Función monótona

En matemáticas , una función monótona (o función monótona ) es una función entre conjuntos ordenados que preserva o invierte el orden dado . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Este concepto surgió por primera vez en el cálculo y posteriormente se generalizó al contexto más abstracto de la teoría del orden .

En cálculo , una función${\displaystyle f}$Una función definida en un subconjunto de los números reales con valores reales se denomina monótona si es completamente no decreciente o completamente no creciente. ^{[ 2 ]} Es decir, como se muestra en la figura 1, una función que aumenta monótonamente no tiene por qué ser exclusivamente creciente, simplemente no debe ser decreciente.

Una función se denomina monótonamente creciente (también creciente o no decreciente ) ^{[ 3 ]} si para todo${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle x\leq y}$uno tiene ${\displaystyle f\!\left(x\right)\leq f\!\left(y\right)}$, entonces${\displaystyle f}$preserva el orden (véase la Figura 1). Asimismo, una función se denomina monótonamente decreciente (también decreciente o no creciente ) ^{[ 3 ]} si, siempre que${\displaystyle x\leq y}$, entonces${\displaystyle f\!\left(x\right)\geq f\!\left(y\right)}$, por lo que invierte el orden (véase la figura 2).

Si el pedido${\displaystyle \leq }$En la definición de monotonicidad se reemplaza por el orden estricto.${\displaystyle <}$, se obtiene un requisito más fuerte. Una función con esta propiedad se llama estrictamente creciente (también creciente ). ^{[ 3 ] [ 4 ]} Nuevamente, al invertir el símbolo de orden, se encuentra un concepto correspondiente llamado estrictamente decreciente (también decreciente ). ^{[ 3 ] [ 4 ]} Una función con cualquiera de las dos propiedades se llama estrictamente monótona . Las funciones que son estrictamente monótonas son inyectivas (porque para${\displaystyle x}$no es igual a${\displaystyle y}$, cualquiera${\displaystyle x<y}$o${\displaystyle x>y}$y así, por monotonicidad, o${\displaystyle f\!\left(x\right)<f\!\left(y\right)}$o${\displaystyle f\!\left(x\right)>f\!\left(y\right)}$, de este modo${\displaystyle f\!\left(x\right)\neq f\!\left(y\right)}$.

Para evitar ambigüedades, a menudo se utilizan los términos débilmente monótono , débilmente creciente y débilmente decreciente para referirse a la monotonicidad no estricta.

The terms "non-decreasing" and "non-increasing" should not be confused with the (much weaker) negative qualifications "not decreasing" and "not increasing". For example, the non-monotonic function shown in figure 3 first falls, then rises, then falls again. It is therefore not decreasing and not increasing, but it is neither non-decreasing nor non-increasing.

A function ${\displaystyle f}$ is said to be absolutely monotonic over an interval ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ if the derivatives of all orders of ${\displaystyle f}$ are nonnegative or all nonpositive at all points on the interval.

Some basic applications and results

The following properties are true for a monotonic function ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$:

• ${\displaystyle f}$ has limits from the right and from the left at every point of its domain;
• ${\displaystyle f}$ has a limit at positive or negative infinity (${\displaystyle \pm \infty }$) of either a real number, ${\displaystyle \infty }$, or ${\displaystyle -\infty }$.
• ${\displaystyle f}$ can only have jump and removable discontinuities.
• ${\displaystyle f}$ can only have countably many discontinuities in its domain. The discontinuities, however, do not necessarily consist of isolated points and may even be dense in an interval (a, b). For example, for any summable sequence$(ai})$ of positive numbers and any enumeration ${\displaystyle (q_{i})}$ of the rational numbers, the monotonically increasing function $${\displaystyle f(x)=\sum _{q_{i}\leq x}a_{i}}$$ is continuous exactly at every irrational number (cf. picture). It is the cumulative distribution function of the discrete measure on the rational numbers, where ${\displaystyle a_{i}}$ is the weight of ${\displaystyle q_{i}}$.
• If ${\displaystyle f}$ is differentiable at ${\displaystyle x^{*}\in {\mathbb {R}}}$ and ${\displaystyle f'(x^{*})>0}$, then there is a non-degenerate intervalI such that ${\displaystyle x^{*}\in I}$ and ${\displaystyle f}$ is increasing on I.
• As a partial converse, if ${\displaystyle f}$ is differentiable and increasing on an interval, ${\displaystyle I}$, then its derivative is nonnegative at every point in ${\displaystyle I}$. Furthermore, the set ${\displaystyle A=\{x\in I:f'(x)>0\}}$ is dense with positive Lebesgue measure. Not much more can be said about ${\displaystyle A}$; for instance, ${\displaystyle A}$ may be meagre, as in the case of a Pompeiu derivative, and for fixed ${\displaystyle I}$, the Lebesgue measure of ${\displaystyle A}$ can be made arbitrarily close to ${\displaystyle 0}$ via a suitable choice of ${\displaystyle f}$.

These properties are the reason why monotonic functions are useful in technical work in analysis. Other important properties of these functions include:

• if ${\displaystyle f}$ is a monotonic function defined on an interval${\displaystyle I}$, then ${\displaystyle f}$ is differentiablealmost everywhere on ${\displaystyle I}$; i.e. the set of numbers ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle I}$ such that ${\displaystyle f}$ is not differentiable in ${\displaystyle x}$ has Lebesguemeasure zero. In addition, this result cannot be improved to countable: see Cantor function.
• if this set is countable, then ${\displaystyle f}$ is absolutely continuous
• if ${\displaystyle f}$ is a monotonic function defined on an interval ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, then ${\displaystyle f}$ is Riemann integrable.

An important application of monotonic functions is in probability theory. If ${\displaystyle X}$ is a random variable, its cumulative distribution function${\displaystyle F_{X}\!\left(x\right)={\text{Prob}}\!\left(X\leq x\right)}$ is a monotonically increasing function.

A function is unimodal if it is monotonically increasing up to some point (the mode) and then monotonically decreasing.

When ${\displaystyle f}$ is a strictly monotonic function, then ${\displaystyle f}$ is injective on its domain, and if ${\displaystyle T}$ is the range of ${\displaystyle f}$, then there is an inverse function on ${\displaystyle T}$ for ${\displaystyle f}$. Por el contrario, cada función constante es monótona, pero no inyectiva, ^{[ 7 ]} y por lo tanto no puede tener una inversa.

El gráfico muestra seis funciones monótonas. Sus formas más simples se muestran en el área de la gráfica y las expresiones utilizadas para crearlas se muestran en el eje y .

Un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$Se dice que es monótono si cada una de sus fibras está conectada ; es decir, para cada elemento${\displaystyle y\in Y,}$el conjunto (posiblemente vacío)${\displaystyle f^{-1}(y)}$es un subespacio conexo de${\displaystyle X.}$

En el análisis funcional sobre un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$, un operador (posiblemente no lineal)${\displaystyle T:X\rightarrow X^{*}}$Se dice que es un operador monótono si

$${\displaystyle (Tu-Tv,u-v)\geq 0\quad \forall u,v\in X.}$$El teorema de Kachurovskii demuestra que las funciones convexas en espacios de Banach tienen operadores monótonos como sus derivadas.

Un subconjunto${\displaystyle G}$de${\displaystyle X\times X^{*}}$Se dice que es un conjunto monótono si por cada par${\displaystyle [u_{1},w_{1}]}$y${\displaystyle [u_{2},w_{2}]}$en${\displaystyle G}$,

$${\displaystyle (w_{1}-w_{2},u_{1}-u_{2})\geq 0.}$$${\displaystyle G}$Se dice que un conjunto es monótono maximal si es maximal entre todos los conjuntos monótonos en el sentido de inclusión de conjuntos. La gráfica de un operador monótono${\displaystyle G(T)}$es un conjunto monótono. Se dice que un operador monótono es maximal monótono si su gráfica es un conjunto maximal monótono .

La teoría del orden trata conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios y conjuntos preordenados como una generalización de los números reales. La definición anterior de monotonicidad también es relevante en estos casos. Sin embargo, se evitan los términos "creciente" y "decreciente", ya que su representación gráfica convencional no se aplica a órdenes que no son totales . Además, las relaciones estrictas${\displaystyle <}$y${\displaystyle >}$Son de poca utilidad en muchos pedidos que no son totales y, por lo tanto, no se introduce terminología adicional para ellos.

Alquiler${\displaystyle \leq }$denota la relación de orden parcial de cualquier conjunto parcialmente ordenado, una función monótona , también llamada isótona , opreservando el orden , satisface la propiedad

$${\displaystyle x\leq y\implies f(x)\leq f(y)}$$

para todo x e y en su dominio. La composición de dos aplicaciones monótonas también es monótona.

La noción dual se denomina a menudo antitono , antimonótono o inversión de orden . Por lo tanto, una función antitono f satisface la propiedad

$${\displaystyle x\leq y\implies f(y)\leq f(x),}$$

para todos los valores de x e y en su dominio.

Una función constante es a la vez monótona y antitónica; recíprocamente, si f es a la vez monótona y antitónica, y si el dominio de f es una red , entonces f debe ser constante.

Las funciones monótonas son fundamentales en la teoría del orden. Aparecen en la mayoría de los artículos sobre el tema y en ellos se encuentran ejemplos de aplicaciones especiales. Algunas funciones monótonas especiales notables son las incrustaciones de orden (funciones para las cuales${\displaystyle x\leq y}$si y solo si${\displaystyle f(x)\leq f(y))}$y isomorfismos de orden ( incrustaciones de orden sobreyectivo ).

En el contexto de los algoritmos de búsqueda, la monotonicidad (también llamada consistencia) es una condición que se aplica a las funciones heurísticas . Una heurística${\displaystyle h(n)}$es monótona si, para cada nodo n y cada sucesor n' de n generado por cualquier acción a , el costo estimado de alcanzar el objetivo desde n no es mayor que el costo del paso para llegar a n' más el costo estimado de alcanzar el objetivo desde n' ,

$${\displaystyle h(n)\leq c\left(n,a,n'\right)+h\left(n'\right).}$$

Esta es una forma de desigualdad triangular , con n , n' y el objetivo G _n más cercano a n . Dado que toda heurística monótona también es admisible , la monotonicidad es un requisito más estricto que la admisibilidad. Algunos algoritmos heurísticos, como A*, pueden demostrarse óptimos siempre que la heurística que utilizan sea monótona. ^{[ 8 ]}

En álgebra booleana , una función monótona es aquella que, para todo a _i y b _i en {0,1} , si a ₁ ≤ b ₁ , a ₂ ≤ b ₂ , ..., a _n ≤ b _n (es decir, el producto cartesiano {0, 1} ⁿ está ordenado por coordenadas ), entonces f( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f( b ₁ , ..., b _n ) . En otras palabras, una función booleana es monótona si, para cada combinación de entradas, cambiar una de las entradas de falso a verdadero solo puede hacer que la salida cambie de falso a verdadero y no de verdadero a falso. Gráficamente, esto significa que una función booleana n -aria es monótona cuando su representación como un n -cubo etiquetado con valores de verdad no tiene arista ascendente de verdadero a falso . (Este diagrama de Hasse etiquetado es el dual del diagrama de Venn etiquetado de la función , que es la representación más común para n ≤ 3 ).

Las funciones booleanas monótonas son precisamente aquellas que pueden definirse mediante una expresión que combine las entradas (que pueden aparecer más de una vez) utilizando únicamente los operadores " y " y "o " (en particular , "no " está prohibido). Por ejemplo, "al menos dos de a , b , c se cumplen" (la función de mayoría ternaria ) es una función monótona de a , b , c , ya que puede escribirse, por ejemplo, como (( a y b ) o ( a y c ) o ( b y c )).

El número de tales funciones en n variables se conoce como el número de Dedekind de n .

La resolución de problemas SAT , generalmente una tarea NP-difícil , puede lograrse de manera eficiente cuando todas las funciones y predicados involucrados son monótonos y booleanos. ^{[ 9 ]}

• interpolación cúbica monótona
• Operador pseudomonótono
• Coeficiente de correlación de rangos de Spearman : medida de monotonicidad en un conjunto de datos.
• Monotonicidad total
• Monotonía cíclica
• Función monótona del operador
• Función de ajuste monocromático
• Funciones y secuencias absolutamente y completamente monótonas

• Bartle, Robert G. (1976). Los elementos del análisis real (segunda  edición).
• Grätzer, George (1971). Teoría de retículos: primeros conceptos y retículos distributivos . WH Freeman. ISBN 0-7167-0442-0.
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