Integral no elemental

En matemáticas , una antiderivada no elemental de una función elemental dada es una antiderivada (o integral indefinida) que, en sí misma, no es una función elemental. ^{[ 1 ]} Un teorema de Liouville de 1835 proporcionó la primera demostración de que existen antiderivadas no elementales. ^{[ 2 ]} Este teorema también proporciona la base para el algoritmo de Risch para determinar (con dificultad) qué funciones elementales tienen antiderivadas elementales.

Algunos ejemplos de funciones con antiderivadas no elementales son:

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$^{[ 1 ]} (integral elíptica)
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$^{[ 3 ]} (integral logarítmica)
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$^{[ 1 ]} (función de error,integral gaussiana)
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$y${\displaystyle \cos(x^{2})}$( Integral de Fresnel )
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$( integral del seno , integral de Dirichlet )
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$( integral exponencial )
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$(en términos de la integral exponencial)
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$(en términos de la integral logarítmica)
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$( función gamma incompleta ); para${\displaystyle c=0,}$La antiderivada se puede escribir en términos de la integral exponencial; para${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}},}$en términos de la función de error; para${\displaystyle c=}$Para cualquier entero positivo, la antiderivada es elemental.

Algunas funciones antiderivadas no elementales comunes reciben nombres que definen las llamadas funciones especiales , y las fórmulas que involucran estas nuevas funciones pueden expresar una clase más amplia de antiderivadas no elementales. Los ejemplos anteriores nombran las funciones especiales correspondientes entre paréntesis.

Las antiderivadas no elementales a menudo se pueden evaluar mediante series de Taylor . Incluso si una función no tiene una antiderivada elemental, su serie de Taylor siempre se puede integrar término a término como un polinomio , obteniendo así la función antiderivada como una serie de Taylor con el mismo radio de convergencia . Sin embargo, incluso si el integrando tiene una serie de Taylor convergente, su secuencia de coeficientes a menudo no tiene una fórmula elemental y debe evaluarse término a término, con la misma limitación que para la serie de Taylor integral.

Aunque no siempre sea posible evaluar la antiderivada en términos elementales, se puede aproximar una integral definida correspondiente mediante integración numérica . También existen casos en los que no hay una antiderivada elemental, pero ciertas integrales definidas (a menudo integrales impropias sobre intervalos no acotados ) pueden evaluarse en términos elementales: el ejemplo más conocido es la integral gaussiana .${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$^{[ 4 ]}

El cierre bajo la integración del conjunto de las funciones elementales es el conjunto de las funciones de Liouville .

• Función algebraica – Función matemática 
• Expresión en forma cerrada : fórmula matemática que involucra un conjunto dado de operaciones. 
• Derivada – Tasa de cambio instantánea (matemáticas) 
• Álgebra diferencial – Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales 
• Listas de integrales
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial) : criterio para la integración en términos de funciones elementales. 
• Teorema de Richardson : Indecidibilidad de la igualdad de los números reales 
• Integración simbólica – Cálculo de antiderivadas 
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski - Problema matemático 
• Función trascendental : función analítica que no satisface una ecuación polinómica. 

• Williams, Dana P., ANTIDERIVADOS NO ELEMENTALES , 1 de diciembre de 1993. Consultado el 24 de enero de 2014.