Teorema de la variedad estable

En matemáticas , especialmente en el estudio de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales , el teorema de la variedad estable es un resultado importante sobre la estructura del conjunto de órbitas que se aproximan a un punto fijo hiperbólico dado . En términos generales, establece que la existencia de un difeomorfismo local cerca de un punto fijo implica la existencia de una variedad estable local con centro que contiene dicho punto fijo. Esta variedad tiene una dimensión igual al número de autovalores de la matriz jacobiana del punto fijo que son menores que 1. ^{[ 1 ]}

Dejar

${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

Sea un mapa suave con un punto fijo hiperbólico en${\displaystyle p}$. Lo denotamos por${\displaystyle W^{s}(p)}$el conjunto estable y por${\displaystyle W^{u}(p)}$el conjunto inestable de${\displaystyle p}$.

El teorema ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} establece que

• ${\displaystyle W^{s}(p)}$es una variedad suave y su espacio tangente tiene la misma dimensión que el espacio estable de la linealización de${\displaystyle f}$en${\displaystyle p}$.
• ${\displaystyle W^{u}(p)}$es una variedad suave y su espacio tangente tiene la misma dimensión que el espacio inestable de la linealización de${\displaystyle f}$en${\displaystyle p}$.

Respectivamente${\displaystyle W^{s}(p)}$es un colector estable y${\displaystyle W^{u}(p)}$es un colector inestable .

• Teorema de la variedad central
• exponente de Lyapunov

1. ↑ Shub, Michael (1987). Estabilidad global de sistemas dinámicos . Springer. págs. 65–66 . 
2. ↑ Pesin, Ya B (1977). "Exponentes de Lyapunov característicos y teoría ergódica suave" . Russian Mathematical Surveys . 32 (4): 55– 114. Bibcode : 1977RuMaS..32...55P . doi : 10.1070/RM1977v032n04ABEH001639 . S2CID 250877457. Recuperado el 10 de marzo de 2007 . 
3. ^ Ruelle, David (1979). "Teoría ergódica de sistemas dinámicos diferenciables" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 50 : 27– 58. doi : 10.1007/bf02684768 . S2CID 56389695 . Consultado el 10 de marzo de 2007 . 
4. ↑ Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.

• Perko, Lawrence (2001). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (Tercera  ed.). Nueva York: Springer. pp. 105–117 . ISBN  0-387-95116-4.
• Sritharan, SS (1990). Teoría de variedades invariantes para la transición hidrodinámica . John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

• Teorema de la variedad estable en PlanetMath .