Función monótona del operador

En álgebra lineal, las funciones monótonas de operadores son un tipo importante de función de valor real , clasificadas completamente por Charles Löwner en 1934. ^{[ 1 ]} Están estrechamente relacionadas con las funciones cóncavas y convexas de operadores, y se encuentran en la teoría de operadores y en la teoría de matrices , y dieron lugar a la desigualdad de Löwner-Heinz . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Las funciones monótonas de operadores se denominan en otros contextos función de Bernstein completa, función de Nevanlinna , función de Pick o función de clase (S). ^{[ 4 ]}

Una función${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$definido en un intervalo${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$Se dice que es un operador monótono si siempre que${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son matrices hermíticas (de cualquier tamaño/dimensiones) cuyos valores propios pertenecen todos al dominio de${\displaystyle f}$y cuya diferencia${\displaystyle AB}$es una matriz semidefinida positiva , entonces necesariamente${\displaystyle f(A)-f(B)\geq 0}$dónde${\displaystyle f(A)}$y${\displaystyle f(B)}$son los valores de la función matricial inducida por${\displaystyle f}$(que son matrices del mismo tamaño que${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$). La función${\displaystyle f}$Se dice que una matriz es monótona de n matrices (o simplemente monótona de n matrices) si lo anterior se cumple para cualquier matriz.${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$de tamaño${\displaystyle n}$(pero no necesariamente de otros tamaños).

Notación

Esta definición se expresa frecuentemente con la notación que ahora se define.

Escribir${\displaystyle A\geq 0}$para indicar que una matriz${\displaystyle A}$es semidefinido positivo y escribir${\displaystyle A\geq B}$para indicar que la diferencia${\displaystyle AB}$de dos matrices${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Satisface${\displaystyle AB\geq 0}$(eso es,${\displaystyle AB}$es semidefinido positivo).

Con${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$y${\displaystyle A}$como en el enunciado del teorema, el valor de la función matricial${\displaystyle f(A)}$es la matriz (del mismo tamaño que${\displaystyle A}$) definido en términos de su${\displaystyle A}$descomposición espectral de${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}}$por $${\displaystyle f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,}$$ donde el${\displaystyle \lambda _{j}}$son los valores propios de${\displaystyle A}$con proyectores correspondientes${\displaystyle P_{j}.}$

La definición de una función monótona de operador puede reformularse ahora como:

Una función${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$definido en un intervalo${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$Se dice que un operador es monótono si (y solo si) para todos los enteros positivos${\displaystyle n,}$y todo${\displaystyle n\times n}$matrices hermíticas${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con valores propios en${\displaystyle I,}$si${\displaystyle A\geq B}$entonces${\displaystyle f(A)\geq f(B).}$

El teorema de Löwner ^{[ 1 ]} establece que una función${\displaystyle f}$Un operador es monótono si y solo si permite una continuación analítica al semiplano superior con parte imaginaria no negativa.

De manera más general, una función${\displaystyle f(z)\geq 0}$para${\displaystyle z\geq 0}$es un operador monótono si y solo si se extiende a una función holomorfa en${\displaystyle \mathbb {C} \setminus (-\infty,0]}$de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Im} f(z)&\geq 0\qquad &&{\text{si }}\operatorname {Im} z\geq 0,\\\operatorname {Im} f(z)&\leq 0\qquad &&{\text{si }}\operatorname {Im} z\leq 0.\end{aligned}}}$

que se puede resumir como${\displaystyle \operatorname {Estoy} f(z)\operatorname {Estoy} z\geq 0}$.

Las funciones monótonas de operador son un tipo especial de función de Bernstein. Si escribimos la representación de Bernstein de la función de Bernstein${\displaystyle f}$como$${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$$entonces${\displaystyle f}$es operador monótono si y solo si la medida${\displaystyle \mu }$tiene una función de densidad y esta función es completamente monótona, lo que explica por qué tal función${\displaystyle f}$También se la denomina función de Bernstein completa.

• Función matricial : función que asigna matrices a matrices. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
• Desigualdad de traza : concepto en matemáticas de espacios de Hlibert 

• Hansen, Frank (2013). "El camino rápido hacia el teorema de Löwner". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 438 (11): 4557– 4571. arXiv : 1112.0098 . doi : 10.1016/j.laa.2013.01.022 . S2CID 119607318 . 
• Chansangiam, Pattrawut (2015). "Un estudio sobre la monotonicidad, la convexidad y las medias de los operadores" . Revista Internacional de Análisis . 2015 : 1–8 . doi : 10.1155/2015/649839 .
• Boţ , Radu Ioan; Csetnek, Ernö Robert; Hendrich, Christopher (1 de abril de 2015). "División inercial de Douglas-Rachford para problemas de inclusión monótona". Matemáticas Aplicadas y Computación . 256 : 472–487 . doi : 10.1016/j.amc.2015.01.017 .