Función de disipación de Rayleigh

En física, la función de disipación de Rayleigh , llamada así por Lord Rayleigh , es una función que se utiliza para manejar los efectos de las fuerzas de fricción proporcionales a la velocidad en la mecánica de Lagrange . Fue introducida por primera vez por él en 1873. ^[1] Si la fuerza de fricción sobre una partícula con velocidad se puede escribir como , la función de disipación de Rayleigh se puede definir para un sistema de partículas como ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}}$${\estilo de visualización N}$

${\displaystyle R(v)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}(k_{x}v_{i,x}^{2}+k_{y} v_{i,y}^{2}+k_{z}v_{i,z}^{2}).}$

Esta función representa la mitad de la tasa de disipación de energía del sistema a través de la fricción. La fuerza de fricción es negativa al gradiente de velocidad de la función de disipación, análoga a una fuerza que es igual al gradiente de posición negativo de un potencial. Esta relación se representa en términos del conjunto de coordenadas generalizadas como ${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-\nabla _{v}R(v)}$${\displaystyle q_{i}=\left\{q_{1},q_{2},\ldots q_{n}\right\}}$

${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Como la fricción no es conservativa, se incluye en el término de las ecuaciones de Lagrange , ${\displaystyle Q_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\parcial L}{\parcial q_{i}}}=Q_{i}}$.

La aplicación del valor de la fuerza de fricción descrita por coordenadas generalizadas en las ecuaciones de Euler-Lagrange da (véase ^[2] )

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}{\frac {\parcial L}{\parcial {\dot {q_{i}}}}}{\big )}-{\frac {\parcial L}{\parcial q_{i}}}=-{\frac {\parcial R}{\parcial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Rayleigh escribe el Lagrangiano como energía cinética menos energía potencial , lo que produce la ecuación de Rayleigh (26) de 1873. ${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\big )}+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0}$.

Desde la década de 1970, el nombre de potencial de disipación de Rayleigh es más común. Además, la teoría original se generaliza a partir de funciones cuadráticas a potenciales de disipación que dependen de (entonces llamados dependencia de estado) y no son cuadráticos, lo que conduce a leyes de fricción no lineal como en la fricción de Coulomb o en la plasticidad. El supuesto principal es entonces que la aplicación es convexa y satisface , véase, por ejemplo, ^{[3] [4] [5]}${\estilo de visualización R}$${\displaystyle q\mapsto R({\dot {\dot {q}}})={\frac {1}{2}}{\dot {q}}\cdot \mathbb {V} {\dot {q}}}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle {\dot {q}}\mapsto R(q,{\dot {q}})}$${\displaystyle 0=R(q,0)\leq R(q,{\punto {q}})}$