Teorema de separación de fondos mutuos

Para ver la separación de dos fondos en un contexto en el que no hay ningún activo libre de riesgo disponible, utilizando álgebra matricial , sea${\displaystyle \sigma ^{2}}$Sea la varianza del rendimiento de la cartera, sea${\displaystyle \mu }$Sea el nivel de rendimiento esperado de la cartera del cual se debe minimizar la varianza del rendimiento de la cartera,${\displaystyle r}$Sea el vector de rendimientos esperados sobre los activos disponibles,${\displaystyle X}$Sea el vector de cantidades a colocar en los activos disponibles,${\displaystyle W}$sea ​​la cantidad de riqueza que se asignará en la cartera, y deje que${\displaystyle 1}$Sea un vector de unos. Entonces, el problema de minimizar la varianza del rendimiento de la cartera sujeto a un nivel dado de rendimiento esperado de la cartera se puede plantear como:

Minimizar${\displaystyle \sigma ^{2}}$

sujeto a

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

y

${\displaystyle X^{T}1=W}$

donde el superíndice${\displaystyle ^{T}}$denota la transpuesta de una matriz. La varianza del rendimiento de la cartera en la función objetivo se puede escribir como${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$dónde${\displaystyle V}$es la matriz de covarianza definida positiva de los rendimientos de los activos individuales. El lagrangiano para este problema de optimización con restricciones (cuyas condiciones de segundo orden se puede demostrar que se satisfacen) es

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (WX^{T}1),}$

con multiplicadores de Lagrange${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \eta }$Esto se puede resolver para el vector óptimo.${\displaystyle X}$de cantidades de activos igualando a cero los derivados con respecto a${\displaystyle X}$,${\displaystyle \lambda }$, y${\displaystyle \eta }$, resolviendo provisionalmente la condición de primer orden para${\displaystyle X}$en términos de${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \eta }$, sustituyendo en las demás condiciones de primer orden, resolviendo para${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \eta }$en términos de los parámetros del modelo y sustituyendo de nuevo en la solución provisional para${\displaystyle X}$El resultado es

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

dónde

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

Para simplificar, esto se puede escribir de forma más compacta como

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son vectores de parámetros basados ​​en los parámetros del modelo subyacente. Ahora consideremos dos carteras eficientes de referencia construidas con rendimientos esperados de referencia.${\displaystyle \mu _{1}}$y${\displaystyle \mu _{2}}$y por lo tanto dado por

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

y

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

La cartera óptima en arbitrario${\displaystyle \mu _{3}}$entonces se puede escribir como un promedio ponderado de${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$y${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$como sigue:

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

Esta ecuación demuestra el teorema de separación de dos fondos para el análisis de media-varianza. Para una interpretación geométrica, véase el punto de Markowitz .

Si se dispone de un activo libre de riesgo , entonces nuevamente se aplica un teorema de separación de dos fondos; pero en este caso uno de los "fondos" puede ser elegido como un fondo muy simple que contenga solo el activo libre de riesgo, y el otro fondo puede ser elegido como uno que no contenga tenencias del activo libre de riesgo. (Cuando el activo libre de riesgo se denomina "dinero", esta forma del teorema se conoce como el teorema de separación monetaria ). Por lo tanto, las carteras eficientes de media-varianza pueden formarse simplemente como una combinación de tenencias del activo libre de riesgo y tenencias de un fondo eficiente particular que contiene solo activos de riesgo. Sin embargo, la derivación anterior no se aplica, ya que con un activo libre de riesgo la matriz de covarianza anterior de todos los rendimientos de los activos,${\displaystyle V}$, tendría una fila y una columna de ceros y, por lo tanto, no sería invertible. En cambio, el problema se puede plantear como

Minimizar${\displaystyle \sigma ^{2}}$

sujeto a

${\displaystyle (WX^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

dónde${\displaystyle r_{f}}$es el rendimiento conocido del activo libre de riesgo,${\displaystyle X}$ahora es el vector de cantidades que se mantendrán en los activos de riesgo , y${\displaystyle r}$es el vector de rendimientos esperados de los activos de riesgo. El lado izquierdo de la última ecuación es el rendimiento esperado de la cartera, ya que${\displaystyle (WX^{T}1)}$es la cantidad mantenida en el activo libre de riesgo, incorporando así la restricción de suma de activos que en el problema anterior requería la inclusión de una restricción lagrangiana separada. La función objetivo se puede escribir como${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$¿dónde ahora?${\displaystyle V}$es la matriz de covarianza de los activos de riesgo únicamente. Se puede demostrar que este problema de optimización produce el vector óptimo de tenencias de activos de riesgo.

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

Por supuesto, esto es igual a un vector cero si${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$, el rendimiento de la cartera libre de riesgo, en cuyo caso toda la riqueza se mantiene en el activo libre de riesgo. Se puede demostrar que la cartera con exactamente cero tenencias del activo libre de riesgo se produce en${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$y es dado por

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

También se puede demostrar (de forma análoga a la demostración del caso anterior de dos fondos mutuos) que el vector de activos de riesgo de cada cartera (es decir,${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$para cada valor de${\displaystyle \mu }$) puede formarse como una combinación ponderada del último vector y el vector cero. Para una interpretación geométrica, véase la frontera eficiente sin activo libre de riesgo .