Forma modular

En teoría de números y análisis complejo , una forma modular es un tipo de función de una variable numérica compleja que posee un alto grado de simetría, de un tipo específico. De manera similar a una función periódica de una variable real, una forma modular se repite o transforma de cierta manera cuando su argumento se somete a una transformación particular. A diferencia de una función periódica ordinaria, sus simetrías incluyen transformaciones como reemplazar un número complejo $z$ por $-1/ z$ , y la ley de transformación no es una simetría exacta de la función, sino más bien como la ley de transformación de una función cuasiperiódica : la función adquiere un factor adicional, dependiendo de la transformación. Las formas modulares sirven como un puente importante entre el análisis complejo , la teoría de números y la geometría . Las formas modulares también aparecen en otras áreas, como la topología algebraica , el empaquetamiento de esferas y la teoría de cuerdas .

Más precisamente, una forma modular es una función holomorfa en el semiplano superior complejo que satisface aproximadamente una ecuación funcional con respecto a la acción de grupo del grupo modular y una condición de crecimiento. Una forma modular es un caso especial de una forma automorfa , que son funciones definidas en grupos de Lie que se transforman de forma armoniosa con respecto a la acción de ciertos subgrupos discretos , generalizando el ejemplo del grupo modular. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

El término «forma modular» , como descripción sistemática, se atribuye generalmente a Erich Hecke . La importancia de las formas modulares en diversos campos de las matemáticas se ha representado con humor en una cita posiblemente apócrifa atribuida a Martin Eichler, quien las describe como la quinta operación fundamental en matemáticas, después de la suma, la resta, la multiplicación y la división. ^{[ 1 ]}

Definición

En general, ^{[ 2 ]} dado un subgrupo $\Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ de índice finito (llamado grupo aritmético ), una forma modular de nivel $\Gamma$ y peso $k$ es una función holomorfa $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ desde el semiplano superior ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} |\Im z>0\}$ que cumplan las dos condiciones siguientes:

Condición de automorfia : para cualquier $\gamma \in \Gamma$ , tenemos $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ , ^{[ nota 1 ]} y

condición de crecimiento : para cualquier $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ , la función $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ está limitado por ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

Además, una forma modular se denomina forma de cúspide si satisface la siguiente condición de crecimiento:

Condición cuspidal : Para cualquier $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ , tenemos $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ como ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

Tenga en cuenta que $\gamma$ es una matriz

{\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ),}

identificado con la función ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$ La identificación de funciones con matrices hace que la composición de funciones sea equivalente a la multiplicación de matrices.

Formas modulares para SL(2, Z)

Una forma modular de peso $k$ para el grupo modular

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}

es una función $f$ en el semiplano superior ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ que cumplan las tres condiciones siguientes:

$f$ es holomorfo en ${\mathcal {H}}$ .
Para cualquier $z\in {\mathcal {H}}$ y cualquier matriz en ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$ , tenemos
$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ .
$f$ está limitado como $\operatorname {Im} (z)\to \infty$ .

Observaciones:

El peso $k$ suele ser un número entero positivo.
Para impares $k$ , solo la función cero puede satisfacer la segunda condición.
La tercera condición también se formula diciendo que $f$ es "holomorfo en la cúspide", una terminología que se explica más adelante. Explícitamente, la condición significa que existen algunos $M,D>0$ de tal manera que $\operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D$ , significado $f$ está delimitado por encima de alguna línea horizontal.
La segunda condición para

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

lecturas

f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)

respectivamente. Dado que

S

y

T

generar el grupo

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )

, la segunda condición anterior es equivalente a estas dos ecuaciones.

Desde $f(z+1)=f(z)$ , las formas modulares son funciones periódicas con periodo $1$ y, por lo tanto, tienen una serie de Fourier .

Interpretación de la red y de la curva elíptica

Una forma modular puede definirse equivalentemente como una función $F$ del conjunto de retículos en $C$ al conjunto de números complejos que satisface ciertas condiciones:

Si consideramos la red $Λ = Z α + Z z$ generada por una constante $α$ y una variable $z$ , entonces $F (Λ)$ es una función analítica de $z$ .
Si $α$ es un número complejo distinto de cero y $α Λ$ es la red obtenida al multiplicar cada elemento de $Λ$ por $α$ , entonces $F (α Λ) = α - k F (Λ)$ donde $k$ es una constante (típicamente un entero positivo) llamada peso de la forma.
El valor absoluto de $F (Λ)$ permanece acotado superiormente siempre que el valor absoluto del elemento no nulo más pequeño en $Λ$ esté acotado lejos de 0.

La idea clave para demostrar la equivalencia de las dos definiciones es que dicha función $F$ está determinada, debido a la segunda condición, por sus valores en redes de la forma $Z + Z τ$ , donde $τ \in H$ .

Ejemplos

Serie I. Eisenstein

Los ejemplos más sencillos desde este punto de vista son las series de Eisenstein . Para cada entero par $k > 2$ , definimos $G k (Λ)$ como la suma de $λ - k$ sobre todos los vectores no nulos $λ$ de $Λ$ :

G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.

Entonces $G k$ es una forma modular del peso $k$ . Para $Λ = Z + Z τ$ tenemos

G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},

y

{\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}

La condición $k > 2$ es necesaria para la convergencia ; para $k$ impar hay cancelación entre $λ - k$ y $(- λ) - k$ , de modo que dichas series son idénticamente cero.

II. Funciones theta de redes unimodulares pares

Una red unimodular par $L$ en $R n$ es una red generada por $n$ vectores que forman las columnas de una matriz de determinante 1 y que satisface la condición de que el cuadrado de la longitud de cada vector en $L$ sea un entero par. La llamada función theta

\vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}

converge cuando Im(z) > 0, y como consecuencia de la fórmula de suma de Poisson se puede demostrar que es una forma modular de peso $n /2$ . No es tan fácil construir retículos unimodulares, pero aquí hay una manera: Sea $n$ un entero divisible por 8 y consideremos todos los vectores $v$ en $R n$ tales que $2 v$ tiene coordenadas enteras, ya sean todas pares o todas impares, y tales que la suma de las coordenadas de $v$ es un entero par. Llamamos a este retículo $L n$ . Cuando $n = 8$ , este es el retículo generado por las raíces en el sistema de raíces llamado E ₈ . Debido a que solo hay una forma modular de peso 8 salvo multiplicación escalar,

\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),

Aunque las redes $L 8 \times L 8$ y $L 16$ no son similares, John Milnor observó que los toros de 16 dimensiones obtenidos al dividir $R 16$ por estas dos redes son, por consiguiente, ejemplos de variedades riemannianas compactas que son isoespectrales pero no isométricas (véase « Escuchar la forma de un tambor »).

III. El discriminante modular

La función eta de Dedekind se define como

\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.

donde q es el cuadrado del nomo . Entonces, el discriminante modular normalizado

\Delta (z)=\eta (z)^{24}=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}

es una forma de cúspide de peso 12. La presencia de 24 está relacionada con el hecho de que la red de Leech tiene 24 dimensiones. Una célebre conjetura de Ramanujan afirmó que cuando $Δ(z)$ se expande como una serie de potencias en q, el coeficiente de $q p$ para cualquier primo $p$ tiene un valor absoluto $\leq 2 p 11/2$ . Esto fue confirmado por el trabajo de Eichler , Shimura , Kuga , Ihara y Pierre Deligne como resultado de la demostración de Deligne de las conjeturas de Weil , que se demostró que implicaban la conjetura de Ramanujan.

El segundo y el tercer ejemplo sugieren la conexión entre las formas modulares y cuestiones clásicas de la teoría de números, como la representación de enteros mediante formas cuadráticas y la función de partición . El vínculo conceptual crucial entre las formas modulares y la teoría de números lo proporciona la teoría de los operadores de Hecke , que también establece la conexión entre la teoría de las formas modulares y la teoría de la representación .

Funciones modulares

Una función modular es una función que es invariante con respecto al grupo modular, pero sin la condición de que sea holomorfa en el semiplano superior (entre otros requisitos). En cambio, una función modular para un subgrupo de índice finito $\Gamma$ del grupo modular es una función meromorfa en el semiplano superior que es invariante bajo la acción de $\Gamma$ y es meromorfa en las cúspides. Equivalentemente, es una función meromorfa en la curva modular compactificada asociada con $\Gamma$ .

Para el grupo modular completo, una función modular es invariante bajo las transformaciones del grupo modular y tiene una expansión meromorfa en la cúspide. $i\infty$ En términos de $q=\exp(2\pi iz)$ , esto significa que su expansión $en q$ tiene solo un número finito de términos de potencia negativa.

Cuando el peso $k$ es cero, se puede demostrar, utilizando el teorema de Liouville , que las únicas formas modulares son funciones constantes. Sin embargo, al relajar el requisito de que $f$ sea holomorfa, se llega a la noción de funciones modulares . Una función $f : H \to C$ se denomina modular si satisface las siguientes propiedades:

$f$ es meromorfa en el semiplano superior abierto $H$
Para cada matriz entera ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ en el grupo modular $Γ$ , $f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)$ .
La segunda condición implica que $f$ es periódica y, por lo tanto, tiene una serie de Fourier . La tercera condición es que esta serie tiene la forma

f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.

A menudo se escribe en términos de $q=\exp(2\pi iz)$ (la plaza del nomo ), como:

f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.

Esto también se conoce como la expansión q de $f$ . Los coeficientes $a_{n}$ se conocen como los coeficientes de Fourier de $f$ , y el número $m$ se llama el orden del polo de $f$ en $i \infty$ . Esta condición se llama "meromorfa en la cúspide", lo que significa que solo un número finito de coeficientes negativos n son distintos de cero, por lo que la expansión q está acotada inferiormente, lo que garantiza que es meromorfa en $q = 0.$ ^{[ nota 2 ]}

Para subgrupos de índice finito, la misma idea se expresa exigiendo meromorfismo en cada cúspide del subgrupo. Esta condición permite considerar la función como meromorfa en la curva modular compactificada correspondiente. ^{[ 3 ]}

Otra forma de expresar la definición de funciones modulares es mediante curvas elípticas : cada retículo $Λ$ determina una curva elíptica $C /Λ$ sobre $C$ ; dos retículos determinan curvas elípticas isomorfas si y solo si una se obtiene de la otra multiplicándola por algún número complejo $α$ distinto de cero . Así, una función modular también puede considerarse como una función meromorfa en el conjunto de clases de isomorfismo de curvas elípticas. Por ejemplo, el j-invariante $j (z)$ de una curva elíptica, considerado como una función en el conjunto de todas las curvas elípticas, es una función modular. De forma más conceptual , las funciones modulares pueden pensarse como funciones en el espacio de módulos de clases de isomorfismo de curvas elípticas complejas.

Para el grupo modular completo, una forma modular $f$ que se anula en $q = 0$ (o, equivalentemente, $a 0 = 0$ , también parafraseado como $z = i \infty$ ) se denomina forma cúspide ( Spitzenform en alemán ). Para un subgrupo de índice finito del grupo modular, una forma cúspide es una forma modular que se anula en cada cúspide del subgrupo.

Una unidad modular es una función modular cuyos polos y ceros están confinados a las cúspides. ^{[ 4 ]}

Formularios modulares para grupos más generales.

La ecuación funcional, es decir, el comportamiento de f con respecto a $z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$ Se puede flexibilizar exigiéndolo solo para matrices en grupos más pequeños.

Una forma modular para $G$ de peso k es una función en H que satisface la ecuación funcional anterior para todas las matrices en $G$ , es decir, holomorfa en H y en todas las cúspides de $G.$ Nuevamente, las formas modulares que se anulan en todas las cúspides se llaman formas de cúspide para $G.$ Los espacios vectoriales C de las formas modulares y de cúspide de peso k se denotan $M k (G)$ y $S k (G)$ , respectivamente. De manera similar, una función meromorfa en G \ H ^∗ se llama una función modular para $G.$ En el caso de G = Γ ₀ ( N ), también se las denomina formas modulares/de cúspide y funciones de nivel N . Para $G = Γ(1) = SL(2, Z)$ , esto devuelve las definiciones antes mencionadas.

Interpretación geométrica

superficies de Riemann

Sea $G$ un subgrupo de $SL(2, Z)$ de índice finito . Dicho grupo $G$ actúa sobre H de la misma manera que $SL(2, Z)$ . Se puede demostrar que el espacio topológico cociente G \ H es un espacio de Hausdorff . Típicamente no es compacto, pero se puede compactificar añadiendo un número finito de puntos llamados cúspides . Estos son puntos en la frontera de H , es decir en Q ∪{∞}, ^{[ nota 3 ]} tales que existe un elemento parabólico de $G$ (una matriz con traza ±2) que fija el punto. Esto produce un espacio topológico compacto G \ H ^∗ . Es más, se le puede dotar de la estructura de una superficie de Riemann , lo que permite hablar de funciones holomorfas y meromorfas.

Ejemplos importantes son, para cualquier entero positivo N , cualquiera de los subgrupos de congruencia

{\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}

Para G = Γ ₀ ( N ) o $Γ(N)$ , los espacios G \ H y G \ H ^∗ se denotan Y ₀ ( N ) y X ₀ ( N ) y Y ( N ), X ( N ), respectivamente.

La geometría de G \ H ^∗ puede entenderse estudiando dominios fundamentales para G , es decir, subconjuntos D ⊂ H tales que D interseca cada órbita de la acción $de G sobre$ H exactamente una vez y tales que la clausura de D interseca todas las órbitas. Por ejemplo, se puede calcular el género de G \ H ^{∗ .}^{[ 5 ]}

La teoría de superficies de Riemann se puede aplicar a G \ H ^∗ para obtener más información sobre formas y funciones modulares. Por ejemplo, los espacios $M k (G)$ y $S k (G)$ son de dimensión finita, y sus dimensiones se pueden calcular gracias al teorema de Riemann-Roch en términos de la geometría de la acción $de G$ sobre H . ^{[ 6 ]} Por ejemplo,

\dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{otherwise}}\end{cases}}

dónde $\lfloor \cdot \rfloor$ denota la función piso y $k$ es par.

Las funciones modulares constituyen el cuerpo de funciones de la superficie de Riemann y, por lo tanto, forman un cuerpo de grado de trascendencia uno (sobre C ). Si una función modular f no es idénticamente cero, entonces se puede demostrar que el número de ceros de f es igual al número de polos de f en la clausura de la región fundamental R _Γ . Para el subgrupo de congruencia $Γ 0 (N)$ , el cuerpo de funciones modulares en $X 0 (N)$ está generado por las funciones $j (z)$ y $j (Nz)$ . ^{[ 7 ]}

Paquetes de líneas

Las formas modulares también pueden interpretarse geométricamente como secciones de haces de líneas sobre curvas modulares o sobre la pila de módulos de curvas elípticas . En esta interpretación, el haz de líneas relevante es el haz de Hodge , a menudo denotado por $ω$ , y las formas modulares de peso $k$ son secciones de $ω \otimes k$ con la condición de holomorfía apropiada en las cúspides.

Por el isomorfismo de Kodaira-Spencer , el cuadrado del fibrado de Hodge se identifica con el fibrado canónico logarítmico de la curva modular, es decir, el fibrado canónico retorcido con el divisor cuspidal . Simbólicamente, en una curva modular compactificada $X$ con divisor cuspidal $D$ , esta relación se escribe

\omega ^{\otimes 2}\cong K_{X}(D).

La intuición es que, para una forma modular $f$ de peso dos, la 1-forma $f(z)dz$ es invariante bajo la acción del grupo modular. En las cúspides esto da como resultado un diferencial logarítmico, mientras que las formas de cúspide dan diferenciales holomorfos.

Las dimensiones de los espacios de formas modulares se pueden calcular utilizando el teorema de Riemann-Roch . ^{[ 8 ]}

Esta interpretación es análoga al papel de los polinomios homogéneos en el espacio proyectivo . Dichos polinomios no son funciones ordinarias en el espacio proyectivo, ya que cambian por un factor escalar cuando se reescala el vector subyacente. Geométricamente, se interpretan como secciones de fibrados de líneas. Las formas modulares se comportan de manera similar: salvo en peso cero, su ley de transformación impide que sean funciones ordinarias en una curva modular, pero permite interpretarlas como secciones de potencias del fibrado de Hodge.

Anillos de formas modulares

Para un subgrupo $Γ$ del $SL(2, Z)$ , el anillo de formas modulares es el anillo graduado generado por las formas modulares de $Γ$ . En otras palabras, si $M k (Γ)$ es el espacio vectorial de formas modulares de peso $k$ , entonces el anillo de formas modulares de $Γ$ es el anillo graduado. $M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )$ .

Los anillos de formas modulares de subgrupos de congruencia de $SL(2, Z)$ son finitamente generados gracias a un resultado de Pierre Deligne y Michael Rapoport . Dichos anillos de formas modulares se generan con un peso máximo de 6 y las relaciones se generan con un peso máximo de 12 cuando el subgrupo de congruencia tiene formas modulares de peso impar distintas de cero, y los límites correspondientes son 5 y 10 cuando no hay formas modulares de peso impar distintas de cero.

De manera más general, existen fórmulas para establecer límites a los pesos de los generadores del anillo de formas modulares y sus relaciones para grupos fuchsianos arbitrarios .

Tipos

Nuevas formas

Las nuevas formas son un subespacio de formas modulares ^{[ 9 ]} de un nivel fijo. $N$ que no se pueden construir a partir de formas modulares de niveles inferiores $M$ divisor $N$ . Las otras formas se denominan formas antiguas . Estas formas antiguas se pueden construir utilizando las siguientes observaciones: si $M\mid N$ entonces $\Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)$ dando una inclusión inversa de formas modulares $M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))$ .

Formas de cúspide

Una forma cúspide es una forma modular que se anula en todas las cúspides. Para el grupo modular completo, que tiene una sola cúspide, esto equivale a decir que el coeficiente constante en su serie de Fourier es cero.

Generalizaciones

Hay otros usos del término "función modular", aparte de este clásico; por ejemplo, en la teoría de las medidas de Haar , es una función $Δ(g)$ determinada por la acción de conjugación.

Las formas de Maass son autofunciones analíticas reales del laplaciano , pero no necesariamente holomorfas . Las partes holomorfas de ciertas formas de onda de Maass débiles resultan ser esencialmente las funciones theta simuladas de Ramanujan. Se pueden considerar grupos que no sean subgrupos de $SL(2,$ $Z$ $) .$

Las formas modulares de Hilbert son funciones en n variables, cada una un número complejo en el semiplano superior, que satisfacen una relación modular para matrices de 2 × 2 con entradas en un campo de números totalmente reales .

Las formas modulares de Siegel están asociadas a grupos simplécticos más grandes de la misma manera que las formas modulares clásicas están asociadas a $SL(2, R)$ ; en otras palabras, están relacionadas con las variedades abelianas en el mismo sentido que las formas modulares clásicas (que a veces se denominan formas modulares elípticas para enfatizar el punto) están relacionadas con las curvas elípticas.

Las formas de Jacobi son una mezcla de formas modulares y funciones elípticas. Ejemplos de dichas funciones son muy clásicos: las funciones theta de Jacobi y los coeficientes de Fourier de las formas modulares de Siegel de género dos. Sin embargo, es una observación relativamente reciente que las formas de Jacobi poseen una teoría aritmética muy análoga a la teoría habitual de las formas modulares.

Las formas automórficas extienden la noción de formas modulares a grupos de Lie generales .

Las integrales modulares de peso $k$ son funciones meromorfas en el semiplano superior de crecimiento moderado en el infinito que no son modulares de peso $k$ por una función racional.

Los factores automórficos son funciones de la forma $\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}$ que se utilizan para generalizar la relación de modularidad que define las formas modulares, de modo que

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).

La función $\varepsilon (a,b,c,d)$ Se denomina nebentypus de la forma modular. Funciones como la función eta de Dedekind , una forma modular de peso 1/2, pueden ser comprendidas por la teoría al permitir factores automórficos.

Historia

La teoría de las formas modulares se desarrolló en cuatro períodos:

En relación con la teoría de las funciones elípticas , a principios del siglo XIX
Por Felix Klein y otros hacia finales del siglo XIX, a medida que se fue comprendiendo el concepto de forma automórfica (para una variable).
Por Erich Hecke , alrededor de 1925.
En la década de 1960, las necesidades de la teoría de números y, en particular, la formulación del teorema de modularidad, dejaron claro que las formas modulares están profundamente implicadas.

Yutaka Taniyama y Goro Shimura identificaron una correspondencia biunívoca entre ciertas formas modulares y curvas elípticas. Robert Langlands desarrolló esta idea para la creación de su extenso programa de Langlands , que se ha convertido en uno de los programas de investigación más influyentes y de mayor alcance en matemáticas.

En 1994, Andrew Wiles utilizó formas modulares para demostrar el último teorema de Fermat . En 2001, se demostró que todas las curvas elípticas eran modulares sobre los números racionales. En 2013, se demostró que las curvas elípticas eran modulares sobre campos cuadráticos reales . En 2023, se demostró que las curvas elípticas eran modulares sobre aproximadamente la mitad de los campos cuadráticos imaginarios, incluidos los campos formados al combinar los números racionales con la raíz cuadrada de los enteros hasta −5. ^{[ 10 ]}

Véase también

Demostración de Wiles del último teorema de Fermat

Notas

↑ Algunos autores utilizan convenciones diferentes, permitiendo una constante adicional que depende únicamente de $\gamma$ , véase, por ejemplo , "DLMF: §23.15 Definiciones ‣ Funciones modulares ‣ Capítulo 23 Funciones elípticas y modulares de Weierstrass" . dlmf.nist.gov . Consultado el 7 de julio de 2023 .
↑ Una función meromorfa solo puede tener un número finito de términos con exponente negativo en su serie de Laurent, su expansión en q . Como máximo, solo puede tener un polo en $q = 0,$ no una singularidad esencial como la $que tiene exp(1/ q)$ .
↑ Aquí, una matriz ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ envía ∞ a a / c .

Citas

↑ Cepelewicz, Jordana (21 de septiembre de 2023). "He aquí las formas modulares, la 'quinta operación fundamental' de las matemáticas" . Quanta Magazine . Consultado el 25 de febrero de 2025 .
↑ Lan, Kai-Wen. "Cohomología de haces automórficos" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 1 de agosto de 2020.
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↑ Gunning, Robert C. (1962), Lectures on modular forms , Annals of Mathematics Studies , vol. 48, Princeton University Press pág. 13
↑ Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Tokio: Iwanami Shoten , Teorema 2.33, Proposición 2.26
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Referencias

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Rankin, Robert A. (1977), Formas y funciones modulares , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-X
Ribet, K.; Stein, W., Lecciones sobre formas modulares y operadores de Hecke
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He aquí las formas modulares, la "quinta operación fundamental" de las matemáticas.

[3] Algunos autores utilizan convenciones diferentes, permitiendo una constante adicional que depende únicamente de $\gamma$ , véase, por ejemplo , "DLMF: §23.15 Definiciones ‣ Funciones modulares ‣ Capítulo 23 Funciones elípticas y modulares de Weierstrass" . dlmf.nist.gov . Consultado el 7 de julio de 2023 .

[4] Una función meromorfa solo puede tener un número finito de términos con exponente negativo en su serie de Laurent, su expansión en q . Como máximo, solo puede tener un polo en $q = 0,$ no una singularidad esencial como la $que tiene exp(1/ q)$ .

[7] Aquí, una matriz ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ envía ∞ a a / c .

[1] Cepelewicz, Jordana (21 de septiembre de 2023). "He aquí las formas modulares, la 'quinta operación fundamental' de las matemáticas" . Quanta Magazine . Consultado el 25 de febrero de 2025 .

[2] Lan, Kai-Wen. "Cohomología de haces automórficos" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 1 de agosto de 2020.

[5] Chandrasekharan, K. (1985). Funciones elípticas . Springer-Verlag. pág. 15. ISBN 3-540-15295-4.

[6] Kubert, Daniel S .; Lang, Serge (1981), Unidades modulares , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 244, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pág. 24, ISBN 978-0-387-90517-4, MR 0648603 , Zbl 0492.12002

[8] Gunning, Robert C. (1962), Lectures on modular forms , Annals of Mathematics Studies , vol. 48, Princeton University Press pág. 13

[9] Shimura, Goro (1971), Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas , Publicaciones de la Sociedad Matemática de Japón, vol. 11, Tokio: Iwanami Shoten , Teorema 2.33, Proposición 2.26

[10] Milne, James (2010), Funciones modulares y formas modulares (PDF) , pág. 88 , Teorema 6.1.

[11] Milne, James (2017). "Funciones modulares y formas modulares" . pág. 51.

[12] Mocanú, Andreea. "Teoría de Atkin-Lehner de $\Gamma _{1}(N)$ -Formularios Modulares" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 31 de julio de 2020.

[:0-13] Van Wyk, Gerhard (julio de 2023). "Las curvas elípticas revelan sus secretos en un nuevo sistema numérico" . Quanta .

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