Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

En la configuración habitual, el tiempo es continuo, comenzando, por simplicidad, en${\displaystyle t=0}$y continuando para siempre. Por definición, los únicos factores productivos son el capital.${\displaystyle K}$y trabajo${\displaystyle L}$, ambos deben ser no negativos. Se supone que la fuerza laboral, que constituye toda la población, crece a una tasa constante.${\displaystyle n}$, es decir${\displaystyle {\dot {L}}={\tfrac {\mathrm {d} L}{\mathrm {d} t}}=nL}$, lo que implica que${\displaystyle L=L_{0}e^{nt}}$con nivel inicial${\displaystyle L_{0}>0}$en${\displaystyle t=0}$. Finalmente, dejemos${\displaystyle Y}$denotan la producción agregada y${\displaystyle C}$denota el consumo agregado.

Las variables que el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans pretende describir en última instancia son el consumo per cápita (o, más precisamente, por trabajador ):$${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$$y la intensidad de capital :$${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$$Lo hace conectando la acumulación de capital , escrita${\displaystyle {\dot {K}}={\tfrac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}}$en la notación de Newton , con consumo${\displaystyle C}$, describiendo una disyuntiva entre consumo e inversión. Más específicamente, dado que el stock de capital existente se deteriora según la tasa de depreciación.${\displaystyle \delta }$(suponiendo que sea constante), requiere una inversión de la producción del período actual.${\displaystyle Y}$. De este modo,$${\displaystyle {\dot {K}}=Y-\delta K-cL}$$

La relación entre los factores productivos y la producción agregada se describe mediante la función de producción agregada ,${\displaystyle Y=F(K,L)}$Una opción común es la función de producción Cobb-Douglas .${\displaystyle F(K,L)=AK^{1-\alpha }L^{\alpha }}$, pero en general, cualquier función de producción que satisfaga las condiciones de Inada es permisible. Sin embargo, es importante destacar que${\displaystyle F}$Se requiere que sea homogénea de grado 1 , lo que económicamente implica rendimientos constantes a escala . Con este supuesto, podemos reexpresar la producción agregada en términos per cápita.$${\displaystyle F(K,L)=L\cdot F\left({\frac {K}{L}},1\right)=L\cdot f(k)}$$Por ejemplo, si utilizamos la función de producción Cobb-Douglas con${\displaystyle A=1,\alpha =0.5}$, entonces${\displaystyle f(k)=k^{0.5}}$.

Para obtener la primera ecuación clave del modelo de Ramsey-Cass-Koopmans, la ecuación dinámica para el stock de capital debe expresarse en términos per cápita . Observando la regla del cociente para${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\tfrac {K}{L}}\right)}$, tenemos

Una ecuación diferencial no lineal similar al modelo de Solow-Swan , pero que incorpora el consumo endógeno 𝑐, lo que refleja los fundamentos microeconómicos del modelo.

Si ignoramos el problema de cómo se distribuye el consumo, entonces la tasa de utilidad${\displaystyle U}$es una función del consumo agregado. Es decir,${\displaystyle U=U(C,t)}$Para evitar el problema del infinito, descontamos exponencialmente la utilidad futura a una tasa de descuento .${\displaystyle \rho \in (0,\infty )}$. Un alto${\displaystyle \rho }$refleja una gran impaciencia .

El problema del planificador social es maximizar la función de bienestar social.$${\displaystyle U_{0}=\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}U(C,t)\,\mathrm {d} t}$$Supongamos que la economía está poblada por individuos inmortales idénticos con funciones de utilidad inmutables.${\displaystyle u(c)}$(un agente representativo ), de tal manera que la utilidad total sea:$${\displaystyle U(C,t)=Lu(c)=L_{0}e^{nt}u(c)}$$Se supone que la función de utilidad es estrictamente creciente (es decir, no hay un punto de felicidad ) y cóncava en${\displaystyle c}$, con${\displaystyle \lim _{c\to 0}u_{c}=\infty }$, ^{[ nota 2 ]} donde${\displaystyle u_{c}}$es la utilidad marginal del consumo${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial c}}}$. Por lo tanto, tenemos el problema del planificador social:

${\displaystyle \max _{c}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho -n)t}u(c)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\text{subject to}}\quad c=f(k)-(n+\delta )k-{\dot {k}}}$

donde un capital inicial distinto de cero${\displaystyle k(0)=k_{0}>0}$Se da. Para asegurar que la integral esté bien definida, imponemos${\displaystyle \rho >n}$.

La solución, que generalmente se encuentra utilizando una función hamiltoniana , ^{[ nota 3 ] [ nota 4 ]} es una ecuación diferencial que describe la evolución óptima del consumo,

la regla de Keynes-Ramsey . ^{[ 5 ]}

El término${\displaystyle f_{k}(k)-\delta -\rho }$, dónde${\displaystyle f_{k}=\partial _{k}f}$es el producto marginal del capital , refleja el rendimiento marginal de la inversión neta , teniendo en cuenta la depreciación del capital y el descuento temporal.

Aquí${\displaystyle \sigma (c)}$es la elasticidad de sustitución intertemporal (EIS), definida por$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u_{c}(c)}{c\cdot u_{cc}(c)}}=-{\frac {d\ln c}{d\ln(u'(c))}}}$$Formalmente, es equivalente al inverso de la aversión relativa al riesgo . Esta magnitud refleja la curvatura de la función de utilidad e indica cuánto desea el agente representativo suavizar el consumo a lo largo del tiempo. Si el agente tiene una alta aversión relativa al riesgo, su EIS es baja y, por lo tanto, estará más dispuesto a suavizar el consumo a lo largo del tiempo.

A menudo se asume que${\displaystyle u}$es estrictamente monótonamente creciente y cóncava, por lo tanto${\displaystyle \sigma >0}$En particular, si la utilidad es logarítmica, entonces es constante:$${\displaystyle u(c)=u_{0}\ln c\implies \sigma (c)=1}$$Podemos reescribir la regla de Ramsey como$${\displaystyle \underbrace {{\frac {d}{dt}}\ln c} _{\text{consumption delay rate}}=\underbrace {\sigma (c)} _{{\text{EIS at current consumption level}}\quad }\underbrace {[f_{k}(k)-\delta -\rho ]} _{\text{marginal return on net investment}}}$$donde interpretamos${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\ln c}$como la "tasa de aplazamiento del consumo", que indica la velocidad a la que se pospone el consumo actual en favor del consumo futuro. Un valor más alto implica que el agente prioriza el ahorro sobre el consumo actual, aplazando así el consumo posterior.

Las dos ecuaciones diferenciales acopladas para${\displaystyle k}$y${\displaystyle c}$forman el sistema dinámico de Ramsey-Cass-Koopmans .

Un estado estacionario${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$para el sistema se encuentra configurando${\displaystyle {\dot {k}}}$y${\displaystyle {\dot {c}}}$igual a cero. Hay tres soluciones:

${\displaystyle f_{k}\left(k^{\ast }\right)=\delta +\rho \quad {\text{and}}\quad c^{\ast }=f\left(k^{\ast }\right)-(n+\delta )k^{\ast }}$

${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle f(k^{*})=(n+\delta )k^{*}{\text{ with }}k^{*}>0,c^{*}=0}$

La primera es la única solución en el interior del cuadrante superior. Es un punto de silla (como se muestra a continuación). El segundo y tercer estado estacionario son artefactos de la manipulación algebraica de las condiciones de optimalidad. Estos no están definidos para${\displaystyle c=0}$Por lo tanto, el único estado estacionario relevante es el primero.

Cualquier trayectoria óptima debe seguir el sistema dinámico. Sin embargo, dado que la variable${\displaystyle c}$es una variable de control , en cada intensidad de capital${\displaystyle k}$Para encontrar su trayectoria óptima correspondiente, todavía necesitamos encontrar su tasa de consumo inicial.${\displaystyle c(0)}$. Resulta que la trayectoria óptima es la única que converge al punto de equilibrio interior. Cualquier otra trayectoria converge al equilibrio que salva a todos con${\displaystyle k^{*}>0,c^{*}=0}$o diverge hacia${\displaystyle k\to 0,c\to \infty }$lo que significa que la economía gasta todo su capital en un tiempo finito. Ambos alcanzan una utilidad global menor que la trayectoria hacia el punto de equilibrio interior.

Una declaración cualitativa sobre la estabilidad de la solución.${\displaystyle (k^{\ast },c^{\ast })}$requiere una linealización mediante un polinomio de Taylor de primer orden.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {k}}\\{\dot {c}}\end{bmatrix}}\approx \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast }){\begin{bmatrix}(k-k^{\ast })\\(c-c^{\ast })\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {J} (k^{\ast },c^{\ast })}$es la matriz jacobiana evaluada en estado estacionario, ^{[ nota 5 ]} dada por

${\displaystyle \mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)={\begin{bmatrix}\rho -n&-1\\{\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }&0\end{bmatrix}}}$

que tiene determinante${\displaystyle \left|\mathbf {J} \left(k^{\ast },c^{\ast }\right)\right|={\frac {1}{\sigma }}f_{kk}(k)\cdot c^{\ast }<0}$desde${\displaystyle c^{*}>0}$,${\displaystyle \sigma }$es positivo por supuesto, y${\displaystyle f_{kk}<0}$ desde${\displaystyle f}$es cóncava (condición de Inada). Dado que el determinante es igual al producto de los autovalores , estos deben ser reales y de signo opuesto. ^{[ 6 ]}

Por lo tanto, según el teorema de la variedad estable , el equilibrio es un punto de silla , y existe un único brazo estable, o "camino de silla", que converge en el equilibrio, indicado por la curva azul en el diagrama de fases.

El sistema se denomina "estable en la trayectoria de silla de montar" ya que todas las trayectorias inestables quedan descartadas por la condición de "no esquema Ponzi ": ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k\cdot e^{-\int _{0}^{t}\left(f_{k}-n-\delta \right)\mathrm {d} s}\geq 0}$

lo que implica que el valor actual del capital social no puede ser negativo. ^{[ nota 6 ]}