Utilidad exponencial

Por ejemplo, supongamos que el consumo c es una función de la oferta de trabajo x y un término aleatorio.${\displaystyle \epsilon }$: c = c ( x ) +${\displaystyle \epsilon }$Entonces, bajo una función de utilidad exponencial, la utilidad esperada viene dada por:

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}$

donde E es el operador de esperanza . Con ruido distribuido normalmente , es decir,

${\displaystyle \varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}$

E( u ( c )) se puede calcular fácilmente utilizando el hecho de que

${\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

De este modo

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E}}[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

Consideremos el problema de asignación de cartera de maximizar la utilidad exponencial esperada.${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]}$de riqueza final W sujeta a

${\displaystyle W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}$

donde el signo prima indica una transposición de vector y donde${\displaystyle W_{0}}$es la riqueza inicial, x es un vector columna de cantidades colocadas en los n activos de riesgo, r es un vector aleatorio de rendimientos estocásticos en los n activos, k es un vector de unos (por lo tanto${\displaystyle W_{0}-x'k}$es la cantidad colocada en el activo libre de riesgo), y r _f es el rendimiento escalar conocido del activo libre de riesgo. Supongamos además que el vector estocástico r tiene una distribución normal conjunta . Entonces la utilidad esperada se puede escribir como

${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}$

dónde${\displaystyle \mu }$es el vector medio del vector r y${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza de la riqueza final. Maximizar esto es equivalente a minimizarla.

${\displaystyle e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},}$

lo cual a su vez es equivalente a maximizar

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.}$

Denotando la matriz de covarianza de r como V , la varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$La riqueza final puede escribirse como${\displaystyle x'Vx}$Por lo tanto, deseamos maximizar lo siguiente con respecto al vector de elección x de cantidades que se colocarán en los activos de riesgo:

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.}$

Este es un problema sencillo en cálculo matricial , y su solución es

${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).}$

De esto se deduce que (1) las tenencias x * de los activos de riesgo no se ven afectadas por la riqueza inicial _W₀ , una propiedad irreal, y (2) la tenencia de cada activo de riesgo es menor cuanto mayor es el parámetro de aversión al riesgo a (como cabría esperar intuitivamente). Este ejemplo de cartera muestra las dos características clave de la utilidad exponencial: su manejabilidad bajo normalidad conjunta y su falta de realismo debido a su característica de aversión al riesgo absoluta constante.