Péndulo cónico

Un péndulo cónico consta de una masa (o peón ) fijada al extremo de una cuerda o varilla suspendida de un pivote. Su construcción es similar a la de un péndulo común ; sin embargo, en lugar de oscilar de un lado a otro describiendo un arco circular, la masa de un péndulo cónico se mueve a velocidad constante en un círculo o elipse , mientras que la cuerda (o varilla) traza un cono . El péndulo cónico fue estudiado por primera vez por el científico inglés Robert Hooke alrededor de 1660 ^{[ 1 ]} como modelo para el movimiento orbital de los planetas . ^{[ 2 ]} En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens calculó su período, utilizando su nuevo concepto de fuerza centrífuga en su libro Horologium Oscillatorium . Posteriormente, se utilizó como elemento de cronometraje en algunos relojes mecánicos y otros dispositivos de cronometraje. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Durante el siglo XIX, los péndulos cónicos se utilizaron como elemento de cronometraje en algunos mecanismos de relojería donde se requería un movimiento suave, a diferencia del movimiento inevitablemente brusco que proporcionaban los péndulos comunes. ^{[ 4 ]} Dos ejemplos fueron los mecanismos para girar las lentes de los faros y barrer sus haces de luz sobre el mar, y los sistemas de posicionamiento de los telescopios de montura ecuatorial , para permitir que el telescopio siguiera una estrella suavemente a través del cielo mientras la Tierra giraba. ^{[ 3 ]}

Uno de los usos más importantes del péndulo cónico fue en el regulador centrífugo (o regulador de bola ) inventado por James Watt en 1788, que regulaba la velocidad de las máquinas de vapor durante la Era del Vapor en el siglo XIX.

Algunos juegos infantiles, como el tenis de mesa y el tetherball , utilizan una pelota sujeta a un poste mediante una cuerda que funciona como un péndulo cónico. En el tetherball, el péndulo se acorta a medida que la cuerda se enrolla alrededor del poste. Algunas atracciones de parques de diversiones también funcionan como péndulos cónicos.

Consideremos un péndulo cónico que consiste en una masa m que gira sin fricción en un círculo a una velocidad constante v en una cuerda de longitud L con un ángulo θ con respecto a la vertical.

Sobre el péndulo actúan dos fuerzas:

• la tensión T en la cuerda, que se ejerce a lo largo de la línea de la cuerda y actúa hacia el punto de suspensión.
• el peso descendente del péndulo mg , donde m es la masa del péndulo y g es la aceleración gravitacional local .

La fuerza ejercida por la cuerda se puede descomponer en una componente horizontal, T  sin( θ ), hacia el centro del círculo, y una componente vertical, T  cos( θ ), hacia arriba. Según la segunda ley de Newton , la componente horizontal de la tensión en la cuerda le confiere al péndulo una aceleración centrípeta hacia el centro del círculo.

${\displaystyle T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,}$

Dado que no hay aceleración en la dirección vertical, la componente vertical de la tensión en la cuerda es igual y opuesta al peso de la masa:

${\displaystyle T\cos \theta =mg\,}$

Estas dos ecuaciones se pueden resolver para T / m e igualar, eliminando así T y m y obteniendo la aceleración centrípeta:

${\displaystyle {g\tan \theta }={\frac {v^{2}}{r}}}$

Un pequeño reordenamiento da como resultado:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}}$

Dado que la velocidad de la masa del péndulo es constante, se puede expresar como la circunferencia 2πr dividida por el tiempo t necesario para una revolución de la masa:

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{t}}}$

Sustituyendo el lado derecho de esta ecuación por v en la ecuación anterior, obtenemos:

${\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}}$

Utilizando la identidad trigonométrica tan( θ )  =  sin( θ )  /  cos( θ ) y despejando t , el tiempo necesario para que la masa dé una vuelta completa es

${\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}}$

En un experimento práctico, r varía y no es tan fácil de medir como la longitud constante de la cuerda L. r se puede eliminar de la ecuación al observar que r , h y L forman un triángulo rectángulo, donde θ es el ángulo entre el cateto h y la hipotenusa L (ver diagrama). Por lo tanto,

${\displaystyle r=L\sin \theta \,}$

Sustituyendo este valor por r se obtiene una fórmula cuyo único parámetro variable es el ángulo de suspensión θ : ^{[ 5 ]} 

Para ángulos pequeños θ , cos( θ ) ≈ 1; en cuyo caso

${\displaystyle t\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}}$

De modo que, para ángulos pequeños, el periodo t de un péndulo cónico es igual al de un péndulo ordinario de la misma longitud. Además, para ángulos pequeños, el periodo es prácticamente independiente de las variaciones del ángulo θ . Esto significa que el periodo de rotación es prácticamente independiente de la fuerza aplicada para mantenerlo girando. Esta propiedad, denominada isocronismo , es común a los péndulos ordinarios y hace que ambos tipos de péndulos sean útiles para la medición del tiempo.

• Leyes del movimiento de Newton
• Péndulo
• Péndulo (mecánica)
• Péndulo esférico

• Una simulación interactiva en Java de un péndulo cónico.