Condiciones de Inada

En macroeconomía , las condiciones de Inada son un conjunto de supuestos matemáticos sobre la forma y el comportamiento límite de las funciones de producción o utilidad que garantizan propiedades adecuadas en los modelos económicos, como rendimientos marginales decrecientes y un comportamiento límite apropiado, que son esenciales para la estabilidad y convergencia de varios modelos macroeconómicos . Las condiciones reciben su nombre de Ken-Ichi Inada , quien las introdujo en 1963. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Estas condiciones se imponen típicamente en modelos de crecimiento neoclásicos —como el modelo de Solow-Swan , el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans y los modelos de generaciones superpuestas— para garantizar que los rendimientos marginales sean positivos pero decrecientes, y que el producto marginal de un insumo se vuelva infinito cuando su cantidad se aproxime a cero y se anule cuando su cantidad se vuelva infinitamente grande.

Desde el punto de vista económico, estas propiedades garantizan una dinámica de modelo predecible: descartan soluciones extremas como la acumulación de capital nula o el crecimiento ilimitado, aseguran la existencia de un estado estacionario único y estable , y promueven una sustitución fluida entre los insumos. Una función de producción Cobb-Douglas satisface las condiciones de Inada, mientras que algunas funciones de elasticidad de sustitución constante (CES) no lo hacen. Si bien son estilizadas y no estrictamente realistas, estas condiciones resultan matemáticamente convenientes y se utilizan ampliamente en trabajos teóricos, ya que simplifican el análisis de la convergencia y la estabilidad a largo plazo en modelos macroeconómicos dinámicos.

Las condiciones de Inada se asocian comúnmente con la prevención de comportamientos patológicos en las funciones de producción , como la acumulación de capital infinita o nula.

Dada una función continuamente diferenciable${\displaystyle f\colon X\to Y}$, dónde${\displaystyle X=\left\{x\colon \,x\in \mathbb {R} _{+}^{n}\right\}}$y${\displaystyle Y=\left\{y\colon \,y\in \mathbb {R} _{+}\right\}}$Las condiciones son:

1. el valor de la función${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$en${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$es 0:${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0}$
2. La función es cóncava en${\displaystyle X}$, es decir, la matriz hessiana${\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right)}$debe ser semidefinida negativa . ^{[ 3 ]} Económicamente, esto implica que los rendimientos marginales para el insumo${\displaystyle x_{i}}$son positivos, es decir ${\displaystyle \partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}>0}$, pero decreciente, es decir${\displaystyle \partial ^{2}f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}^{2}<0}$
3. el límite de la primera derivada es infinito positivo cuando${\displaystyle x_{i}}$se aproxima a 0:${\displaystyle \lim _{x_{i}\to 0}\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=+\infty }$, lo que significa que el efecto de la primera unidad de entrada${\displaystyle x_{i}}$tiene el mayor efecto
4. el límite de la primera derivada es cero cuando${\displaystyle x_{i}}$se aproxima al infinito positivo:${\displaystyle \lim _{x_{i}\to +\infty }\partial f(\mathbf {x} )/\partial x_{i}=0}$, lo que significa que el efecto de una unidad adicional de entrada${\displaystyle x_{i}}$es 0 cuando se aproxima al uso de unidades infinitas de${\displaystyle x_{i}}$

La elasticidad de sustitución entre bienes se define para la función de producción.${\displaystyle f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$como${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial \log(x_{i}/x_{j})}{\partial \log MRTS_{ji}}}}$, dónde${\displaystyle MRTS_{ji}({\bar {z}})={\frac {\partial f({\bar {z}})/\partial z_{j}}{\partial f({\bar {z}})/\partial z_{i}}}}$es la tasa marginal de sustitución técnica . Se puede demostrar que las condiciones de Inada implican que la elasticidad de sustitución entre componentes es asintóticamente igual a uno (aunque la función de producción no sea necesariamente asintóticamente Cobb-Douglas , una función de producción común para la cual se cumple esta condición). ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En el modelo de crecimiento neoclásico estocástico , si la función de producción no satisface la condición de Inada en cero, cualquier trayectoria factible converge a cero con probabilidad uno, siempre que las perturbaciones sean suficientemente volátiles. ^{[ 6 ]}

• Barro, Robert J.; Sala -I-Martin, Xavier I. (2004). Crecimiento económico (Segunda  edición). Londres: MIT Press. pp. 26–30 . ISBN  0-262-02553-1.
• Gandolfo, Giancarlo (1996). Dinámica económica (Tercera  ed.). Berlín: Springer. pp. 176–178 . ISBN  3-540-60988-1.
• Romer, David (2011). «El modelo de crecimiento de Solow». Macroeconomía avanzada (Cuarta  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. págs. 6-48 . ISBN  978-0-07-351137-5.