Teorema de Noether

El teorema de Noether establece que toda simetría continua de la acción de un sistema físico con fuerzas conservativas tiene una ley de conservación correspondiente . Este es el primero de dos teoremas (véase el segundo teorema de Noether ) publicados por el matemático Emmy Noether en 1918. ^{[ 1 ]} La acción de un sistema físico es la integral en el tiempo de una función lagrangiana , a partir de la cual el comportamiento del sistema puede determinarse mediante el principio de mínima acción . Este teorema se aplica a simetrías continuas y suaves del espacio físico . La formulación de Noether es bastante general y se ha aplicado en mecánica clásica, física de altas energías y, recientemente, en mecánica estadística . ^{[ 2 ]}

El teorema de Noether se utiliza en física teórica y en el cálculo de variaciones . Revela la relación fundamental entre las simetrías de un sistema físico y las leyes de conservación. También hizo que los físicos teóricos modernos se centraran mucho más en las simetrías de los sistemas físicos. Si bien es una generalización de las formulaciones sobre constantes de movimiento en mecánica lagrangiana y hamiltoniana (desarrolladas en 1788 y 1833, respectivamente), no se aplica a sistemas que no pueden modelarse solo con un lagrangiano (por ejemplo, sistemas con una función de disipación de Rayleigh ). En particular, los sistemas disipativos con simetrías continuas no necesitan tener una ley de conservación correspondiente. ^{[ 3 ]}

Ilustraciones básicas y fondo

Como ejemplo, si un sistema físico se comporta igual independientemente de su orientación en el espacio (es decir, es invariante ), su lagrangiano es simétrico bajo rotación continua: a partir de esta simetría, el teorema de Noether dicta que el momento angular del sistema se conserve, como consecuencia de sus leyes de movimiento. ^{[ 4 ]}^{: 126} El sistema físico en sí no tiene por qué ser simétrico; un asteroide irregular que gira en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Son las leyes de su movimiento las que son simétricas.

Como otro ejemplo, si un proceso físico presenta los mismos resultados independientemente del lugar o el tiempo, entonces su lagrangiano es simétrico bajo traslaciones continuas en el espacio y el tiempo, respectivamente: según el teorema de Noether, estas simetrías explican las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este sistema, respectivamente. ^{[ 5 ]}^{: 23}^{[ 6 ]}^{: 261}

El teorema de Noether es importante, tanto por la comprensión que brinda sobre las leyes de conservación como por su utilidad como herramienta práctica de cálculo. Permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas (invariantes) a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. Asimismo, permite considerar clases completas de lagrangianos hipotéticos con invariantes dados para describir un sistema físico. ^{[ 4 ]}^{: 127} Como ejemplo, supongamos que se propone una teoría física que conserva una cantidad X. Un investigador puede calcular los tipos de lagrangianos que conservan X mediante una simetría continua. Gracias al teorema de Noether, las propiedades de estos lagrangianos proporcionan criterios adicionales para comprender las implicaciones y evaluar la idoneidad de la nueva teoría.

Existen numerosas versiones del teorema de Noether, con distintos grados de generalidad. Hay contrapartes cuánticas naturales de este teorema, expresadas en las identidades de Ward-Takahashi . También existen generalizaciones del teorema de Noether a superespacios . ^{[ 7 ]}

Enunciado informal del teorema

Dejando de lado todos los detalles técnicos, el teorema de Noether se puede enunciar informalmente de la siguiente manera:

Si un sistema tiene una propiedad de simetría continua, entonces existen cantidades correspondientes cuyos valores se conservan en el tiempo. ^{[ 8 ]}

Una versión más sofisticada del teorema que involucra campos establece que:

A toda simetría continua generada por acciones locales le corresponde una corriente conservada y viceversa.

La palabra "simetría" en la afirmación anterior se refiere más precisamente a la covarianza de la forma que adopta una ley física con respecto a un grupo de Lie unidimensional de transformaciones que satisfacen ciertos criterios técnicos. La ley de conservación de una magnitud física se expresa habitualmente como una ecuación de continuidad .

La demostración formal del teorema utiliza la condición de invariancia para derivar una expresión para una corriente asociada a una magnitud física conservada. En la terminología moderna, la magnitud conservada se denomina carga de Noether , mientras que el flujo que transporta dicha carga se denomina corriente de Noether . La corriente de Noether se define salvo un campo vectorial solenoidal (sin divergencia) .

En el contexto de la gravitación, el enunciado de Felix Klein del teorema de Noether para la acción I estipula para los invariantes: ^{[ 9 ]}

Si una integral I es invariante bajo un grupo continuo G _ρ con ρ parámetros, entonces ρ combinaciones linealmente independientes de las expresiones lagrangianas son divergencias.

Breve ilustración y descripción general del concepto.

La idea principal detrás del teorema de Noether se ilustra más fácilmente con un sistema con una coordenada $q$ y una simetría continua $\varphi :q\mapsto q+\delta q$ (flechas grises en el diagrama).

Considere cualquier trayectoria $q(t)$ (en negrita en el diagrama) que satisface las leyes de movimiento del sistema . Es decir, la acción $S$ El sistema que rige es estacionario en esta trayectoria, es decir, no cambia bajo ninguna variación local de la trayectoria. En particular, no cambiaría bajo una variación que aplique el flujo de simetría. $\varphi$ en un segmento de tiempo $[t 0, t 1]$ y permanece inmóvil fuera de ese segmento. Para mantener la trayectoria continua, utilizamos períodos de "amortiguación" de tiempo pequeño. $\tau$ para realizar la transición entre los segmentos de forma gradual.

El cambio total en la acción $S$ ahora comprende cambios traídos por cada intervalo en juego. Partes donde la variación misma desaparece, es decir fuera $[t_{0},t_{1}]$ , no traigas nada $\Delta S$ La parte central tampoco cambia la acción, debido a su transformación. $\varphi$ es una simetría y por lo tanto conserva el lagrangiano $L$ y la acción ${\textstyle S=\int L}$ Las únicas partes restantes son las piezas de "amortiguación". En estas regiones, tanto la coordenada $q$ y velocidad ${\dot {q}}$ cambio, pero ${\dot {q}}$ cambios por $\delta q/\tau$ y el cambio $\delta q$ en la coordenada es insignificante en comparación ya que el intervalo de tiempo $\tau$ del almacenamiento en búfer es pequeño (llevado al límite de 0), por lo que $\delta q/\tau \gg \delta q$ . Por lo tanto, las regiones contribuyen principalmente a través de su "inclinación". ${\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}\pm \delta q/\tau$ .

Eso cambia el lagrangiano por $\Delta L\approx {\bigl (}\partial L/\partial {\dot {q}}{\bigr )}\Delta {\dot {q}}$ , que se integra a $\Delta S=\int \Delta L\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\Delta {\dot {q}}\approx \int {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\left(\pm {\frac {\delta q}{\tau }}\right)\approx \ \pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q=\pm {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi .$

Estos últimos términos, evaluados en torno a los puntos finales $t_{0}$ y $t_{1}$ deben cancelarse mutuamente para producir el cambio total en la acción. $\Delta S$ ser cero, como cabría esperar si la trayectoria es una solución. Es decir $\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{0})=\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\varphi \right)(t_{1}),$ es decir la cantidad $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)\varphi$ se conserva, que es la conclusión del teorema de Noether. Por ejemplo, si las traducciones puras de $q$ por una constante son la simetría, entonces la cantidad conservada se convierte en simplemente $\left(\partial L/\partial {\dot {q}}\right)=p$ , el momento canónico.

Los casos más generales siguen la misma idea:

Cuando más coordenadas $q_{r}$ experimentar una transformación de simetría $q_{r}\mapsto q_{r}+\varphi _{r}$ Sus efectos se suman linealmente hasta dar una cantidad conservada. ${\textstyle \sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right)\varphi _{r}}$ .
La invariancia temporal implica la conservación de la energía: Supongamos que el lagrangiano es invariante a las transformaciones temporales, $t\mapsto t+T$ Realizamos dicha transformación con un desplazamiento temporal muy pequeño. $T\ll \tau$ en el tiempo entre $t_{0}+\tau$ y $t_{1}-\tau$ , al extender el primer segmento de almacenamiento en búfer $(t_{0},t_{0}+\tau )$ a $(t_{0},t_{0}+\tau +T)$ y comprimiendo el segundo segmento de almacenamiento en búfer. $(t_{1}-\tau ,t_{1})$ a $(t_{1}-\tau +T,t_{1})$ . Nuevamente, la acción fuera del intervalo $(t_{0},t_{1})$ y entre los segmentos de almacenamiento en búfer permanece igual. Sin embargo, cada segmento de almacenamiento en búfer contribuye con dos términos al cambio de la acción: $\Delta S\approx \pm \left(TL+\int \sum _{r}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}\Delta {\dot {q}}_{r}\right)\approx \pm T\left(L-\sum _{r}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}\right).$ El primer término $TL$ Esto se debe a los cambios en el tamaño de los segmentos de "almacenamiento en búfer". El primer segmento cambia su tamaño desde $\tau$ a $\tau +T$ y la segunda forma de segmento $\tau$ a $\tau -T$ Por lo tanto, la integral sobre el primer segmento cambia en $+TL(t_{0})$ y la integral sobre el segundo segmento cambia por $-TL(t_{1})$ El segundo término se debe a la dilatación del tiempo por un factor. $(\tau +T)/\tau$ en el primer segmento y por $(\tau -T)/\tau$ en el segundo segmento, que cambia todas las derivadas temporales por el factor de dilatación. Estas dilataciones temporales cambian ${\dot {q}}_{r}$ a ${\dot {q}}_{r}\mp (T/\tau ){\dot {q}}_{r}$ (al primer orden en $T/\tau$ ) en el primer (-) y segundo (+) segmento. Juntos suman a la acción conservada S un término ${\textstyle \pm T\left(L-\sum _{r}\left(\partial L/\partial {\dot {q}}_{r}\right){\dot {q}}_{r}\right)}$ para el primer (+) y segundo (-) segmento. Dado que el cambio de acción debe ser cero, $\Delta S=0$ , concluimos que la energía total $\sum _{r}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{r}}}{\dot {q}}_{r}-L$ deben ser iguales en ocasiones $t_{0}$ y $t_{1}$ , por lo que la energía total se conserva.
Finalmente, cuando en lugar de una trayectoria $q(t)$ $q(t)$ campos enteros $\psi (q_{r},t)$ $\psi (q_{r},t)$ se consideran, el argumento reemplaza
- el intervalo $[t_{0},t_{1}]$ con una región delimitada $U$ del $(q_{r},t)$ -dominio,
- los puntos finales $t_{0}$ y $t_{1}$ con el límite $\partial U$ de la región,
- y su contribución a $\Delta S$ se interpreta como un flujo de una corriente conservada $j_{r}$ , que se construye de una manera análoga a la definición previa de una cantidad conservada.
Ahora, la contribución cero del "amortiguador" $\partial U$ $\partial U$ a $\Delta S$ $\Delta S$ se interpreta como la desaparición del flujo total de la corriente $j_{r}$ $j_{r}$ a través del $\partial U$ $\partial U$ . Ese es el sentido en el que se conserva: tanto como "fluye" hacia adentro, tanto "fluye" hacia afuera.

Contexto histórico

Una ley de conservación establece que alguna cantidad X en la descripción matemática de la evolución de un sistema permanece constante a lo largo de su movimiento; es un invariante . Matemáticamente, la tasa de cambio de X (su derivada con respecto al tiempo ) es cero.

{\frac {dX}{dt}}={\dot {X}}=0~.

Se dice que estas cantidades se conservan; a menudo se las denomina constantes de movimiento (aunque no necesariamente implican movimiento en sí , sino simplemente evolución en el tiempo). Por ejemplo, si la energía de un sistema se conserva, permanece invariable en todo momento, lo que impone una restricción al movimiento del sistema y puede ayudar a resolverlo. Además de la información que estas constantes de movimiento proporcionan sobre la naturaleza de un sistema, son una herramienta de cálculo útil; por ejemplo, una solución aproximada puede corregirse hallando el estado más cercano que satisfaga las leyes de conservación pertinentes.

Las primeras constantes de movimiento descubiertas fueron el momento lineal y la energía cinética , propuestas en el siglo XVII por René Descartes y Gottfried Leibniz a partir de experimentos de colisión , y refinadas por investigadores posteriores. Isaac Newton fue el primero en enunciar la conservación del momento lineal en su forma moderna y demostró que era una consecuencia de las leyes del movimiento de Newton . Según la relatividad general , las leyes de conservación del momento lineal, la energía y el momento angular solo son exactamente ciertas globalmente cuando se expresan en términos de la suma del tensor de energía-impulso (energía-impulso no gravitacional) y el pseudotensor de energía-impulso-impulso de Landau-Lifshitz (energía-impulso gravitacional). La conservación local del momento lineal y la energía no gravitacionales en un sistema de referencia en caída libre se expresa mediante la anulación de la divergencia covariante del tensor de energía-impulso . Otra magnitud conservada importante, descubierta en estudios de la mecánica celeste de los cuerpos astronómicos, es el vector de Laplace-Runge-Lenz .

A finales del siglo XVIII y principios del XIX, los físicos desarrollaron métodos más sistemáticos para descubrir invariantes. Un avance importante se produjo en 1788 con el desarrollo de la mecánica lagrangiana , que está relacionada con el principio de mínima acción . En este enfoque, el estado del sistema puede describirse mediante cualquier tipo de coordenadas generalizadas q ; las leyes del movimiento no necesitan expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas , como era habitual en la mecánica newtoniana. La acción se define como la integral temporal I de una función conocida como el lagrangiano L.

I=\int L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt~,

donde el punto sobre q significa la tasa de cambio de las coordenadas q ,

{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}~.

El principio de Hamilton establece que la trayectoria física q ( t ) —la que realmente toma el sistema— es una trayectoria para la cual las variaciones infinitesimales en esa trayectoria no causan ningún cambio en I , al menos hasta el primer orden. Este principio da como resultado las ecuaciones de Euler-Lagrange ,

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}~.

Por lo tanto, si una de las coordenadas, digamos q _k , no aparece en el lagrangiano, el lado derecho de la ecuación es cero, y el lado izquierdo requiere que

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)={\frac {dp_{k}}{dt}}=0~,

donde el impulso

p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}

se conserva a lo largo de todo el movimiento (en la trayectoria física).

Así, la ausencia de la coordenada ignorable q _k en el lagrangiano implica que este no se ve afectado por cambios o transformaciones de q _k ; el lagrangiano es invariante y se dice que presenta simetría bajo dichas transformaciones. Esta es la idea fundamental generalizada en el teorema de Noether.

En el siglo XIX se desarrollaron varios métodos alternativos para hallar cantidades conservadas, especialmente por William Rowan Hamilton . Por ejemplo, desarrolló una teoría de transformaciones canónicas que permitía cambiar las coordenadas de modo que algunas desaparecieran del lagrangiano, como se mencionó anteriormente, lo que resultaba en momentos canónicos conservados. Otro enfoque, y quizás el más eficiente para hallar cantidades conservadas, es la ecuación de Hamilton-Jacobi .

El trabajo de Emmy Noether sobre el teorema de invariancia comenzó en 1915, cuando ayudaba a Felix Klein y David Hilbert con su trabajo relacionado con la teoría de la relatividad general de Albert Einstein ^{[ 10 ]}^{: 31} Para marzo de 1918 ya tenía la mayoría de las ideas clave para el artículo que se publicaría más adelante ese mismo año. ^{[ 11 ]}^{: 81}

Expresión matemática

Forma simple mediante perturbaciones

La esencia del teorema de Noether reside en generalizar la noción de coordenadas ignorables.

Se puede suponer que el lagrangiano L definido anteriormente es invariante bajo pequeñas perturbaciones (deformaciones) de la variable temporal t y las coordenadas generalizadas q . Se puede escribir:

{\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}

donde las perturbaciones δt y δq son ambas pequeñas, pero variables. Para mayor generalidad, supongamos que hay (digamos) N transformaciones de simetría de la acción, es decir, transformaciones que dejan la acción sin cambios; etiquetadas por un índice r = 1, 2, 3, ... , N.

Entonces, la perturbación resultante puede escribirse como una suma lineal de los tipos individuales de perturbaciones,

{\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}

donde ε _r son coeficientes de parámetros infinitesimales correspondientes a cada uno:

generador T _r de evolución temporal , y
generador Q _r de las coordenadas generalizadas.

Para las traslaciones, Q _r es una constante con unidades de longitud ; para las rotaciones, es una expresión lineal en las componentes de q , y los parámetros forman un ángulo .

Utilizando estas definiciones, Noether demostró que las cantidades N

\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}

se conservan ( constantes de movimiento ).

Ejemplos

I. Invariancia temporal

A modo de ejemplo, consideremos un lagrangiano que no depende del tiempo, es decir, que es invariante (simétrico) ante cambios t → t + δ t , sin ningún cambio en las coordenadas q . En este caso, N = 1, T = 1 y Q = 0; la cantidad conservada correspondiente es la energía total H ^{[ 12 ]}^{: 401}

H={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L.

II. Invariancia traslacional

Consideremos un lagrangiano que no depende de una coordenada q _k ("ignorable", como se indicó anteriormente) ; por lo tanto, es invariante (simétrico) bajo cambios q _k → q _k + δq _k . En ese caso, N = 1, T = 0 y Q _k = 1; la cantidad conservada es el momento lineal correspondiente p _k^{[ 12 ]}^{: 403–404}

p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}.

En la relatividad especial y general , estas dos leyes de conservación pueden expresarse globalmente (como se muestra arriba) o localmente como una ecuación de continuidad. Las versiones globales pueden unificarse en una única ley de conservación global: la conservación del cuadrivector energía-momento. Las versiones locales de la conservación de la energía y el momento (en cualquier punto del espacio-tiempo) también pueden unificarse en la conservación de una magnitud definida localmente en dicho punto: el tensor energía-impulso ^{[ 13 ]}^{: 592} (esto se derivará en la siguiente sección).

III. Invariancia rotacional

La conservación del momento angular L = r × p es análoga a su contraparte del momento lineal. ^{[ 12 ]}^{: 404–405} Se supone que la simetría del lagrangiano es rotacional, es decir, que el lagrangiano no depende de la orientación absoluta del sistema físico en el espacio. Para mayor concreción, supongamos que el lagrangiano no cambia bajo pequeñas rotaciones de un ángulo δθ alrededor de un eje n ; dicha rotación transforma las coordenadas cartesianas mediante la ecuación

\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\delta \theta \,\mathbf {n} \times \mathbf {r} .

Dado que el tiempo no se transforma, T = 0 y N = 1. Tomando δθ como el parámetro ε y las coordenadas cartesianas r como las coordenadas generalizadas q , las variables Q correspondientes vienen dadas por

\mathbf {Q} =\mathbf {n} \times \mathbf {r} .

Entonces, el teorema de Noether establece que la siguiente cantidad se conserva:

{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {p} \cdot \left(\mathbf {n} \times \mathbf {r} \right)=\mathbf {n} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} .

En otras palabras, la componente del momento angular L a lo largo del eje n se conserva. Y si n es arbitrario, es decir, si el sistema es insensible a cualquier rotación, entonces cada componente de L se conserva; en resumen, el momento angular se conserva.

versión de la teoría de campos

Si bien la versión del teorema de Noether presentada anteriormente es útil por sí misma, constituye un caso particular de la versión general derivada en 1915. Para ilustrar el teorema general, se presenta a continuación una versión del teorema de Noether para campos continuos en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones . Dado que los problemas de teoría de campos son más comunes en la física moderna que los de mecánica , esta versión de teoría de campos es la más utilizada del teorema de Noether.

Sea un conjunto de campos diferenciables $\varphi$ definido en todo el espacio y el tiempo; por ejemplo, la temperatura $T(\mathbf {x} ,t)$ sería representativo de tal campo, siendo un número definido en cada lugar y tiempo. El principio de mínima acción puede aplicarse a tales campos, pero la acción ahora es una integral sobre el espacio y el tiempo.

{\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x

(el teorema se puede generalizar aún más al caso en que el lagrangiano depende hasta la n ^-ésima derivada, y también se puede formular utilizando haces de jets ).

Una transformación continua de los campos $\varphi$ se puede escribir infinitesimalmente como

\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,

dónde $\Psi$ es en general una función que puede depender de ambos $x^{\mu }$ y $\varphi$ . La condición para $\Psi$ generar una simetría física es que la acción ${\mathcal {S}}$ se deja invariante. Esto ciertamente será cierto si la densidad lagrangiana ${\mathcal {L}}$ se deja invariante, pero también será cierto si el lagrangiano cambia por una divergencia,

{\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },

ya que la integral de una divergencia se convierte en un término de frontera según el teorema de la divergencia . Un sistema descrito por una acción dada podría tener múltiples simetrías independientes de este tipo, indexadas por $r=1,2,\ldots ,N,$ por lo que la transformación de simetría más general se escribiría como

\varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},

con la consecuencia

{\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.

Para tales sistemas, el teorema de Noether establece que hay $N$ densidades de corriente conservadas

j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\cdot \Psi _{r}

(donde el producto escalar se entiende que contrae los índices de campo , no el $\nu$ índice o $r$ índice).

En tales casos, la ley de conservación se expresa de forma tetradimensional.

\partial _{\nu }j^{\nu }=0,

Esto expresa la idea de que la cantidad de una magnitud conservada dentro de una esfera no puede cambiar a menos que parte de ella salga de la esfera. Por ejemplo, la carga eléctrica se conserva; la cantidad de carga dentro de una esfera no puede cambiar a menos que entre o salga carga de la esfera.

Ejemplos

I. El tensor de energía-impulso

A modo de ejemplo, consideremos un sistema físico de campos que se comporta igual bajo traslaciones en el tiempo y el espacio, como se consideró anteriormente; en otras palabras, $L\left({\boldsymbol {\varphi }},\partial _{\mu }{\boldsymbol {\varphi }},x^{\mu }\right)$ es constante en su tercer argumento. En ese caso, N = 4, uno para cada dimensión del espacio y del tiempo. Una traslación infinitesimal en el espacio, $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }$ (con $\delta$ que denota el delta de Kronecker ), afecta a los campos como $\varphi (x^{\mu })\mapsto \varphi \left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$ : es decir, cambiar el nombre de las coordenadas equivale a dejar las coordenadas en su lugar mientras se traslada el campo mismo, lo que a su vez equivale a transformar el campo reemplazando su valor en cada punto. $x^{\mu }$ con el valor en el punto $x^{\mu }-\varepsilon X^{\mu }$ "detrás" de ello que se mapearía en $x^{\mu }$ por el desplazamiento infinitesimal que se está considerando. Dado que este es infinitesimal, podemos escribir esta transformación como

\Psi _{r}=-\delta _{r}^{\mu }\partial _{\mu }\varphi .

La densidad lagrangiana se transforma de la misma manera, ${\mathcal {L}}\left(x^{\mu }\right)\mapsto {\mathcal {L}}\left(x^{\mu }-\varepsilon _{r}\delta _{r}^{\mu }\right)$ , entonces

\Lambda _{r}^{\mu }=-\delta _{r}^{\mu }{\mathcal {L}}

y así el teorema de Noether corresponde ^{[ 13 ]}^{: 592} a la ley de conservación para el tensor de energía-impulso T _μ^ν , donde hemos utilizado $\mu$ en lugar de $r$ . Es decir, utilizando la expresión dada anteriormente y recogiendo las cuatro corrientes conservadas (una para cada $\mu$ ) en un tensor $T$ El teorema de Noether da

T_{\mu }{}^{\nu }=-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}+\delta _{\mu }^{\sigma }\partial _{\sigma }\varphi {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}=\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{,\nu }}}\right)\cdot \varphi _{,\mu }-\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}

con

T_{\mu }{}^{\nu }{}_{,\nu }=0

(cambiamos la etiqueta $\mu$ como $\sigma$ en un paso intermedio para evitar conflictos). (Sin embargo, el $T$ El tensor obtenido de esta manera puede diferir del tensor simétrico utilizado como término fuente en la relatividad general; véase el tensor canónico de energía-impulso .

II. La carga eléctrica

La conservación de la carga eléctrica , por el contrario, puede derivarse considerando Ψ lineal en los campos φ en lugar de en las derivadas. ^{[ 13 ]}^{: 593–594} En mecánica cuántica , la amplitud de probabilidad ψ ( x ) de encontrar una partícula en un punto x es un campo complejo φ , porque asigna un número complejo a cada punto en el espacio y el tiempo. La amplitud de probabilidad en sí misma es físicamente inmensurable; solo la probabilidad p = | ψ | ² puede inferirse a partir de un conjunto de mediciones. Por lo tanto, el sistema es invariante bajo transformaciones del campo ψ y su campo conjugado complejo ψ ^* que dejan | ψ | ² sin cambios, como

\psi \rightarrow e^{i\theta }\psi \ ,\ \psi ^{*}\rightarrow e^{-i\theta }\psi ^{*}~,

una rotación compleja. En el límite cuando la fase θ se vuelve infinitesimalmente pequeña, δθ , puede tomarse como el parámetro ε , mientras que los Ψ son iguales a iψ y − iψ *, respectivamente. Un ejemplo específico es la ecuación de Klein-Gordon , la versión relativistamente correcta de la ecuación de Schrödinger para partículas sin espín , que tiene la densidad lagrangiana

L=\partial _{\nu }\psi \partial _{\mu }\psi ^{*}\eta ^{\nu \mu }+m^{2}\psi \psi ^{*}.

En este caso, el teorema de Noether establece que la corriente conservada (∂ ⋅ j = 0) es igual a

j^{\nu }=i\left({\frac {\partial \psi }{\partial x^{\mu }}}\psi ^{*}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x^{\mu }}}\psi \right)\eta ^{\nu \mu }~,

que, al multiplicarse por la carga de esa partícula, equivale a la densidad de corriente eléctrica debida a ese tipo de partícula. Esta "invariancia de gauge" fue observada por primera vez por Hermann Weyl y es una de las simetrías de gauge prototípicas de la física.

Derivaciones

Una variable independiente

Consideremos el caso más simple, un sistema con una variable independiente, el tiempo. Supongamos que las variables dependientes q son tales que la integral de acción

$I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt$

es invariante bajo variaciones infinitesimales breves en las variables dependientes. En otras palabras, satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange.

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].

Y supongamos que la integral es invariante bajo una simetría continua. Matemáticamente, dicha simetría se representa como un flujo , φ , que actúa sobre las variables de la siguiente manera:

{\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}

donde ε es una variable real que indica la cantidad de flujo, y T es una constante real (que podría ser cero) que indica cuánto se desplaza el flujo en el tiempo.

{\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].

La integral de acción fluye hacia

{\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}

que puede considerarse una función de ε . Calculando la derivada en ε = 0 y utilizando la regla de Leibniz , obtenemos

{\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}

Nótese que las ecuaciones de Euler-Lagrange implican

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene

{\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}

Nuevamente, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenemos

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.

Sustituyendo esto en la ecuación anterior, se obtiene

{\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}

De lo cual se puede ver que

\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}

es una constante del movimiento, es decir, es una cantidad conservada. Dado que φ[ q , 0] = q , obtenemos ${\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1$ y así la cantidad conservada se simplifica a

\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.

Para evitar una excesiva complejidad en las fórmulas, esta derivación supuso que el flujo no varía con el paso del tiempo. El mismo resultado puede obtenerse en el caso más general.

Derivación geométrica

El teorema de Noether puede considerarse una consecuencia del teorema fundamental del cálculo (conocido en física con diversos nombres, como el teorema generalizado de Stokes o el teorema del gradiente ): ^{[ 14 ]} para una función ${\textstyle S}$ analítico en un dominio ${\textstyle {\cal {D}}}$ , $\int _{\cal {\cal {P}}}dS=0$

dónde ${\textstyle {\cal {P}}}$ es un camino cerrado en ${\textstyle {\cal {D}}}$ Aquí, la función ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ es la función de acción que se calcula mediante la integración del lagrangiano sobre trayectorias óptimas o equivalentemente obtenida a través de la ecuación de Hamilton-Jacobi . Como ${\textstyle \partial S/\partial \mathbf {q} =\mathbf {p} }$ (dónde ${\textstyle \mathbf {p} }$ es el impulso) y ${\textstyle \partial S/\partial t=-H}$ (dónde ${\textstyle H}$ es el hamiltoniano), el diferencial de esta función viene dado por ${\textstyle dS=\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt}$ .

Utilizando el enfoque geométrico, se puede derivar la cantidad conservada para una simetría en el sentido de Noether. La simetría se expresa como una transformación infinitesimal: ${\begin{aligned}\mathbf {q'} &=&\mathbf {q} +\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)\\t'&=&t+\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)\end{aligned}}$ Dejar ${\textstyle {\cal {C}}}$ ser una trayectoria óptima y ${\textstyle {\cal {C}}'}$ su imagen bajo la transformación anterior ${\textstyle (\phi _{\mathbf {q} },\phi _{t})^{T}}$ (que también es una trayectoria óptima). El camino cerrado ${\textstyle {\cal {P}}}$ de integración se elige como ${\textstyle ABB'A'}$ donde las ramas ${\textstyle AB}$ y ${\textstyle A'B'}$ se dan ${\textstyle {\cal {C}}}$ y ${\textstyle {\cal {C}}'}$ . Por la hipótesis del teorema de Noether, al primer orden en ${\textstyle \epsilon }$ , $\int _{\cal {C}}dS=\int _{{\cal {C}}'}dS$ por lo tanto, $\int _{A}^{A'}dS=\int _{B}^{B'}dS$ Por definición, en el ${\textstyle AA'}$ sucursal que tenemos ${\textstyle d\mathbf {q} =\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)}$ y ${\textstyle dt=\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)}$ . Por lo tanto, en primer orden en ${\textstyle \epsilon }$ la cantidad $I=\mathbf {p} \phi _{\mathbf {q} }-H\phi _{t}$ se conserva a lo largo de la trayectoria.

Derivación teórica de campos

El teorema de Noether también puede derivarse para campos tensoriales. $\varphi ^{A}$ donde el índice A abarca los diversos componentes de los distintos campos tensoriales. Estas cantidades de campo son funciones definidas sobre un espacio de cuatro dimensiones cuyos puntos están etiquetados por coordenadas x ^μ, donde el índice μ abarca el tiempo ( μ = 0) y tres dimensiones espaciales ( μ = 1, 2, 3). Estas cuatro coordenadas son las variables independientes; y los valores de los campos en cada evento son las variables dependientes. Bajo una transformación infinitesimal, la variación en las coordenadas se escribe

x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }

mientras que la transformación de las variables de campo se expresa como

\varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.

Según esta definición, las variaciones de campo $\delta \varphi ^{A}$ resultan de dos factores: cambios intrínsecos en el propio campo y cambios en las coordenadas, ya que el campo transformado α ^A depende de las coordenadas transformadas ξ ^μ . Para aislar los cambios intrínsecos, se puede definir la variación del campo en un único punto x ^μ

\alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.

Si se modifican las coordenadas, también cambia el límite de la región espacio-temporal sobre la que se integra el lagrangiano; el límite original y su versión transformada se denotan como Ω y Ω', respectivamente.

El teorema de Noether parte de la suposición de que una transformación específica de las coordenadas y las variables de campo no cambia la acción , que se define como la integral de la densidad lagrangiana sobre la región dada del espaciotiempo. Expresada matemáticamente, esta suposición puede escribirse como

\int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0

donde el subíndice coma indica una derivada parcial con respecto a la(s) coordenada(s) que sigue(n) a la coma, por ejemplo

{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.

Dado que ξ es una variable auxiliar de integración, y puesto que el cambio en el límite Ω es infinitesimal por hipótesis, las dos integrales pueden combinarse utilizando la versión cuatridimensional del teorema de la divergencia en la siguiente forma

\int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.

La diferencia en los lagrangianos se puede escribir hasta primer orden en las variaciones infinitesimales como

\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.

Sin embargo, debido a que las variaciones se definen en el mismo punto como se describió anteriormente, la variación y la derivada se pueden realizar en orden inverso; conmutan .

{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.

Utilizando las ecuaciones de campo de Euler-Lagrange

{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}

La diferencia en los lagrangianos se puede escribir de forma ordenada como

{\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}

Por lo tanto, el cambio en la acción se puede escribir como

\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.

Dado que esto se cumple para cualquier región Ω, el integrando debe ser cero.

{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.

Para cualquier combinación de las diversas transformaciones de simetría , la perturbación se puede escribir

{\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}

dónde ${\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}$ es la derivada de Lie de $\varphi ^{A}$ en la dirección X ^μ . Cuando $\varphi ^{A}$ es un escalar o ${X^{\mu }}_{,\nu }=0$ ,

{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.

Estas ecuaciones implican que la variación del campo tomada en un punto es igual a

{\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.

Al diferenciar la divergencia anterior con respecto a ε en ε = 0 y cambiar el signo, se obtiene la ley de conservación.

{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0

donde la corriente conservada es igual a

j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.

Derivación de haces de fibras/variedades

Supongamos que tenemos una variedad riemanniana orientada n -dimensional , o más generalmente lorentziana , M , y una variedad objetivo T. Sea ${\mathcal {C}}$ Sea el espacio de configuración de funciones suaves de M a T. (De forma más general, podemos tener secciones suaves de un fibrado T sobre M ).

Ejemplos de esta M en física incluyen:

En mecánica clásica , en la formulación hamiltoniana , M es la variedad unidimensional. $\mathbb {R}$ , que representa el tiempo y el espacio objetivo es el fibrado cotangente del espacio de posiciones generalizadas.
En teoría de campos , M es la variedad espaciotemporal y el espacio objetivo es el conjunto de valores que los campos pueden tomar en cualquier punto dado. Por ejemplo, si hay m campos escalares de valor real , $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}$ , entonces la variedad objetivo es $\mathbb {R} ^{m}$ . Si el campo es un campo vectorial real, entonces la variedad objetivo es isomorfa a $\mathbb {R} ^{3}$ .

Ahora supongamos que existe una función

{\mathcal {S}}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,

llamada la acción . (Toma valores en $\mathbb {R}$ , en vez de $\mathbb {C}$ (Esto se debe a razones físicas y no es importante para esta demostración).

Para llegar a la versión habitual del teorema de Noether, necesitamos restricciones adicionales sobre la acción . Suponemos que ${\mathcal {S}}[\varphi ]$ es la integral sobre M de una función

{\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)

llamada densidad lagrangiana , dependiendo de $\varphi$ , su derivado y la posición. En otras palabras, para $\varphi$ en ${\mathcal {C}}$

{\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.

Supongamos que se nos dan condiciones de contorno , es decir, una especificación del valor de $\varphi$ en el límite si M es compacto , o algún límite en $\varphi$ cuando x se acerca a ∞. Entonces el subespacio de ${\mathcal {C}}$ que consta de funciones $\varphi$ de tal manera que todos los derivados funcionales de ${\mathcal {S}}$ en $\varphi$ son cero, es decir:

{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}=0

y eso $\varphi$ satisface las condiciones de contorno dadas, es el subespacio de en soluciones de capa. (Véase el principio de acción estacionaria )

Ahora, supongamos que tenemos una transformación infinitesimal en ${\mathcal {C}}$ , generado por una derivación funcional Q , tal que

Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }

para todas las subvariedades compactas N de dimensión $n$ o en otras palabras,

Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)

para todo x , donde establecemos

{\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\;.

Si esto se cumple tanto en la capa de masas como fuera de ella , decimos que Q genera una simetría fuera de la capa de masas. Si esto solo se cumple en la capa de masas , decimos que Q genera una simetría en la capa de masas. Si la simetría generada por Q se integra a una simetría continua, decimos que Q es el generador de un grupo de Lie de simetría de un parámetro .

Ahora, para cualquier N , debido al teorema de Euler-Lagrange , tenemos en la capa (y solo en la capa)

{\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&=\int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}

Dado que esto es cierto para cualquier N , tenemos

\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]=0\;.

Pero esta es la ecuación de continuidad para la corriente. $J^{\mu }$ definido por: ^{[ 15 ]}

J^{\mu }\,:=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },

que se denomina corriente de Noether asociada a la simetría . La ecuación de continuidad nos dice que si integramos esta corriente sobre una sección de tipo espacial , obtenemos una cantidad conservada llamada carga de Noether (siempre que, por supuesto, si M no es compacto, las corrientes disminuyan suficientemente rápido en el infinito).

Comentarios

El teorema de Noether es un teorema de capas : se basa en el uso de las ecuaciones de movimiento, la trayectoria clásica. Refleja la relación entre las condiciones de contorno y el principio variacional. Suponiendo que no hay términos de contorno en la acción, el teorema de Noether implica que

\int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }=0\;.

Los análogos cuánticos del teorema de Noether que involucran valores esperados (por ejemplo, ${\textstyle \left\langle \int \partial \cdot {\textbf {J}}~d^{4}x\right\rangle =0}$ ) sondeando cantidades fuera de la capa también están las identidades de Ward-Takahashi .

Generalización a álgebras de Lie

Supongamos que tenemos dos derivaciones de simetría Q ₁ y Q ₂ . Entonces, [ Q ₁ , Q ₂ ] también es una derivación de simetría. Veámoslo explícitamente. Digamos que $Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }$ y $Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }$

Entonces, $[Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }$ dónde $f_{12}^{\mu }=Q_{1}[f_{2}^{\mu }]-Q_{2}[f_{1}^{\mu }]$ . Entonces, $j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.$

Esto demuestra que podemos extender el teorema de Noether a álgebras de Lie más grandes de forma natural.

Generalización de la demostración

Esto se aplica a cualquier derivación de simetría local Q que satisfaga QS ≈ 0, y también a acciones diferenciables funcionales locales más generales, incluidas aquellas donde el lagrangiano depende de derivadas de orden superior de los campos. Sea ε cualquier función suave arbitraria de la variedad espaciotemporal (o temporal) tal que el cierre de su soporte sea disjunto del borde. ε es una función de prueba . Entonces, debido al principio variacional (que no se aplica al borde, por cierto), la distribución de derivación q generada por q [ ε ][Φ( x )] = ε ( x ) Q [Φ( x )] satisface q [ ε ][ S ] ≈ 0 para todo ε , o más compactamente, q ( x )[ S ] ≈ 0 para todo x que no esté en el borde (pero recuerde que q ( x ) es una abreviatura de una distribución de derivación , no una derivación parametrizada por x en general). Esta es la generalización del teorema de Noether.

Para ver cómo se relaciona la generalización con la versión dada anteriormente, supongamos que la acción es la integral espaciotemporal de un lagrangiano que solo depende de $\varphi$ y sus primeras derivadas. Además, supongamos que

Q[{\mathcal {L}}]\approx \partial _{\mu }f^{\mu }

Entonces,

{\begin{aligned}q[\varepsilon ][{\mathcal {S}}]&=\int q[\varepsilon ][{\mathcal {L}}]d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\left({\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\mathcal {L}}\right)\varepsilon Q[\varphi ]+\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\mu }(\varepsilon Q[\varphi ])\right\}d^{n}x\\[6pt]&=\int \left\{\varepsilon Q[{\mathcal {L}}]+\partial _{\mu }\varepsilon \left[{\frac {\partial }{\partial \left(\partial _{\mu }\varphi \right)}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\\[6pt]&\approx \int \varepsilon \partial _{\mu }\left\{f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right\}\,d^{n}x\end{aligned}}

a pesar de $\varepsilon$ .

En términos más generales, si el lagrangiano depende de derivadas de orden superior, entonces

\partial _{\mu }\left[f^{\mu }-\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-2\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]\partial _{\nu }Q[\varphi ]+\partial _{\nu }\left[\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]\right]-\,\dotsm \right]\approx 0.

Ejemplos

Ejemplo 1: Conservación de la energía

Consideremos el caso específico de una partícula newtoniana de masa m , coordenada x , que se mueve bajo la influencia de un potencial V , coordinado por el tiempo t . La acción , S , es:

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}[x]&=\int L\left[x(t),{\dot {x}}(t)\right]\,dt\\&=\int \left({\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{3}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x(t))\right)\,dt.\end{aligned}}

El primer término entre paréntesis es la energía cinética de la partícula, mientras que el segundo es su energía potencial . Consideremos el generador de traslaciones temporales. $Q={\frac {d}{dt}}$ . En otras palabras, $Q[x(t)]={\dot {x}}(t)$ La coordenada x tiene una dependencia explícita del tiempo, mientras que V no; por consiguiente:

Q[L]={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\ddot {x}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial V(x)}{\partial x_{i}}}{\dot {x}}_{i}

para que podamos establecer

L={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x).

Entonces,

{\begin{aligned}j&=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}Q[x_{i}]-L\\&=m\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-\left[{\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}-V(x)\right]\\[3pt]&={\frac {m}{2}}\sum _{i}{\dot {x}}_{i}^{2}+V(x).\end{aligned}}

El lado derecho es la energía, y el teorema de Noether establece que $dj/dt=0$ (es decir, el principio de conservación de la energía es una consecuencia de la invariancia bajo traslaciones temporales).

De manera más general, si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo, la cantidad

\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}{\dot {x_{i}}}-L

(llamado hamiltoniano ) se conserva.

Ejemplo 2: Conservación del centro de momento

Aún considerando el tiempo unidimensional, dejemos

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}\left[{\vec {x}}\right]&=\int {\mathcal {L}}\left[{\vec {x}}(t),{\dot {\vec {x}}}(t)\right]dt\\[3pt]&=\int \left[\sum _{\alpha =1}^{N}{\frac {m_{\alpha }}{2}}\left({\dot {\vec {x}}}_{\alpha }\right)^{2}-\sum _{\alpha <\beta }V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\right]dt,\end{aligned}}

para $N$ Partículas newtonianas donde el potencial solo depende, por pares, del desplazamiento relativo.

Para ${\vec {Q}}$ , consideremos el generador de transformaciones galileanas (es decir, un cambio en el marco de referencia). En otras palabras,

Q_{i}\left[x_{\alpha }^{j}(t)\right]=t\delta _{i}^{j}.

Y

{\begin{aligned}Q_{i}[{\mathcal {L}}]&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}-\sum _{\alpha <\beta }t\partial _{i}V_{\alpha \beta }\left({\vec {x}}_{\beta }-{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\&=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\dot {x}}_{\alpha }^{i}.\end{aligned}}

Esto tiene la forma de ${\textstyle {\frac {d}{dt}}\sum _{\alpha }m_{\alpha }x_{\alpha }^{i}}$ para que podamos establecer

{\vec {f}}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }.

Entonces,

{\begin{aligned}{\vec {j}}&=\sum _{\alpha }\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {\vec {x}}}_{\alpha }}}{\mathcal {L}}\right)\cdot {\vec {Q}}\left[{\vec {x}}_{\alpha }\right]-{\vec {f}}\\[6pt]&=\sum _{\alpha }\left(m_{\alpha }{\dot {\vec {x}}}_{\alpha }t-m_{\alpha }{\vec {x}}_{\alpha }\right)\\[3pt]&={\vec {P}}t-M{\vec {x}}_{CM}\end{aligned}}

dónde ${\vec {P}}$ es el momento total, M es la masa total y ${\vec {x}}_{CM}$ es el centro de masa. El teorema de Noether establece:

{\frac {d{\vec {j}}}{dt}}=0\Rightarrow {\vec {P}}-M{\dot {\vec {x}}}_{CM}=0.

Ejemplo 3: Transformación conforme

Los ejemplos 1 y 2 se desarrollan sobre una variedad unidimensional (tiempo). Un ejemplo que involucra el espaciotiempo es una transformación conforme de un campo escalar real sin masa con un potencial cuártico en el espaciotiempo de Minkowski (3 + 1) .

{\begin{aligned}{\mathcal {S}}[\varphi ]&=\int {\mathcal {L}}\left[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x)\right]d^{4}x\\[3pt]&=\int \left({\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right)d^{4}x\end{aligned}}

Para Q , consideremos el generador de un reescalamiento del espaciotiempo. En otras palabras,

Q[\varphi (x)]=x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi (x)+\varphi (x).

El segundo término del lado derecho se debe al "peso conforme" de $\varphi$ . Y

Q[{\mathcal {L}}]=\partial ^{\mu }\varphi \left(\partial _{\mu }\varphi +x^{\nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi +\partial _{\mu }\varphi \right)-4\lambda \varphi ^{3}\left(x^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +\varphi \right).

Esto tiene la forma de

\partial _{\mu }\left[{\frac {1}{2}}x^{\mu }\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda x^{\mu }\varphi ^{4}\right]=\partial _{\mu }\left(x^{\mu }{\mathcal {L}}\right)

(donde hemos realizado un cambio de índices ficticios) así que establecemos

f^{\mu }=x^{\mu }{\mathcal {L}}.

Entonces

{\begin{aligned}j^{\mu }&=\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right]Q[\varphi ]-f^{\mu }\\&=\partial ^{\mu }\varphi \left(x^{\nu }\partial _{\nu }\varphi +\varphi \right)-x^{\mu }\left({\frac {1}{2}}\partial ^{\nu }\varphi \partial _{\nu }\varphi -\lambda \varphi ^{4}\right).\end{aligned}}

El teorema de Noether afirma que $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ (como se puede comprobar explícitamente sustituyendo las ecuaciones de Euler-Lagrange en el lado izquierdo).

Si uno intenta encontrar el análogo de Ward-Takahashi de esta ecuación, se topa con un problema debido a las anomalías .

Aplicaciones

La aplicación del teorema de Noether permite a los físicos comprender mejor cualquier teoría general de la física, simplemente analizando las diversas transformaciones que harían invariante la forma de las leyes involucradas. Por ejemplo:

La invariancia de un sistema aislado con respecto a la traslación espacial (es decir, que las leyes de la física son las mismas en todos los puntos del espacio) da lugar a la ley de conservación del momento lineal (que establece que el momento lineal total de un sistema aislado es constante).
La invariancia de un sistema aislado con respecto a la traslación temporal (es decir, que las leyes de la física son las mismas en todos los instantes de tiempo) da lugar a la ley de conservación de la energía (que establece que la energía total de un sistema aislado es constante).
La invariancia de un sistema aislado con respecto a la rotación (es decir, que las leyes de la física son las mismas con respecto a todas las orientaciones angulares en el espacio) da lugar a la ley de conservación del momento angular (que establece que el momento angular total de un sistema aislado es constante).
La invariancia de un sistema aislado con respecto a las transformaciones de Lorentz (es decir, que las leyes de la física son las mismas con respecto a todos los sistemas de referencia inerciales) da lugar al teorema del centro de masas (que establece que el centro de masas de un sistema aislado se mueve a velocidad constante).

En la teoría cuántica de campos , el análogo del teorema de Noether, la identidad de Ward-Takahashi , produce leyes de conservación adicionales, como la conservación de la carga eléctrica a partir de la invariancia con respecto a un cambio en el factor de fase del campo complejo de la partícula cargada y el calibre asociado del potencial eléctrico y el potencial vectorial .

La carga de Noether también se utiliza para calcular la entropía de los agujeros negros estacionarios . ^{[ 16 ]}

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

El artículo original de Noether

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Otros

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Enlaces externos

El teorema de Noether en MathPages.

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