Péndulo (mecánica)

Un péndulo es un cuerpo suspendido de un soporte fijo que oscila libremente bajo la influencia de la gravedad. Cuando un péndulo se desplaza lateralmente de su posición de equilibrio, la gravedad ejerce una fuerza restauradora que lo acelera de vuelta a dicha posición. Al liberarse, esta fuerza restauradora, que actúa sobre la masa del péndulo, provoca que oscile alrededor de la posición de equilibrio, balanceándose de un lado a otro. Las matemáticas de los péndulos son, en general, bastante complejas. Se pueden realizar suposiciones simplificadoras que, en el caso de un péndulo simple, permiten resolver analíticamente las ecuaciones de movimiento para oscilaciones de ángulo pequeño.

Un péndulo de gravedad simple ^{[ 1 ]} es un modelo matemático idealizado de un péndulo real. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Consiste en un peso (o masa ) en el extremo de una cuerda sin masa suspendida de un pivote , sin fricción . Dado que en el modelo no hay pérdida de energía por fricción, cuando se le da un desplazamiento inicial oscila de un lado a otro con una amplitud constante . El modelo se basa en las siguientes suposiciones:

• La varilla o cuerda no tiene masa, es inextensible y siempre permanece bajo tensión.
• La masa es un punto.
• El movimiento se produce en dos dimensiones .
• El movimiento no pierde energía debido a la fricción externa ni a la resistencia del aire .
• El campo gravitatorio es uniforme.
• El soporte es inmóvil.

La ecuación diferencial que rige el movimiento de un péndulo simple es

donde g es la magnitud del campo gravitatorio , ℓ es la longitud de la varilla o cuerda, y θ es el ángulo desde la vertical hasta el péndulo.

Derivación de "fuerza" de ( Ec. 1 )

Considere la Figura 1 a la derecha, que muestra las fuerzas que actúan sobre un péndulo simple. Observe que la trayectoria del péndulo describe un arco de círculo. El ángulo θ se mide en radianes , y esto es crucial para esta fórmula. La flecha azul es la fuerza gravitatoria que actúa sobre la masa, y las flechas violetas son esa misma fuerza descompuesta en componentes paralelas y perpendiculares al movimiento instantáneo de la masa. La dirección de la velocidad instantánea de la masa siempre apunta a lo largo del eje rojo, que se considera el eje tangente porque su dirección siempre es tangente al círculo. Considere la segunda ley de Newton , $${\displaystyle F=ma}$$ donde F es la suma de las fuerzas sobre el objeto, m es la masa y a es la aceleración. La ecuación de Newton se puede aplicar solo al eje tangencial. Esto se debe a que solo importan los cambios de velocidad y el péndulo se ve obligado a permanecer en una trayectoria circular. La flecha violeta corta representa la componente de la fuerza gravitatoria en el eje tangencial, y se puede usar trigonometría para determinar su magnitud. Por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{por lo tanto}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$ donde g es la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie terrestre. El signo negativo en el lado derecho implica que θ y a siempre apuntan en direcciones opuestas. Esto tiene sentido, ya que cuando un péndulo oscila más hacia la izquierda, se espera que acelere de nuevo hacia la derecha.

Esta aceleración lineal a a lo largo del eje rojo se puede relacionar con el cambio de ángulo θ mediante las fórmulas de longitud de arco; s es la longitud de arco: $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$ de este modo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

Derivación de "energía" de ( Ec. 1 )

También se puede obtener mediante el principio de conservación de la energía mecánica : cualquier objeto que cae una distancia vertical${\displaystyle h}$adquiriría energía cinética igual a la que perdió en la caída. En otras palabras, la energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética. El cambio en la energía potencial viene dado por $${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

El cambio en la energía cinética (cuerpo que parte del reposo) viene dado por $${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

Dado que no se pierde energía, la ganancia en uno debe ser igual a la pérdida en el otro. $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

El cambio de velocidad para un cambio de altura dado se puede expresar como $${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

Utilizando la fórmula de longitud de arco anterior, esta ecuación se puede reescribir en términos de ⁠ dθ / dt ⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$ donde h es la distancia vertical que cayó el péndulo. Observe la Figura 2, que presenta la trigonometría de un péndulo simple. Si el péndulo comienza su oscilación desde un ángulo inicial θ ₀ , entonces y ₀ , la distancia vertical desde el tornillo, viene dada por $${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

De manera similar, cuando y ₁ , entonces $${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

Entonces h es la diferencia de los dos $${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

En términos de ⁠ dθ / dt ⁠ da

Esta ecuación se conoce como la primera integral del movimiento ; proporciona la velocidad en función de la posición e incluye una constante de integración relacionada con el desplazamiento inicial ( θ₀ ). A continuación, se deriva aplicando la regla de la cadena con respecto al tiempo para obtener la aceleración _.$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

que es el mismo resultado que se obtiene mediante el análisis de fuerzas.

Derivación "lagrangeana" de ( Ec. 1 )

La ecuación 1 se puede obtener adicionalmente a través de la mecánica lagrangiana . Más específicamente, utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange (o ecuaciones de Lagrange de segundo tipo) identificando el lagrangiano del sistema (${\displaystyle {\mathcal {L}}}$), las restricciones (${\displaystyle q}$) y resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}.}$$

Si el origen del sistema de coordenadas cartesianas se define como el punto de suspensión (o simplemente pivote), entonces el péndulo está en

$${\displaystyle x=\ell \sin {\theta },}$$$${\displaystyle y=-\ell \cos {\theta },}$$

y la velocidad del péndulo, calculada mediante la diferenciación de las coordenadas con respecto al tiempo (utilizando la notación de puntos para indicar las derivadas temporales).

$${\displaystyle {\dot {x}}=\ell {\dot {\theta }}\cos {\theta },}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\ell {\dot {\theta }}\sin {\theta }.}$$

Por lo tanto, el lagrangiano es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=E_{k}-E_{p}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgh\\&={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-mg\ell (1-\cos {\theta })\\&={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell +mg\ell \cos {\theta }.\end{aligned}}}$$

La ecuación de Euler-Lagrange (singular ya que solo hay una restricción,${\displaystyle q=\theta }$) es por lo tanto

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\\{\frac {d}{dt}}(m\ell ^{2}{\dot {\theta }})&=-mg\ell \sin {\theta }\\m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}&=-mg\ell \sin {\theta }\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }.\\\end{aligned}}}$$

Que luego se puede reorganizar para que coincida con la Ecuación 1 , obtenida a través del análisis de fuerzas.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }=0.}$$

Si bien derivar mediante la mecánica lagrangiana es excesivo con un solo péndulo, resulta útil para sistemas más complejos y caóticos , como un péndulo doble .

La ecuación diferencial dada anteriormente no se resuelve fácilmente, y no hay ninguna solución que pueda escribirse en términos de funciones elementales . Sin embargo, al agregar una restricción al tamaño de la amplitud de la oscilación se obtiene una forma cuya solución se puede obtener fácilmente. Si se supone que el ángulo es mucho menor que 1 radián (a menudo citado como menor que 0,1 radianes, aproximadamente 6°), o   $${\displaystyle \theta \ll 1,}$$ luego sustituyendo sen θ en la ecuación 1 usando la aproximación de ángulo pequeño , $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$ produce la ecuación para un oscilador armónico , $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

El error debido a la aproximación es del orden de θ ³ (a partir del desarrollo de Taylor para sin θ ).

Sea θ₀ el ángulo inicial . Si se supone que el péndulo se libera con velocidad angular cero , la solución se convierte en _:

El movimiento es _un movimiento armónico simple donde θ₀ es la amplitud de la oscilación (es decir, el ángulo máximo entre la varilla del péndulo y la vertical). El período aproximado correspondiente del movimiento es entonces

que se conoce como la ley de Christiaan Huygens para el período. Nótese que, bajo la aproximación _{de ángulo pequeño, el período es independiente de la amplitud} θ₀ ; esta es la propiedad del isocronismo que descubrió Galileo .

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$da$${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

Si se utilizan unidades del SI (es decir , se mide en metros y segundos), y suponiendo que la medición se realiza en la superficie de la Tierra, entonces g ≈ 9,81 m/s² y g ^/ π² ≈ 1 ^m / s² ( 0,994 es la ^{aproximación} a 3 decimales).

Por lo tanto, las aproximaciones relativamente razonables para la duración y el período son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$ donde T ₀ es el número de segundos entre dos golpes (un golpe por cada lado del columpio), y l se mide en metros.

Para amplitudes más allá de la aproximación de ángulo pequeño , se puede calcular el período exacto invirtiendo primero la ecuación para la velocidad angular obtenida del método de energía ( Ec. 2 ), $${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$ y luego integrando a lo largo de un ciclo completo, $${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$ o el doble del medio ciclo $${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$ o cuatro veces el cuarto de ciclo $${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$ lo que lleva a $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

Nótese que esta es una integral impropia porque el integrando tiene singularidades en${\displaystyle \theta =\pm \theta _{0}+2\pi \mathbb {Z} }$, pero estas singularidades son integrables siempre que${\displaystyle 0<\theta _{0}<\pi }$. En${\displaystyle \theta _{0}=\pm \pi }$Las singularidades se vuelven no integrables, lo que implica que el valor de la integral diverge a medida que el ángulo de oscilación máximo se acerca a la vertical. $${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$ De modo que un péndulo con la energía justa para alcanzar la verticalidad nunca lo logrará. (Por el contrario, un péndulo cercano a su máxima energía puede tardar un tiempo arbitrariamente largo en caer).

Esta integral puede reescribirse en términos de integrales elípticas como $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$ donde F es la integral elíptica incompleta de primera especie definida por $${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

O, de forma más concisa, mediante la sustitución.$${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$ expresando θ en términos de u ,

Aquí K es la integral elíptica completa de primera especie definida por

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Para comparar la aproximación con la solución completa, considérese el período de un péndulo de longitud 1  m en la Tierra ( g =9,806 65  m/s ² ) con un ángulo inicial de 10 grados es $${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$ La aproximación lineal da

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

La diferencia entre los dos valores, inferior al 0,2%, es mucho menor que la causada por la variación de g con la ubicación geográfica.

A partir de aquí, existen muchas maneras de proceder para calcular la integral elíptica.

Aunque el período exacto${\displaystyle T}$puede determinarse, para cualquier amplitud finita${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$rad, evaluando la integral elíptica completa correspondiente${\displaystyle K(k)}$, dónde${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$Esto se suele evitar en las aplicaciones porque no es posible expresar esta integral en forma cerrada en términos de funciones elementales. Esto ha dado paso a la investigación de fórmulas aproximadas simples para el aumento del período del péndulo con la amplitud (útiles en laboratorios de física introductoria, mecánica clásica, electromagnetismo, acústica, electrónica, superconductividad , etc. ^{[ 9 ]} Las fórmulas aproximadas encontradas por diferentes autores se pueden clasificar de la siguiente manera:

• Fórmulas de "ángulo no tan grande", es decir, aquellas que producen buenas estimaciones para amplitudes inferiores a${\displaystyle \pi /2}$rad (un límite natural para un péndulo en el extremo de una cuerda flexible), aunque la desviación con respecto al período exacto aumenta monótonamente con la amplitud, siendo inadecuado para amplitudes cercanas a${\displaystyle \pi }$rad. Una de las fórmulas más sencillas que se encuentran en la literatura es la siguiente, propuesta por Lima (2006):${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$, dónde${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$. ^{[ 10 ]}
• Fórmulas de "ángulo muy grande", es decir, aquellas que aproximan el período exacto asintóticamente para amplitudes cercanas a${\displaystyle \pi }$rad, con un error que aumenta monótonamente para amplitudes más pequeñas (es decir, inadecuado para amplitudes pequeñas). Una de las mejores fórmulas de este tipo es la de Cromer, a saber: ^{[ 11 ]}${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$.

Por supuesto, el aumento de${\displaystyle T}$con amplitud es más evidente cuando${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$, como se ha observado en muchos experimentos utilizando una varilla rígida o un disco. ^{[ 12 ]} Dado que actualmente se dispone de cronómetros y sensores precisos incluso en laboratorios de física introductoria, los errores experimentales encontrados en experimentos de "ángulo muy grande" ya son lo suficientemente pequeños como para compararlos con el período exacto, y se ha encontrado una muy buena concordancia entre la teoría y los experimentos en los que la fricción es despreciable. Dado que esta actividad ha sido fomentada por muchos instructores, se buscó una fórmula aproximada simple para el período del péndulo válida para todas las amplitudes posibles, con la que se pudieran comparar los datos experimentales. En 2008, Lima derivó una fórmula de promedio ponderado con esta característica: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle r=7.17}$, que presenta un error máximo de solo 0,6% (en${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$).

La expansión en serie de Fourier de${\displaystyle \theta (t)}$está dado por ^{[ 13 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

dónde${\displaystyle q}$es el nomo elíptico ,${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$y${\displaystyle \omega =2\pi /T}$la frecuencia angular .

Si uno define $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$${\displaystyle q}$se puede aproximar utilizando la expansión $${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$ (véase OEIS : A002103  ). Tenga en cuenta que${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$para${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$Por lo tanto, la aproximación es aplicable incluso para grandes amplitudes.

De forma equivalente, el ángulo puede expresarse en términos de la función elíptica de Jacobi.${\displaystyle \operatorname {cd} }$con módulo${\displaystyle k}$^{[ 15 ]}$${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

Para pequeños${\displaystyle x}$,${\displaystyle \sin x\approx x}$,${\displaystyle \arcsin x\approx x}$y${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$, por lo que la solución se aproxima bien mediante la solución dada en Pendulum (mechanics)#Small-angle approximation .

Las animaciones que se muestran a continuación ilustran el movimiento de un péndulo simple (sin fricción) con desplazamientos iniciales crecientes de la masa, o lo que es lo mismo, con velocidades iniciales crecientes. El pequeño gráfico sobre cada péndulo es el diagrama de fase correspondiente ; el eje horizontal representa el desplazamiento y el eje vertical, la velocidad. Con una velocidad inicial suficientemente alta, el péndulo no oscila de un lado a otro, sino que gira completamente alrededor del punto de pivote.

• 
  Ángulo inicial de 0°, un equilibrio estable
• 
  Ángulo inicial de 45°
• 
  Ángulo inicial de 90°
• 
  Ángulo inicial de 135°
• 
  Ángulo inicial de 170°
• 
  Ángulo inicial de 180°, equilibrio inestable
• 
  Péndulo con apenas la energía suficiente para un balanceo completo.
• 
  Péndulo con energía suficiente para un balanceo completo

Un péndulo compuesto (o péndulo físico ) es aquel cuya varilla no carece de masa y puede tener una longitud considerable; es decir, un cuerpo rígido de forma arbitraria que oscila sobre un pivote.${\displaystyle O}$En este caso, el período del péndulo depende de su momento de inercia.${\displaystyle I_{O}}$alrededor del punto de pivote.

La ecuación del torque da como resultado: $${\displaystyle \tau =I\alpha }$$ dónde: ${\displaystyle \alpha }$es la aceleración angular. ${\displaystyle \tau }$es el par

El par motor se genera por la gravedad, por lo tanto: ${\displaystyle \tau =-mgr_{\oplus }\sin \theta }$ dónde:

• ${\displaystyle m}$es la masa total del cuerpo rígido (barra y péndulo)
• ${\displaystyle r_{\oplus }}$es la distancia desde el punto de pivote hasta el centro de masa del sistema.
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo con respecto a la vertical

Por lo tanto, bajo la aproximación de ángulo pequeño,${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$(o equivalentemente cuando${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }\ll 1}$), $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta \approx -{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\theta }$$ dónde${\displaystyle I_{O}}$es el momento de inercia del cuerpo respecto al punto de pivote${\displaystyle O}$.

La expresión para${\displaystyle \alpha }$tiene la misma forma que el péndulo simple convencional y da un período de ^{[ 2 ].}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$

Y una frecuencia de $${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}}}$$

Si se tiene en cuenta el ángulo inicial (para grandes amplitudes), entonces la expresión para${\displaystyle \alpha }$se convierte en: $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta }$$ y da un período de: $${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$ dónde${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$es el ángulo máximo de oscilación (con respecto a la vertical) y${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$es la integral elíptica completa de primera especie .

Un concepto importante es la longitud equivalente ,${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$, la longitud de un péndulo simple que tiene la misma frecuencia angular${\displaystyle \omega _{0}}$como el péndulo compuesto: ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}:={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\oplus }}}}$

Consideremos los siguientes casos:

• El péndulo simple es el caso especial en el que toda la masa se encuentra en el péndulo que oscila a una distancia${\displaystyle \ell }$desde el punto de pivote. Por lo tanto,${\displaystyle r_{\oplus }=\ell }$y${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$, por lo que la expresión se reduce a:${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$. Aviso${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$, como era de esperar (la definición de longitud equivalente).
• Una varilla homogénea de masa${\displaystyle m}$y longitud${\displaystyle \ell }$balanceándose desde su extremo tiene${\displaystyle r_{\oplus }={\frac {1}{2}}\ell }$y${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$, por lo que la expresión se reduce a:${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$. Aviso${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$Una varilla homogénea oscila como si fuera un péndulo simple de dos tercios de su longitud.
• Un péndulo simple pesado: combinación de una varilla homogénea de masa${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$y longitud${\displaystyle \ell }$balanceándose desde su extremo, y un cabeceo${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$en el otro extremo. Entonces el sistema tiene una masa total de${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$y los demás parámetros son${\displaystyle mr_{\oplus }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$(por definición de centro de masa) y${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$, por lo que la expresión se reduce a:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$ Dónde${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}}}$Nótese que estas fórmulas se pueden particularizar en los dos casos anteriores estudiados con solo considerar que la masa de la varilla o del péndulo es cero respectivamente. Nótese también que la fórmula no depende de la masa del péndulo y de la varilla, sino de su relación.${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$Se puede hacer una aproximación para${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

Observe lo similar que es a la frecuencia angular en un sistema masa-resorte con masa efectiva .

La discusión anterior se centra en un péndulo sometido únicamente a la fuerza de la gravedad. Supongamos que sobre el cuerpo actúa una fuerza de amortiguación, como la resistencia del aire, así como una fuerza impulsora sinusoidal. Este sistema es un oscilador amortiguado y forzado , y es caótico .

La ecuación (1) se puede escribir como

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

(véase la derivación del par de torsión de la ecuación (1) anterior).

Se puede agregar un término de amortiguación y un término de forzamiento al lado derecho para obtener

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

donde se supone que la amortiguación es directamente proporcional a la velocidad angular (esto es cierto para la resistencia del aire a baja velocidad, véase también Drag (física) ).${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son constantes que definen la amplitud de la fuerza y ​​el grado de amortiguación, respectivamente.${\textstyle \Omega }$es la frecuencia angular de las oscilaciones impulsoras.

Dividiendo a través de por${\textstyle ml^{2}}$:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{ml^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }-{\frac {a}{ml^{2}}}\cos(\Omega t)=0.}$$

Para un péndulo físico:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{I}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {mgr_{\oplus }}{I}}{\sin \theta }-{\frac {a}{I}}\cos(\Omega t)=0.}$$

Esta ecuación presenta un comportamiento caótico . El movimiento exacto de este péndulo solo puede determinarse numéricamente y depende en gran medida de las condiciones iniciales, como la velocidad inicial y la amplitud de inicio. Sin embargo, la aproximación de ángulo pequeño descrita anteriormente aún puede utilizarse bajo las condiciones requeridas para obtener una solución analítica aproximada.

La función elíptica jacobiana que expresa la posición de un péndulo en función del tiempo es una función doblemente periódica con un período real y un período imaginario . El período real es, por supuesto, el tiempo que tarda el péndulo en completar un ciclo. Paul Appell señaló una interpretación física del período imaginario: ^{[ 16 ]} si θ ₀ es el ángulo máximo de un péndulo y 180° − θ ₀ es el ángulo máximo de otro, entonces el período real de cada uno es la magnitud del período imaginario del otro.

Los péndulos acoplados pueden afectar el movimiento del otro, ya sea mediante una conexión direccional (como un resorte que une las masas) o mediante movimientos en una estructura de soporte (como una mesa). Las ecuaciones de movimiento para dos péndulos simples idénticos acoplados por un resorte que une las masas se pueden obtener utilizando la mecánica lagrangiana .

La energía cinética del sistema es: $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$ dónde${\displaystyle m}$es la masa de los bons,${\displaystyle L}$es la longitud de las cuerdas, y${\displaystyle \theta _{1}}$,${\displaystyle \theta _{2}}$son los desplazamientos angulares de los dos péndulos con respecto al equilibrio.

La energía potencial del sistema es: $${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

dónde${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional y${\displaystyle k}$es la constante elástica . El desplazamiento${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$del resorte desde su posición de equilibrio asume la aproximación de ángulo pequeño .

El lagrangiano es entonces $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$ lo que conduce al siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

Sumando y restando estas dos ecuaciones sucesivamente, y aplicando la aproximación de ángulo pequeño, se obtienen dos ecuaciones de oscilador armónico en las variables${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$y${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$ con las soluciones correspondientes $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

y${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \beta }$son constantes de integración .

Expresar las soluciones en términos de${\displaystyle \theta _{1}}$y${\displaystyle \theta _{2}}$solo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

Si no se da un empujón inicial a los péndulos, entonces la condición${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$requiere${\displaystyle \alpha =\beta =0}$, lo que da como resultado (después de algunos reordenamientos): $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

• Armonógrafo
• Péndulo cónico
• péndulo cicloidal
• péndulo doble
• Péndulo invertido
• El péndulo de Kapitza
• péndulo de Rayleigh-Lorentz
• péndulo elástico
• función de Mathieu
• Ecuaciones del péndulo (software)

• Baker, Gregory L.; Blackburn, James A. (2005). El péndulo: un estudio de caso de física (PDF) . Oxford University Press.
• Ochs, Karlheinz (2011). "Una solución analítica integral del péndulo no lineal". European Journal of Physics . 32 (2): 479– 490. Bibcode : 2011EJPh...32..479O . doi : 10.1088/0143-0807/32/2/019 . S2CID 53621685 . 
• Sala, Kenneth L. (1989). "Transformaciones de la función de amplitud jacobiana y su cálculo mediante la media aritmético-geométrica". SIAM J. Math. Anal . 20 (6): 1514– 1528. doi : 10.1137/0520100 .

• Artículo de Mathworld sobre la función de Mathieu