Normal (geometría)

En geometría , una normal es un objeto (por ejemplo, una línea , un rayo o un vector ) que es perpendicular a un objeto dado. Por ejemplo, la línea normal a una curva plana en un punto dado es la línea recta infinita perpendicular a la línea tangente a la curva en ese punto.

Un vector normal es un vector perpendicular a un objeto dado en un punto particular. Un vector normal de longitud uno se llama vector normal unitario o dirección normal . Un vector de curvatura es un vector normal cuya longitud es la curvatura del objeto. Multiplicar un vector normal por−1 da como resultado el vector opuesto , que puede usarse para indicar lados (por ejemplo, interior o exterior) u orientación (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj frente a en sentido contrario a las agujas del reloj, diestro frente a zurdo ).

En el espacio tridimensional , la normal a una superficie en el punto P es un vector perpendicular al plano tangente de la superficie en P. El campo vectorial de las direcciones normales a una superficie se conoce como mapa de Gauss . La palabra "normal " también se usa como adjetivo: una línea normal a un plano , la componente normal de una fuerza , etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad ( ángulos rectos ).

El concepto se ha generalizado a variedades diferenciables de dimensión arbitraria incrustadas en un espacio euclidiano . El espacio vectorial normal o espacio normal de una variedad en el punto${\displaystyle P}$es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente en${\displaystyle P.}$ Los vectores normales son de especial interés en el caso de curvas suaves y superficies lisas .

La normal se usa a menudo en gráficos por computadora 3D (nótese el singular, ya que solo se definirá una normal) para determinar la orientación de una superficie hacia una fuente de luz para sombreado plano , o la orientación de cada una de las esquinas de la superficie ( vértices ) para imitar una superficie curva con sombreado Phong .

El pie de una normal en un punto de interés Q (análogo al pie de una perpendicular ) se define en el punto P de la superficie donde el vector normal contiene a Q. La distancia normal de un punto Q a una curva o a una superficie es la distancia euclidiana entre Q y su pie P.

La dirección normal a una curva espacial es:

${\displaystyle \mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}}$

dónde${\displaystyle R=\kappa ^{-1}}$es el radio de curvatura ( curvatura recíproca ); ${\displaystyle \mathbf {T} }$es el vector tangente , en términos de la posición de la curva.${\displaystyle \mathbf {r} }$y longitud de arco${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}}$

Para un polígono convexo (como un triángulo ), la normal de la superficie se puede calcular como el producto vectorial de dos aristas (no paralelas) del polígono.

Para un plano dado por la ecuación general del plano${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$el vector${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$es normal.

Para un plano cuya ecuación se da en forma paramétrica $${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$es un punto en el plano y${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$son vectores no paralelos que apuntan a lo largo del plano, una normal al plano es un vector normal a ambos${\displaystyle \mathbf {p} }$y${\displaystyle \mathbf {q} ,}$que se puede encontrar como el producto cruzado${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q}.}$

Si una superficie (posiblemente no plana)${\displaystyle S}$en el espacio 3D${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$está parametrizado por un sistema de coordenadas curvilíneas${\displaystyle \mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),}$con${\displaystyle s}$y${\displaystyle t}$variables reales , entonces una normal a S es por definición una normal a un plano tangente, dada por el producto vectorial de las derivadas parciales.$${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$

Si una superficie${\displaystyle S}$se da implícitamente como el conjunto de puntos${\displaystyle (x,y,z)}$satisfactorio ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$entonces una normal en un punto${\displaystyle (x,y,z)}$en la superficie viene dada por el gradiente$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).}$$ ya que el gradiente en cualquier punto es perpendicular al conjunto de nivel de${\displaystyle S.}$

Para una superficie${\displaystyle S}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$dada como la gráfica de una función${\displaystyle z=f(x,y),}$Se puede encontrar una normal que apunta hacia arriba a partir de la parametrización.${\displaystyle \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),}$donación $${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);}$$ o más simplemente por su forma implícita${\displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}$donación${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).}$ Dado que una superficie no tiene un plano tangente en un punto singular , no tiene una normal bien definida en ese punto: por ejemplo, el vértice de un cono . En general, es posible definir una normal casi en cualquier punto para una superficie que sea Lipschitz continua .

Orientación

La normal a una (hiper)superficie suele escalarse para tener longitud unitaria , pero no tiene una dirección única, ya que su opuesta también es una normal unitaria. Para una superficie que constituye el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se pueden distinguir dos orientaciones de la normal : la normal que apunta hacia adentro y la normal que apunta hacia afuera . Para una superficie orientada , la normal se determina generalmente mediante la regla de la mano derecha o su análogo en dimensiones superiores.

Si la normal se construye como el producto vectorial de vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector .

Para un${\displaystyle (n-1)}$Hiperplano dimensional en${\displaystyle n}$espacio dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$dada por su representación paramétrica $${\displaystyle \mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {v} _{n-1},}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$es un punto en el hiperplano y${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$para${\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}$son vectores linealmente independientes que apuntan a lo largo del hiperplano, una normal al hiperplano es cualquier vector${\displaystyle \mathbf {n} }$en el espacio nulo de la matriz${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n-1}\end{bmatrix}},}$significado​${\displaystyle V\mathbf {n} =\mathbf {0} }$⁠ . Es decir, cualquier vector ortogonal a todos los vectores en el plano es, por definición, una normal de superficie. Alternativamente, si el hiperplano se define como el conjunto solución de una única ecuación lineal ⁠${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c}$⁠ , entonces el vector${\displaystyle \mathbf {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$es normal.

La definición de una normal a una superficie en el espacio tridimensional puede extenderse a${\displaystyle (n-1)}$Hipersuperficies de -dimensiones en ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ . Una hipersuperficie puede definirse localmente de forma implícita como el conjunto de puntos${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$que satisface una ecuación${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$, donde${\displaystyle F}$es una función escalar dada . Si${\displaystyle F}$Si es continuamente diferenciable, entonces la hipersuperficie es una variedad diferenciable en la vecindad de los puntos donde el gradiente no es cero. En estos puntos, un vector normal viene dado por el gradiente: $${\displaystyle \mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.}$$

La línea normal es el subespacio unidimensional con base${\displaystyle \{\mathbf {n} \}.}$

Un vector que es normal al espacio generado por los vectores linealmente independientes v ₁ , ..., v _{r −1} y cae dentro del espacio r -dimensional generado por los vectores linealmente independientes v ₁ , ..., v _r viene dado por la r -ésima columna de la matriz Λ = V ( V ^T V ) ⁻¹ , donde la matriz V = ( v ₁ , ..., v _r ) es la yuxtaposición de los r vectores columna. (Demostración: Λ es V veces una matriz, por lo que cada columna de Λ es una combinación lineal de las columnas de V . Además, V ^T Λ = I , por lo que cada columna de V, excepto la última, es perpendicular a la última columna de Λ .) Esta fórmula funciona incluso cuando r es menor que la dimensión del espacio euclidiano n . La fórmula se simplifica a Λ = ( V ^T ) ⁻¹ cuando r = n .

Una variedad diferencial definida por ecuaciones implícitas en la${\displaystyle n}$espacio dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es el conjunto de los ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciables en${\displaystyle n}$variables $${\displaystyle f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).}$$ La matriz jacobiana de la variedad es la${\displaystyle k\times n}$matriz cuyo${\displaystyle i}$La fila -ésima es el gradiente de${\displaystyle f_{i}.}$Según el teorema de la función implícita , la variedad es una variedad en la vecindad de un punto donde la matriz jacobiana tiene rango${\displaystyle k.}$En ese punto${\displaystyle P,}$El espacio vectorial normal es el espacio vectorial generado por los valores en${\displaystyle P}$de los vectores gradiente de la${\displaystyle f_{i}.}$

En otras palabras, una variedad se define como la intersección de${\displaystyle k}$hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en ese punto.

El espacio normal (afín) en un punto${\displaystyle P}$de la variedad es el subespacio afín que pasa por${\displaystyle P}$y generado por el espacio vectorial normal en${\displaystyle P.}$

Estas definiciones pueden extenderse textualmente a los puntos donde la variedad no es una multiplicidad.

• Las normales de superficie son útiles para definir integrales de superficie de campos vectoriales .
• Las normales de superficie se utilizan comúnmente en gráficos por computadora 3D para cálculos de iluminación (ver la ley del coseno de Lambert ), a menudo ajustadas mediante mapeo de normales .
• Las capas de renderizado que contienen información sobre la normal de la superficie pueden utilizarse en la composición digital para modificar la iluminación aparente de los elementos renderizados.
• En visión por computadora , las formas de los objetos 3D se estiman a partir de las normales de la superficie utilizando estereoscopía fotométrica . ^{[ 1 ]}
• El vector normal se puede obtener como el gradiente de la función de distancia con signo .

ElEl rayo normal es el rayo que apunta hacia afuera,perpendiculara la superficie de unmedio ópticoen un punto dado. ^{[ 2 ]} Enla reflexión de la luz, elángulo de incidenciay elángulo de reflexiónson respectivamente el ángulo entre la normal y elrayo incidente(en elplano de incidencia) y el ángulo entre la normal y elrayo reflejado.

• Espacio dual – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales 
• Vector normal elipsoidal
• Fibrado normal : concepto en matemáticas 
• Pseudovector : magnitud física que cambia de signo con una rotación impropia. 
• Componentes tangenciales y normales – Componentes vectoriales matemáticas 
• Normal del vértice : vector direccional asociado a un vértice. 
• Curvatura media : medida de geometría diferencial , el promedio de la curvatura con signo sobre todos los ángulos. 

• Weisstein, Eric W. "Vector normal" . MathWorld .
• Explicación de vectores normales de MSDN de Microsoft.
• Pseudocódigo claro para calcular la normal de una superficie a partir de un triángulo o un polígono. Archivado el 18/08/2016 en Wayback Machine .