Modelo de decisión de dos momentos

En teoría de la decisión , economía y finanzas , un modelo de decisión de dos momentos describe o prescribe el proceso de toma de decisiones en un contexto donde quien toma la decisión se enfrenta a variables aleatorias cuyos resultados no se pueden conocer de antemano, y donde las decisiones se toman con base en el conocimiento de dos momentos de esas variables aleatorias. Los dos momentos son casi siempre la media (es decir, el valor esperado , que es el primer momento con respecto a cero) y la varianza , que es el segundo momento con respecto a la media (o la desviación estándar , que es la raíz cuadrada de la varianza).

El modelo de decisión de dos momentos más conocido es el de la teoría moderna de carteras , que da lugar a la parte de decisión del Modelo de Valoración de Activos Financieros (CAPM ); estos emplean el análisis de media-varianza y se centran en la media y la varianza del valor final de una cartera.

Supongamos que todas las variables aleatorias relevantes pertenecen a la misma familia de localización-escala , lo que significa que la distribución de cada variable aleatoria es la misma que la distribución de alguna transformación lineal de cualquier otra variable aleatoria. Entonces, para cualquier función de utilidad de von Neumann-Morgenstern , el uso de un marco de decisión de media-varianza es consistente con la maximización de la utilidad esperada , ^{[ 1 ] [ 2 ]} como se ilustra en el ejemplo 1:

Ejemplo 1: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} Supongamos que existe un activo de riesgo con rendimiento aleatorio.${\displaystyle r}$y un activo libre de riesgo con rendimiento conocido${\displaystyle r_{f}}$y que la riqueza inicial de un inversor sea${\displaystyle w_{0}}$. Si la cantidad${\displaystyle q}$, la variable de elección, es invertir en el activo de riesgo y la cantidad${\displaystyle w_{0}-q}$es invertir en el activo seguro, entonces, supeditado a${\displaystyle q}$, la riqueza final aleatoria del inversor será ${\displaystyle w=(w_{0}-q)r_{f}+qr}$. Entonces, para cualquier elección de${\displaystyle q}$,${\displaystyle w}$se distribuye como una transformación de ubicación-escala de ${\displaystyle r}$Si definimos variable aleatoria${\displaystyle x}$como igual en distribución a${\displaystyle {\tfrac {w-\mu _{w}}{\sigma _{w}}},}$entonces ${\displaystyle w}$es igual en distribución a${\displaystyle \mu _{w}+\sigma _{w}x}$donde μ representa un valor esperado y σ representa la desviación estándar de una variable aleatoria (la raíz cuadrada de su segundo momento). Por lo tanto, podemos escribir la utilidad esperada en términos de dos momentos de ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle \operatorname {E} u(w)=\int _{-\infty }^{\infty }\!u(\mu _{w}+\sigma _{w}x)f(x)\,dx\equiv v(\mu _{w},\sigma _{w}),}$

dónde${\displaystyle u(\cdot )}$es la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern ,${\displaystyle f(x)}$es la función de densidad de${\displaystyle x}$, y${\displaystyle v(\cdot ,\cdot )}$es la función de elección media-desviación estándar derivada , que depende en forma de la función de densidad f . Se supone que la función de utilidad de von Neumann-Morgenstern es creciente, lo que implica que se prefiere más riqueza a menos, y se supone que es cóncava, lo que es lo mismo que suponer que el individuo es adverso al riesgo .

Se puede demostrar que la derivada parcial de v con respecto a μ _w es positiva, y la derivada parcial de v con respecto a σ _w es negativa; por lo tanto, siempre se prefiere una mayor riqueza esperada, y siempre se desaprueba un mayor riesgo (medido por la desviación estándar de la riqueza). Una curva de indiferencia media-desviación estándar se define como el lugar geométrico de los puntos ( σ _w , μ _w ) con σ _w trazado horizontalmente, de modo que E u ( w ) tenga el mismo valor en todos los puntos del lugar geométrico. Entonces, las derivadas de v implican que toda curva de indiferencia tiene pendiente positiva: es decir, a lo largo de cualquier curva de indiferencia d μ _w / d σ _w > 0. Además, se puede demostrar ^{[ 3 ]} que todas estas curvas de indiferencia son convexas: a lo largo de cualquier curva de indiferencia, d ² μ _w / d (σ _w ) ² > 0.         

Ejemplo 2: El análisis de cartera del ejemplo 1 se puede generalizar. Si hay n activos de riesgo en lugar de uno solo, y si sus rendimientos se distribuyen conjuntamente de forma elíptica , entonces todas las carteras se pueden caracterizar completamente por su media y varianza; es decir, cualesquiera dos carteras con la misma media y varianza de rendimiento tienen distribuciones de rendimiento idénticas, y todas las carteras posibles tienen distribuciones de rendimiento que están relacionadas entre sí en términos de ubicación y escala. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Por lo tanto, la optimización de la cartera se puede implementar utilizando un modelo de decisión de dos momentos.

Ejemplo 3: Supongamos que una empresa precio-aceptante y aversa al riesgo debe comprometerse a producir una cantidad de producto q antes de observar la realización de mercado p del precio del producto. ^{[ 13 ]} Su problema de decisión es elegir q de manera que maximice la utilidad esperada de la ganancia:

Maximizar E u ( pq – c ( q ) – g ),

donde E es el operador de valor esperado , u es la función de utilidad de la empresa, c es su función de costo variable y g es su costo fijo . Todas las posibles distribuciones de los ingresos aleatorios pq de la empresa , basadas en todas las posibles elecciones de q , están relacionadas con la ubicación y la escala; por lo tanto, el problema de decisión puede plantearse en términos del valor esperado y la varianza de los ingresos.

Si quien toma las decisiones no busca maximizar la utilidad esperada , la toma de decisiones aún puede plantearse en términos de la media y la varianza de una variable aleatoria si todas las distribuciones alternativas para un resultado impredecible son transformaciones de ubicación y escala entre sí. ^{[ 14 ]}

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