Péndulo esférico

En física , un péndulo esférico es un análogo de dimensiones superiores del péndulo . Consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad .

Es conveniente utilizar las coordenadas esféricas para describir la posición de la masa en términos de${\displaystyle (r,\theta,\phi)}$, donde r es fijo de tal manera que${\displaystyle r=l}$.

Habitualmente, para anotar la cinética${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$y potencial${\displaystyle V}$partes del Lagrangiano${\displaystyle L=TV}$En coordenadas generalizadas arbitrarias , la posición de la masa se expresa a lo largo de los ejes cartesianos. Aquí, siguiendo las convenciones que se muestran en el diagrama,

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$.

A continuación, se toman las derivadas temporales de estas coordenadas para obtener las velocidades a lo largo de los ejes.

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$.

De este modo,

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

y

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

El lagrangiano, con las partes constantes eliminadas, es ^{[ 1 ]}

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

La ecuación de Euler-Lagrange que involucra el ángulo polar${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

da

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

y

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

Cuando${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$La ecuación se reduce a la ecuación diferencial para el movimiento de un péndulo de gravedad simple .

De manera similar, la ecuación de Euler-Lagrange que involucra el azimut${\displaystyle \phi }$,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

da

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0}$.

La última ecuación muestra que el momento angular alrededor del eje vertical,${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ se conserva. El factor${\displaystyle ml^{2}\sin ^{2}\theta }$desempeñará un papel en la formulación hamiltoniana que se presenta a continuación.

La ecuación diferencial de segundo orden que determina la evolución de${\displaystyle \phi }$es así

${\displaystyle {\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta }$.

El acimut${\displaystyle \phi }$, al estar ausente del lagrangiano, es una coordenada cíclica , lo que implica que su momento conjugado es una constante de movimiento .

El péndulo cónico se refiere a las soluciones especiales donde${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$y${\displaystyle {\dot {\phi }}}$es una constante que no depende del tiempo.

El hamiltoniano es

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

donde los momentos conjugados son

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}$

y

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}}$.

En términos de coordenadas y momentos se lee:

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$$

Las ecuaciones de Hamilton proporcionarán la evolución temporal de las coordenadas y los momentos en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden.

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

Impulso${\displaystyle P_{\phi }}$es una constante de movimiento. Esto es consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical.

La trayectoria de la masa sobre la esfera se puede obtener a partir de la expresión para la energía total.

${\displaystyle E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}}$

al observar que la componente vertical del momento angular${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$es una constante de movimiento, independiente del tiempo. ^{[ 1 ]} Esto es cierto porque ni la gravedad ni la reacción de la esfera actúan en direcciones que afectarían a este componente del momento angular.

Por eso

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

lo que conduce a una integral elíptica de primera especie ^{[ 1 ]} para${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

y una integral elíptica de tercer tipo para${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.

El ángulo${\displaystyle \theta }$se encuentra entre dos círculos de latitud, ^{[ 1 ]} donde

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$.

• péndulo de Foucault
• Péndulo cónico
• Las tres leyes del movimiento de Newton
• Péndulo
• Péndulo (matemáticas)
• Mecánica de Routh

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