kent y Vujakovic 2017 , Ver aquí

[3] Katz, Victor J. (2009). Historia de las matemáticas: una introducción (3.ª ed.). Boston: Addison-Wesley. pág. 484. ISBN 978-0-321-38700-4OCLC 71006826

[4] Burton 2011 , pág. 374 .

[5] Berlinski 2011

[6] Axler 2015 , pág. 1

[:0-8] 1 2 3 4 Ivanov, AB (2001) [1994], "Sistema de coordenadas ortogonales cartesianas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[9] "Coordenadas cartesianas" . planetmath.org . Consultado el 25 de agosto de 2024 .

[10] Hughes-Hallett, McCallum y Gleason 2013

[11] Smart 1998 , Cap. 2 .

[12] Brannan, Esplen y Gray 1998 , pág. 49 .

[13] Anton, Bivens y Davis 2021 , pág. 657

[14] Brannan, Esplen y Gray 1998 , Apéndice 2, págs. 377–382

[15] Griffiths 1999

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